剪力图和弯矩图计算器
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结果
RA21 kN
RB23 kN
最大剪力 (x = 8 m)−23 kN
最大弯矩 (x = 4.167 m)44.08 kN·m
剪力为零的位置x = 4.167 m
反弯点无
| x (m) | V⁻ (kN) | V⁺ (kN) | M (kN·m) |
|---|---|---|---|
| 0 | — | 21 | 0 |
| 2 | 21 | 1 | 42 |
| 4 | 1 | 1 | 44 |
| 4.167 (V = 0) | 0 | 0 | 44.08 |
| 8 | −23 | — | 0 |
符号规定：截面左侧的力向上作用时剪力为正；使梁下凹（正弯曲）的弯矩为正。正值画在坐标轴上方。
绘制静定梁的剪力图（SFD）和弯矩图（BMD）。选择简支梁、悬臂梁或带外伸的梁，添加最多三个集中荷载、一个分布荷载和一个集中力偶，计算器会求出支座反力、最大剪力和最大弯矩及其位置、剪力为零的点以及所有反弯点。每个数字都一步一步地算出，你可以逐行核对自己的手算结果。
剪力图和弯矩图
分步解答
分布荷载的合力
W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN
x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m
由平衡条件求支座反力
ΣMA = 0: RB·8 = 20·2 + 24·6 = 184 kN·m
RB = 184/8 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 23 = 21 kN
关键截面处的剪力
从 A 向右逐段计算：向上的力使 V 增加，向下的力使 V 减小，分布荷载使 V 每单位长度减小 w。
V(0⁺) = 21 kN
V(2⁻) = 21 kN
V(2⁺) = 21 − 20 = 1 kN
V(4) = 1 kN
V(8⁻) = 1 − 6·4 = −23 kN
V(8⁺) = −23 + 23 = 0 kN
关键截面处的弯矩
dM/dx = V，所以两个截面之间 M 的变化等于它们之间剪力图的面积。
M(0) = 0 kN·m
M(2) = 0 + 21·2 = 42 kN·m
M(4) = 42 + 1·2 = 44 kN·m
M(8) = 44 + ½·(1 + (−23))·4 = 0 kN·m
弯矩最大的位置
V = 0: x = 4 + 1/6 = 4.167 m
M = 44 + 1²/(2·6) = 44.08 kN·m
|M|max = 44.08 kN·m, x = 4.167 m (sagging)
在右端检验
V(8⁺) = 0 kN, M(8) = 0 kN·m ✓
学习
关键公式
关键公式
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
如何绘制剪力图和弯矩图
如何绘制剪力图和弯矩图
- 画出整根梁的受力图。把分布荷载换成它的合力：集度乘以受载长度，作用在该长度的中点。
- 求支座反力。对一个支座取矩得到另一个支座的反力，然后用竖向力之和。悬臂梁的固定端承受全部荷载，外加一个反力偶。
- 标出关键截面：支座、每个集中荷载和集中力偶的位置，以及每个分布荷载的起点和终点。相邻两个关键截面之间，两个图形都很简单。
- 剪力：从左端的零开始，向右推进。向上的力使图形向上跳变其数值，向下的集中荷载使图形向下跳变。在均布荷载下，线条每单位长度下降 w；没有荷载时保持水平。
- 弯矩：两个截面之间弯矩的变化等于它们之间剪力图的面积，因为 dM/dx = V。V 为常数的地方弯矩是直线，均布荷载下是抛物线。顺时针的集中力偶使图形向上跳变其数值。
- 读出结果。弯矩在剪力过零处达到峰值。在自由端以及端部的铰支座或滚动支座处弯矩为零，弯矩变号的地方就是反弯点。
问与答
问与答
计算器使用什么符号规定？
当截面左侧各力之和向上时，剪力为正。使梁下凹（底面受拉）的弯矩为正。正值画在坐标轴上方。向下的荷载和顺时针的力偶请输入正数，向上的荷载或逆时针的力偶请输入负数。
弯矩最大的位置在哪里？
因为 dM/dx = V，弯矩在剪力为零或变号处达到峰值。在均布荷载下，它位于受载长度内部，距该段起点 V/w 处。只有集中荷载时，它正好在某个荷载下面。承受向下荷载的悬臂梁，它在固定支座处。 还要检查两端以及每个作用集中力偶的位置：弯矩在那里突变，绝对值最大值可能就出现在这些点。
什么是反弯点？
弯矩变号的截面，从正弯矩变为负弯矩或反过来。梁的曲率在那里反向。带外伸的梁通常在两个支座之间有一个反弯点，这对混凝土梁中钢筋的布置位置很重要。
为什么剪力图在集中荷载处会跳变？
集中荷载作用在一小段梁上，所以它左右两侧紧邻处的剪力相差整个荷载的大小。关键截面表给出了每个荷载和支座处的两个值，V⁻ 和 V⁺。
可以使用 kip 和 ft 吗？
可以。把单位切换为美制单位，所有结果都以 kip、ft 和 kip·ft 给出。两种单位制的方法相同。
它能求解哪些梁？
静定梁：简支梁、悬臂梁，以及右侧带外伸的简支梁。连续梁和带支撑的悬臂梁是超静定的，还需要用到挠度，所以不在范围内。
自己练习绘制
自己练习绘制
练习剪力和弯矩
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。