Süreklilik ve Bernoulli: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Diğer adları: Bernoulli denklemi · süreklilik denklemi

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Süreklilik ve Bernoulli alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: süreklilik, yatay daralma, yükselen boru.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay
12d1​ = 75 mm, v1​ = 0,75 m/sd2​ = 25 mm

Su, çapı 75 mm olan borunun geniş bölümünden 0,75 m/s hızla akıyor. Hacimsel debi Q değerini bulun.

d1 = 75 mmd2 = 25 mmv1 = 0,75 m/s
L/s
Sonraki soru →
Süreklilik ve Bernoulli konusunu ücretsiz çalışınSüreklilik ve Bernoulli konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

  1. Kolaysüreklilik
  2. Ortayatay daralma
  3. Zoryükselen boru

Temel formüller

Süreklilik
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Debi
Q = A·v
Daire alanı
A = πd²/4

Süreklilik ve Bernoulli konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Hidrostatik kuvvet

1Süreklilik ve Bernoulli neyle ilgilidir?

Baş parmağınızı bahçe hortumunun ucuna koyarsanız su daha hızlı fışkırır. Aynı miktar suyun daha küçük bir açıklıktan geçmesi gerekir, bu yüzden daha hızlı hareket etmelidir.

Bu fikir sürekliliktir: dolu bir boruda su birikemez veya yok olamaz. Her saniye içeri giren, her saniye dışarı çıkmalıdır.

İkinci fikir olan Bernoulli denklemi hızı, basıncı ve yüksekliği birbirine bağlar. Su hızlandığı yerde basıncı düşer. Yükseldiği yerde de basıncı düşer.

Bu iki fikir birlikte, bir borunun herhangi bir yerinde hızı ve basıncı tahmin etmenizi sağlar. Bu konuda akışkan sıkıştırılamazdır (su gibi) ve sürtünme kayıpları ihmal edilir.

Kendini sına Su, daralan bir borudan akıyor. Dar kısımda hızına ne olur?
  1. Artar
  2. Aynı kalır
  3. Azalır
  4. Su durur

Cevap: Artar. Aynı hacim saniyede daha küçük bir alandan geçmek zorundadır, bu yüzden su daha hızlı hareket etmelidir.

2Debi ve süreklilik

Hacimsel debi Q, saniyede geçen akışkan hacmidir; m³/s cinsindendir. Saniyede bir litre (L/s) 0,001 m³/s’dir.

Ortalama v hızıyla, kesit alanı A olan bir kesitten geçen akışkan için:

Q = A · v A = π · d² / 4

Kütlesel debi ṁ = ρ · Q olup kg/s cinsindendir; burada ρ yoğunluktur (su için 1000 kg/m³).

Süreklilik, Q’nun borunun her kesitinde aynı olduğunu söyler:

12v1​v2​d1​d2​p1​p2​
A1 · v1 = A2 · v2

Yuvarlak borularda π/4 sadeleşir, bu yüzden v2 = v1 · (d1 / d2)² olur. Çapı yarıya indirmek suyu dört kat hızlandırır.

Kendini sına Bir boru 80 mm’den 40 mm’ye daralıyor. Su geniş kısımda 1 m/s hızla akıyor. Dar kısımda hızı nedir?
  1. 0,25 m/s
  2. 2 m/s
  3. 4 m/s
  4. 8 m/s

Cevap: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Alan çapın karesine bağlıdır. Çap oranını karesini almadan kullanmak 2 m/s verir.

3Bernoulli denklemi

Kayıpsız bir akım çizgisi boyunca, akışkanın metreküp başına enerjisi aynı kalır. Üç kısmı vardır: basınç, hareket ve yükseklik.

p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
  • p: basınç, Pa cinsinden.
  • ½ρv²: m³ başına kinetik enerji, o da Pa cinsinden.
  • ρgz: m³ başına yükseklik enerjisi; burada z, seçtiğiniz herhangi bir referans düzeyinin üzerindeki yüksekliktir.

Yani bir kısım artarsa diğeri azalmalıdır. Daha hızlı su daha düşük basınçlıdır. Daha yüksekteki su daha düşük basınçlıdır.

Yararlı bir özel durum, açık yüzeyin h kadar altındaki küçük bir delikten boşalan bir depodur. Yüzey neredeyse hareket etmez ve iki nokta da atmosfer basıncındadır; bu da Torricelli yasasını verir:

v = √(2gh)
Kendini sına Açık bir su deposu, su yüzeyinin 5 m altındaki küçük bir delikten boşalıyor. Kayıplar ihmal edilirse jet delikten ne kadar hızla çıkar? (g = 9,81 m/s²)
  1. 49,1 m/s
  2. 7,00 m/s
  3. 9,90 m/s
  4. 98,1 m/s

Cevap: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. 2’yi unutmak 7,00 m/s, karekökü unutmak ise 98,1 verir.

