Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü: adım adım çözümlü alıştırma soruları

Q: Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü alıştırmaları neleri kapsar?

Kolay: asal gerilmeler Orta: en büyük kayma ve asal doğrultu Zor: eğik düzlemdeki gerilme Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Diğer adları: Mohr çemberi · asal gerilmeler

Şekiller, ipuçları ve ayrıntılı çözümlerle ücretsiz Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü alıştırma soruları. Her seferinde yeni değerler, üç seviyede: asal gerilmeler, en büyük kayma ve asal doğrultu, eğik düzlemdeki gerilme.

Ücretsiz alıştırma sorusuKolay

Yüklü bir parçanın bir noktasında düzlem içi asal gerilmeler σ₁ = 90 MPa ve σ₂ = −20 MPa’dır (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi düzlemlerine etkiyen normal gerilme σ_avg değerini bulun.

σ₁ = 90 MPaσ₂ = −20 MPa

Sonraki soru →

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü konusunu ücretsiz çalışın Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.

Neler çalışırsınız

Kolayasal gerilmeler
Ortaen büyük kayma ve asal doğrultu
Zoreğik düzlemdeki gerilme

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü soruları nasıl çözülür

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Sık yapılan hatalar

Dönüşüm denklemlerinde 2θ yerine θ kullanmak.
(σx − σy)/2 ile τxy’yi Pisagor ile birleştirmek yerine toplamak.
Kayma gerilmesi için işaret kuralını yanlış almak.

Temel formüller

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü konusunu sıfırdan öğrenin

Bundan önce: Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

1Gerilme neden yöne bağlıdır?

Eksenel derste gerilme tek bir sayıydı: kuvvet bölü alan. Ama bir noktadaki gerilme, baktığınız kesitin yönüne bağlıdır.

Bir parça tebeşiri kırılana kadar bükün. Dümdüz kesilmez, 45°’lik bir spiral boyunca kırılır. O 45°’lik düzlemde çekme en büyüktür ve tebeşir çekmede zayıftır.

Bir noktadaki gerilmeyi tanımlamak için mühendisler, yüzlerindeki gerilmelerle birlikte küçük bir kare çizer; gerilme elemanı:

σ_x ve σ_y, yüzlere dik olan normal gerilmelerdir. Pozitif çekme demektir (oklar dışarı bakar), negatif basınç.
τ_xy, yüzler boyunca etkiyen kayma gerilmesidir. Kareyi bir eşkenar dörtgene çevirmeye çalışır.

Kareyi döndürün, yüzlerindeki gerilmeler değişir. Bu ders, onları her yön için nasıl bulacağınızı ve hangi yönlerin en tehlikeli olduğunu gösterir.

Kendini sına Bir noktada σ_x = −40 MPa. Bu ne anlama gelir?

40 MPa kayma gerilmesi
x yönünde 40 MPa basınç
x yönünde 40 MPa çekme
y yönünde 40 MPa basınç

Cevap: x yönünde 40 MPa basınç. Olağan işaret kuralıyla çekme pozitiftir, yani negatif bir σ_x basınçtır ve x’e dik yüzlere etkir.

2Mohr dairesi

Mohr çemberi, tüm yönlerin birden resmidir. Çember üzerindeki her nokta, parçadaki noktadan geçen olası bir kesittir.

Normal gerilme σ’yı sağa, kayma gerilmesi τ’yu yukarı doğru çizin. Sonra iki nokta işaretleyin:

(σ_x, τ_xy) noktasındaki x noktası: x’e dik yüzdeki gerilmeler,
(σ_y, −τ_xy) noktasındaki y noktası: y’ye dik yüzdeki gerilmeler.

Çember iki noktadan da geçer. Merkezi C, σ ekseni üzerinde, ikisinin tam ortasındadır. Yarıçapı R, Pisagor’dan çıkar:

C = (σ_x + σ_y) / 2 R = √( ((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² )

Çemberin σ eksenini kestiği yerde kayma gerilmesi sıfırdır. Bu iki değer, noktadaki en büyük ve en küçük normal gerilme olan asal gerilmelerdir. Çemberin tepesi, düzlem içindeki en büyük kayma gerilmesidir:

σ₁ = C + R σ₂ = C − R τ_max = R

Kendini sına σ_x = 50 MPa, σ_y = 10 MPa ve τ_xy = 15 MPa. σ₁ nedir?

45 MPa
50 MPa
55 MPa
65 MPa

Cevap: 55 MPa. C = 30 MPa ve R = √(20² + 15²) = 25 MPa, yani σ₁ = 55 MPa. 65, Pisagor yerine 20 + 15 toplar; 50 kayma gerilmesini yok sayar.

3Açılar: çemberde iki katı

Elemanı θ açısı kadar döndürmek, onun Mohr çemberi üzerindeki noktasını aynı yönde 2θ kadar hareket ettirir. Saat yönünün tersi pozitiftir.

