免费的形心和惯性矩练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：形心, 惯性矩, 弯曲应力。
做得好。想再做下一题吗？准备好做下一题了吗？ 每个主题每天都有 5 道新题。
把梁横着切开，看切开的截面。这个形状就是横截面，简称截面。
取一块 100 × 20 mm 的木板。平放在缝隙上，它下垂得很厉害。把同一块板竖着立在边上，它就硬得多，尽管面积完全相同。
重要的是材料离梁绕之弯曲的轴有多远。离该轴远的材料承担的作用大得多。
有两个性质描述这一点。形心是截面的几何中心：梁绕通过它的轴弯曲。惯性矩（截面二次矩） I 衡量面积离该轴有多分散。
答案: 竖放（b）. 竖放时，材料离弯曲轴更远。面积相同，但重要的是它离轴的距离。
对矩形而言，形心在中间。许多梁的截面，如 T 形，是由矩形组成的。
把截面分成若干矩形。对每一个，求其面积 Ai 和它自己形心的高度 yi，从同一条基准线量起，通常是底边。
整个截面的形心是这些高度按面积加权的平均值：
较大的部分把形心拉向它自己。在翼缘在上的 T 形截面中，形心位于半高之上。
答案: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm。60 mm 是高度的简单平均，忽略了面积。80 mm 是把面积弄反了。
对于宽 b、高 h 的矩形，绕通过其自身形心的水平轴弯曲：
高度取三次方，这就是为什么竖放的板硬 25 倍：20·100³ / (100·20³) = 25。
对于组合截面，每个部分距通过整体形心的轴有一段距离 d。平行轴定理为这个偏移增加一项：
单位是 mm⁴。数字会变得很大，所以答案常写成“× 10⁶ mm⁴”。
求出 I 后，距形心轴 y 处的弯曲应力可由弯矩 M 得出：
答案: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴。1 666 667 是把 b 和 h 弄反了（那是竖放的板）；800 000 是忘了除以 12。
一张含 A、y、A·y、Ic、d 和 A·d² 各列的小表可使一切井然有序。
跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。
一个 T 形截面，在 20 × 100 mm 的腹板上方有 100 × 20 mm 的翼缘。求形心高度 ȳ、惯性矩 Ix，以及在 4 kN·m 的正弯矩下顶部和底部边缘的弯曲应力。
翼缘（1）：A1 = 100·20 = 2000 mm²，形心在 y1 = 100 + 10 = 110 mm。
腹板（2）：A2 = 20·100 = 2000 mm²，形心在 y2 = 50 mm。
两块面积相等，所以 ȳ 在 110 和 50 mm 的正中间。
每个形心距 x 轴 30 mm：d1 = 110 − 80 = 30 mm，d2 = 50 − 80 = −30 mm。
对每个部分：
M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm。底边距轴 80 mm，顶边距轴 120 − 80 = 40 mm。
底边受拉，顶边受压，与任何正弯曲的梁一样。
ȳ = 80 mm，Ix = 5.33 × 10⁶ mm⁴，σbottom = 60 MPa，σtop = 30 MPa。
答案: 5.07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴。0.067 × 10⁶ 忘了 A·d²；5.00 × 10⁶ 忘了自身项；6.67 × 10⁶ 用了 1 666 667（b 和 h 互换）再加 A·d²。
给定的尺寸是翼缘的 bf 和 tf，以及腹板的 tw 和 hw。
求 T 形截面形心距底边的高度 ȳ。
求： ȳ (mm)
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
每个 y 都从底边量起。
一块 100 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
求： Ix (× 10⁶ mm⁴)
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
一块 100 mm × 200 mm 的板有一个宽 30 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
求： Ix (× 10⁶ mm⁴)
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
把梁横着切开，看切开的截面。这个形状就是横截面，简称截面。
取一块 100 × 20 mm 的木板。平放在缝隙上，它下垂得很厉害。把同一块板竖着立在边上，它就硬得多，尽管面积完全相同。
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。