形心计算器（组合形状和多边形）
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结果
面积 A4737
x̄61.9
ȳ35.08
Ix (关于形心)5251529
Iy (关于形心)3131049
| 部分 | A | x | y | A·x | A·y |
|---|---|---|---|---|---|
| 矩形 120 × 20 | 2400 | 60 | 10 | 144000 | 24000 |
| 矩形 20 × 100 | 2000 | 60 | 70 | 120000 | 140000 |
| 三角形 | 450 | 80 | 30 | 36000 | 13500 |
| 孔: 圆 r = 6 | −113.1 | 60 | 100 | −6786 | −11310 |
所有数值使用相同的长度单位；面积以该单位的平方表示。
求组合面积的形心。把它描述为矩形、三角形、圆和半圆，并减去孔洞，或输入多边形的角点。计算器给出总面积、形心坐标 x̄ 和 ȳ，以及关于形心轴的截面二次矩，并附每个部分的表格。
分步解答
每个部分的面积和形心
矩形 120 × 20: A = 2400, x = 60, y = 10
矩形 20 × 100: A = 2000, x = 60, y = 70
三角形: A = 450, x = 80, y = 30
孔: 圆 r = 6: A = −113.1, x = 60, y = 100
孔洞按负面积计算。三角形的形心是三个顶点的平均位置；半圆的形心位于距平直边 4r/(3π) 处。
整个形状的形心
A = ΣA = 4737
x̄ = ΣA·x/ΣA = 293214/4737 = 61.9
ȳ = ΣA·y/ΣA = 166190/4737 = 35.08
关于形心的截面二次矩（平行轴定理）
Ix = Σ(I0 + A·(y − ȳ)²) = 5251529
Iy = Σ(I0 + A·(x − x̄)²) = 3131049
关键公式
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
如何求组合形状的形心
- 把形状分成面积和形心已知的简单部分，并把孔洞当作负面积。
- 矩形：形心在中心。三角形：三个顶点的平均位置。半圆：距平直边 4r/(3π)。
- 把每块面积乘以其形心的坐标，然后求和：ΣA·x 和 ΣA·y。
- 除以总面积：x̄ = ΣA·x/ΣA，ȳ = ΣA·y/ΣA。
- 对多边形，按顺序给出角点并使用鞋带公式。
问与答
如何输入各部分？
每个部分一项，用分号分隔：rect x y 宽 高（x、y 为左下角），tri x1 y1 x2 y2 x3 y3，circle xc yc r，semicircle xc yc r（平直边朝下，位于直线 y = yc 上）。在某个部分前加上 hole 即表示减去它。
形心可以在形状之外吗？
可以。对于 L 形、环形或 C 形，形心常常落在空的区域。
多边形的点必须按特定方向排列吗？
不必，顺时针和逆时针都可以。它们必须按顺序沿轮廓一圈，且边不能相互交叉。
为什么孔洞算作负面积？
带孔的形状等于完整形状减去孔，所以它的面积和面积的一次矩，都等于完整形状的值减去孔的值。
自己练一练
练习形心和惯性矩
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。