σ₁’in yönü, x ekseninden itibaren θ_p açısıdır ve şuradan bulunur:

tan 2θ_p = 2τ_xy / (σ_x − σ_y)

Çeyreğe dikkat edin. σ_x − σ_y negatifse, τ_xy > 0 iken 2θ_p’ye 180° ekleyin veya τ_xy < 0 iken 180° çıkarın. Sonra yarıya bölün.

Maksimum kayma düzlemleri asal yönlerden 45° uzaktadır (çemberde 90°).

Normali x ekseninden θ kadar döndürülmüş bir düzlem için gerilmeler şunlardır:

σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy · sin 2θ

τ_θ = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy · cos 2θ

Kendini sına Bir noktada tan 2θ_p = 1 ve σ_x − σ_y pozitiftir. θ_p nedir?

22,5°
45°
90°
−67,5°

Cevap: 22,5°. 2θ_p = 45°, yani θ_p = 22,5°. 45° demek çemberden okunan açıyı yarıya bölmeyi unutmaktır. −67,5°, 90° uzaktaki σ₂’nin yönüdür.

4Adım adım yöntem

σ_x, σ_y ve τ_xy değerlerini işaretleriyle yazın: çekme pozitif, basınç negatif.
C merkezini bulun: C = (σ_x + σ_y)/2.
R yarıçapını bulun: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²).
Asal gerilmeler: σ₁ = C + R ve σ₂ = C − R. Düzlem içindeki en büyük kayma: τ_maks = R.
Yönler: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y), çeyreği kontrol edin, sonra yarıya bölün.
Verilen bir θ düzlemi için: 2θ ile σ_θ ve τ_θ denklemlerini kullanın.

Çemberin hızlı bir çizimi, kaba bile olsa, işaretleri ve hangi noktanın σ₁ olduğunu gösterir.

5Çözümlü bir örnek

Her adımı izleyin. Açmadan önce bir sonrakini tahmin etmeye çalışın.

Çözümlü örnek

Bir noktada σ_x = 80 MPa, σ_y = 20 MPa ve τ_xy = 40 MPa. Asal gerilmeleri, τ_maks’ı, σ₁’in θ_p yönünü ve saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilmeyi bulun.

Elemana bakın

İki normal gerilme de çekmedir. Kayma gerilmesi pozitiftir.

Merkez ve yarıçap

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa

R = √(30² + 40²) = 50 MPa

Asal gerilmeler ve maksimum kayma

σ₁ = 50 + 50 = 100 MPa σ₂ = 50 − 50 = 0 MPa

τ_max = R = 50 MPa

Asal doğrultu

tan 2θ_p = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σ_x − σ_y pozitiftir, bu yüzden düzeltme gerekmez: 2θ_p = 53,1° ve θ_p = x’ten saat yönünün tersine 26,6°.

45° döndürülmüş düzlem

θ = 45° ile 2θ = 90°: cos 2θ = 0 ve sin 2θ = 1.

σ_θ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa

Cevabı kontrol edin

σ_x + σ_y = 100 MPa toplamı, σ₁ + σ₂ = 100 MPa toplamına eşittir. Bu toplam her dönüşte aynıdır, yani hızlı bir kontroldür.

Ayrıca 90 MPa, her normal gerilmenin olması gerektiği gibi σ₂ = 0 ile σ₁ = 100 MPa arasındadır.

Cevap

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 0, τ_maks = 50 MPa, θ_p = 26,6° ve σ_45° = 90 MPa.

6Sık yapılan hatalar

(σ_x − σ_y)/2 ile τ_xy’yi doğrudan toplamak. Yarıçap onları Pisagor ile birleştirir.
Dönüşüm denklemlerinde 2θ yerine θ kullanmak veya çemberden okunan açıyı yarıya bölmeyi unutmak.
Eksi işaretini düşürmek: basınç gerilmesi negatif sayı olarak girmelidir.
y noktasını (σ_y, +τ_xy)’ye çizmek. O −τ_xy’dedir; merkezin x’e göre karşı tarafında.
σ_x < σ_y iken 2θ_p’nin çeyreğini gözden kaçırmak.

Kendini sına σ_x = 60 MPa, σ_y = 0 ve τ_xy = 40 MPa. Düzlem içindeki en büyük kayma gerilmesi nedir?

30 MPa
40 MPa
50 MPa
70 MPa

Cevap: 50 MPa. τ_maks = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70, 30 + 40 toplar; 30 kayma gerilmesini yok sayar; 40 yalnızca τ_xy’dir.

7Sınav soruları nasıl görünür

Kolay: asal gerilmeler. σ_x, σ_y ve τ_xy verilince σ₁ veya σ₂’yi bulun. Varyantlar: saf kayma veya bir açıyla kesilmiş eksenel bir çubuk.
Orta: maksimum kayma ve asal yön. τ_maks = R’yi veya −90° ile 90° arasındaki θ_p açısını bulun.
Zor: eğik düzlemdeki gerilme. 2θ ile σ_θ veya τ_θ denklemini kullanın. Varyantlar eksenel yükü ve burulmayı birleştirir veya von Mises ya da Tresca gibi bir yenilme kontrolünde asal gerilmeleri kullanır.