4Adım adım yöntem

  1. Boruyu çizin ve iki kesiti numaralandırın: 1, en çok şey bildiğiniz kesit; 2, bilinmeyenin olduğu kesit.
  2. Birimleri çevirin: mm’yi m’ye, kPa’yı Pa’ya, L/s’yi m³/s’ye.
  3. A = π·d²/4 alanlarını bulun ve eksik hızı bulmak için sürekliliği kullanın.
  4. Bernoulli’yi 1 ve 2 kesitleri arasında yazın. Yatay bir boruda z1 = z2 olduğundan yükseklik terimleri sadeleşir.
  5. Bilinmeyeni çözün, gerekirse sonra kPa’ya geri çevirin.

Birimleri tutarlı tutun. ρ kg/m³ ve v m/s ise ½ρv² terimi kPa değil, Pa çıkar.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Su (ρ = 1000 kg/m³), 100 mm’den 50 mm’ye daralan yatay bir borudan akıyor. Geniş kesitte basınç 200 kPa ve hız 1,5 m/s’dir. Kayıplar ihmal edilirse dar kesitteki basıncı bulun.

1

Boruyu çizin

121,5 m/sv2​100 mm50 mm200 kPap2​ = ?

Kesit 1 geniş kısımdır ve her şey bilinir. Kesit 2 dar kısımdır.

2

Dar kısımdaki hız

Çap yarıya iner, bu yüzden hız (100/50)² = 4 katına çıkar:

v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3

Bernoulli’yi yazın

Boru yataydır, bu yüzden yükseklik terimleri sadeleşir:

p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4

Paskal cinsinden yerine koyun

½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5

Cevabı kontrol edin

Su dar kısımda daha hızlıdır, bu yüzden basıncı daha düşük olmalıdır. 183,1 kPa, 200 kPa’dan düşüktür; beklendiği gibi.

Debi, iki kesitte de Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s’dir.

Cevap

Dar kesitte p2 ≈ 183,1 kPa (v2 = 6 m/s).

6Sık yapılan hatalar

  • Alan oranı yerine çap oranını kullanmak: hızlar çapın karesiyle değişir.
  • A = π·d²/4 formülünde yarıçapı çapmış gibi kullanmak veya /4’ü unutmak.
  • kPa ile Pa’yı karıştırmak. Bernoulli’de Pa ile çalışın, sonunda çevirin.
  • m³/s’yi L/s olarak vermek. L/s bulmak için m³/s değerini 1000 ile çarpın.
  • Boru yükselirken veya alçalırken ρ·g·Δz yükseklik terimini unutmak.
Kendini sına Su, iç çapı 100 mm olan bir borudan 2 m/s hızla akıyor. Hacimsel debi nedir?
  1. 0,0157 L/s
  2. 15,7 L/s
  3. 20 L/s
  4. 62,8 L/s

Cevap: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m² olduğundan Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. /4’ü unutmak 62,8, π/4’ü unutmak ise 20 verir.

7Sınav soruları nasıl görünür

  • Kolay: süreklilik. Bir debiyi, kütlesel debiyi, daha dar bir kesitteki hızı veya verilen bir debi için gereken boru çapını bulun. Bazı sorularda boşalan bir depo için Torricelli yasası kullanılır.
  • Orta: yatay bir redüksiyon. Bir kesitteki basıncı diğerinden bulun. Varyantlarda venturimetre, pitot tüpü (v = √(2Δp/ρ)) veya debi katsayılı bir orifis kullanılır.
  • Zor: yükselen bir boru. Yükseklik terimi önemlidir: her bir metre yükselme, su için basıncı ρ·g·1 = 9,81 kPa düşürür. Varyantlar arasında sifon, basınçlı depo ve fıskiye vardır.

Yukarıdaki örnekte, kesitler arasında 5 m’lik bir yükselme p2’yi 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa daha düşürür ve 134,1 kPa olur.

Uygulamada adım adım öğreninUygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay
12d1​ = 100 mm, v1​ = 2,75 m/sd2​ = 50 mm, v2​ = ?

Su, çapı 100 mm değerinden 50 mm değerine daralan bir borudan akıyor. Geniş bölümdeki hız 2,75 m/s. Dar bölümdeki hız v2 değerini bulun.

d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s

İstenen: v2 (m/s)

İpuçlarını göster
  1. Her saniye her kesitten aynı hacimde su geçer: Q = A·v.
  2. A₁v₁ = A₂v₂ ve alan d² ile ölçeklenir, dolayısıyla v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
  3. A1 = 0,007854 m².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Süreklilik ve Bernoulli: sıkıştırılamaz bir akışkan için debi her kesitte aynıdır, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Kayıpsız bir akım çizgisi boyunca p + ½ρv² + ρgz sabittir; bu yüzden akışkanın daha hızlı ya da daha yüksek olduğu yerde basınç daha düşüktür.