Önce C ve R’yi yazın. Bu konudaki neredeyse her soru bu iki sayıdan cevaplanır.

Uygulamada adım adım öğrenin Uygulamada adım adım öğrenin

Çözümlü örnekler

Örnek 1Kolay

Bir noktada σₓ = 30 MPa ve σᵧ = 50 MPa ile bir miktar kayma gerilmesi vardır. 30° döndürülmüş bir elemanda döndürülmüş x′ doğrultusundaki normal gerilme 87 MPa’dır. Döndürülmüş y′ doğrultusundaki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaσ_x′ = 87 MPaθ = 30°

İstenen: σ_y′ (MPa)

İpuçlarını göster

τₓᵧ’ye veya dönüşüm denklemlerine ihtiyacınız yok.
Birbirine dik iki düzlemdeki normal gerilmelerin toplamı her doğrultu için aynıdır (Mohr dairesinin merkezi hareket etmez).
σₓ + σᵧ = 80 MPa.

Cevabı ve adım adım çözümü göster

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Birinci gerilme invaryantı

x′ ve y′ noktaları bir çapın zıt uçlarındadır, bu yüzden ortalamaları her zaman C merkezidir.

σ_x′ + σ_y′ = σ_x + σ_y

σ_y′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Cevap

σ_y′ = −7 MPa

Örnek 2Orta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPa

İstenen: θ_p (°)

İpuçlarını göster

Mohr dairesini çizin: x noktası (σₓ, τₓᵧ), y noktası (σᵧ, −τₓᵧ) konumunda, C merkezi ikisinin tam ortasında.
tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Bölgeye (çeyreğe) dikkat edin.
C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.

Cevabı ve adım adım çözümü göster

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Elemandaki açı

θ_p = −54,22°

Cevap

θ_p = −54,22°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

Örnek 3Zor

İç çapı 500 mm ve et kalınlığı 5 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 2,5 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 60° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

İstenen: |τ_n| (MPa)

İpuçlarını göster

Çevresel gerilme σ_h = pr/t, eksenel gerilme σ_a = pr/(2t). Eksenel ve çevresel düzlemlerde kayma yoktur.
Dikiş boyunca kayma: |τ_n| = (σ_h − σ_a)·sin α·cos α.
σ_h = 125 MPa, σ_a = 62,5 MPa.

Cevabı ve adım adım çözümü göster

Cidar gerilmeleri

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa

σ_a = pr/(2t) = 62,5 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Cevap

|τ_n| = 27,06 MPa

Sorular ve cevaplar

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü nedir?

Eksenel derste gerilme tek bir sayıydı: kuvvet bölü alan. Ama bir noktadaki gerilme, baktığınız kesitin yönüne bağlıdır.

Bir parça tebeşiri kırılana kadar bükün. Dümdüz kesilmez, 45°’lik bir spiral boyunca kırılır. O 45°’lik düzlemde çekme en büyüktür ve tebeşir çekmede zayıftır.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü soruları adım adım nasıl çözülür?

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü konusunda en sık yapılan hatalar nelerdir?

Dönüşüm denklemlerinde 2θ yerine θ kullanmak.
(σx − σy)/2 ile τxy’yi Pisagor ile birleştirmek yerine toplamak.
Kayma gerilmesi için işaret kuralını yanlış almak.

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü alıştırmaları neleri kapsar?

Kolay: asal gerilmeler
Orta: en büyük kayma ve asal doğrultu
Zor: eğik düzlemdeki gerilme

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz. Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.

Çalışma nasıl işler

Her soruda yeni değerler olur; böylece bir cevabı değil, yöntemi öğrenirsiniz.
Takıldınız mı? Önce küçük bir ipucu açın, tam açıklamayı ise yalnızca gerektiğinde.
İlerlemeniz, hatalarınız ve kaydettiğiniz sorular saklanır; böylece sınavdan önce gözden geçirebilirsiniz.

Bu konudan önceki ve sonraki konular

Önce öğrenin

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Hesaplayıcılar

Mohr dairesi hesaplayıcı

Bu konuyu içeren dersler

Mukavemet Makine Tasarımı FE Mechanical sınav hazırlığı

Makine alanında diğer konular

Kiriş mesnet tepkileri Çerçeveler ve makineler Eksenel gerilme ve şekil değiştirme Millerin burulması Eğik atış İş ve enerji Rijit cismin dönmesi Mekanik titreşimler Isı makineleri ve soğutucular Gaz güç çevrimleri Süreklilik ve Bernoulli Boru sürtünmesi ve yük kaybı Pompalar ve pompa gücü Isı iletimi Dişliler ve dişli dizileri

Yazdırılabilir çalışma kâğıdı

Cevaplı Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü çalışma kâğıdı

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü konusunu ücretsiz çalışın Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü konusunu şimdi çalışınHer gün 5 ücretsiz soru. Kart gerekmez.