Süreklilik

Debi iki kesitte de aynıdır.

A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s

Cevap

v2 = 11 m/s
Örnek 2Orta
12d1​ = 150 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

Su, 150 mm değerinden 50 mm değerine daralan yatay bir borudan akıyor. Geniş bölümde basınç 250 kPa, hız 0,5 m/s. Kayıpları ihmal ederek dar bölümdeki basınç p2 değerini bulun.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 250 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

İstenen: p2 (kPa)

İpuçlarını göster
  1. Önce süreklilikten dar bölümdeki hızı bulun.
  2. Yatay boru için Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
  3. v2 = 4,5 m/s.
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Süreklilik ve Bernoulli: sıkıştırılamaz bir akışkan için debi her kesitte aynıdır, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Kayıpsız bir akım çizgisi boyunca p + ½ρv² + ρgz sabittir; bu yüzden akışkanın daha hızlı ya da daha yüksek olduğu yerde basınç daha düşüktür.

Süreklilik ve Bernoulli

Pa ile çalışın, sonra kPa elde etmek için 1000’e bölün.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/50)² = 4,5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 4,5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−10) = 240 kPa

Cevap

p2 = 240 kPa
Örnek 3Zor
pair​ = 190 kPaQ = ?d = 25 mmh = 4 m

Kapalı bir su tankında suyun üstünde 190 kPa gösterge basıncında sıkıştırılmış hava vardır. Su, su yüzeyinin 4 m altındaki 25 mm çaplı bir açıklıktan açık havaya çıkıyor. Kayıpları ihmal ederek şunu bulun: debi Q. g = 9,81 m/s² alın.

pair = 190 kPa (etkin)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

İstenen: Q (L/s)

İpuçlarını göster
  1. Su yüzeyinden (gösterge basıncı p, durgun) jete (atmosfer basıncında) Bernoulli.
  2. p/ρ + gh = ½v², yani v = √(2(p/ρ + gh)); p Pa cinsinden.
  3. p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Cevabı ve adım adım çözümü göster

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Yüzeyden jete Bernoulli

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·4)) = 21,41 m/s

Debi

Q = A·v = 0,0004909·21,41 = 0,01051 m³/s = 10,51 L/s

Cevap

Q = 10,51 L/s

Sorular ve cevaplar

Süreklilik ve Bernoulli nedir?

Baş parmağınızı bahçe hortumunun ucuna koyarsanız su daha hızlı fışkırır. Aynı miktar suyun daha küçük bir açıklıktan geçmesi gerekir, bu yüzden daha hızlı hareket etmelidir.

Bu fikir sürekliliktir: dolu bir boruda su birikemez veya yok olamaz. Her saniye içeri giren, her saniye dışarı çıkmalıdır.

Süreklilik ve Bernoulli soruları adım adım nasıl çözülür?

Süreklilik ve Bernoulli: sıkıştırılamaz bir akışkan için debi her kesitte aynıdır, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Kayıpsız bir akım çizgisi boyunca p + ½ρv² + ρgz sabittir; bu yüzden akışkanın daha hızlı ya da daha yüksek olduğu yerde basınç daha düşüktür.

Süreklilik ve Bernoulli konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?
  • Hava basıncı da suyu dışarı iter: Bernoulli denklemine p/ρ’yu dahil edin.
  • Su yüksekliği de hıza katkı yapar: v = √(2(p/ρ + gh)).
Süreklilik ve Bernoulli alıştırmaları neleri kapsar?
  • Kolay: süreklilik
  • Orta: yatay daralma
  • Zor: yükselen boru

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

  • Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
  • Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
  • İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Hidrostatik kuvvet

Sonra devam edin

Boru sürtünmesi ve yük kaybı

Hesaplayıcılar

Bernoulli denklemi hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Akışkanlar MekaniğiMühendislik FiziğiHidrolik MühendisliğiFE Mechanical sınav hazırlığı

Makine alanında diğer konular

Kiriş mesnet tepkileriÇerçeveler ve makinelerEksenel gerilme ve şekil değiştirmeMillerin burulmasıMohr dairesi ve gerilme dönüşümüEğik atışİş ve enerjiRijit cismin dönmesiMekanik titreşimlerIsı makineleri ve soğutucularGaz güç çevrimleriBoru sürtünmesi ve yük kaybıPompalar ve pompa gücüIsı iletimiDişliler ve dişli dizileri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Süreklilik ve Bernoulli çalışma kâğıdı
Süreklilik ve Bernoulli konusunu ücretsiz çalışınSüreklilik ve Bernoulli konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.