梁的挠度：练习题及分步解答

免费的梁的挠度练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：悬臂梁，端部荷载, 均布荷载, 叠加与设计。

免费练习题简单
P = 3 kNδL = 1.5 m

悬臂梁自由端受集中力 P。求自由端挠度 δ。

P = 3 kNL = 1.5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
mm
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练习内容

  1. 简单悬臂梁，端部荷载
  2. 中等均布荷载
  3. 困难叠加与设计

关键公式

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

从零开始学习梁的挠度

学习本课之前： 剪力和弯矩, 形心和惯性矩

1什么是挠度

每根梁在荷载下都会稍微弯曲。梁上某一点向下移动的距离就是它的挠度 δ，通常以 mm 为单位。

PδL

一根梁可能强度足够，却仍然弯曲过大。这时楼板会有弹跳感，抹灰会开裂，门会卡住。楼板常见的限值是跨度/360：3.6 m 的楼板挠度最多为 10 mm。

梁的挠度大小取决于四件事：

  • 荷载：荷载加倍，挠度加倍；
  • 跨度：挠度随长度增长非常快（L³ 或 L⁴）；
  • 材料的杨氏模量 E：材料越刚，弯曲越小；
  • 截面的惯性矩 I：截面越高，弯曲越小。

E 和 I 总是以乘积 EI 的形式一起出现，即梁的抗弯刚度。

自测 你把一根梁换成惯性矩 I 为两倍的梁。其他一切不变。挠度会怎样？
  1. 保持不变
  2. 减半
  3. 加倍
  4. 变为原来的 1/4

答案: 减半. 挠度与 EI 成反比。I 加倍，δ 减半。

2标准公式

挠度由弯矩积分两次得到，但常见情形的结果已制成表。四种情形涵盖了大多数题目：

  • 悬臂梁，自由端集中荷载 P：δ = P·L³ / (3·E·I)
  • 悬臂梁，全长均布荷载 w：δ = w·L⁴ / (8·E·I)
  • 简支梁，跨中集中荷载 P：δmax = P·L³ / (48·E·I)
  • 简支梁，全跨均布荷载 w：δmax = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
PδL

对悬臂梁，最大挠度在自由端；对荷载对称的简支梁，最大挠度在跨中。

当梁承受多个荷载时，每个荷载单独产生的挠度相加。这就是叠加原理。

自测 一根悬臂梁在端部荷载下的梁端挠度为 2 mm。把这根悬臂梁加长一倍。新的挠度是多少？
  1. 16 mm
  2. 32 mm
  3. 4 mm
  4. 8 mm

答案: 16 mm. δ 与 L³ 成正比，所以 L 加倍使 δ 乘以 2³ = 8：2·8 = 16 mm。4 mm 把它当成了线性关系；32 mm 用了 L⁴，那是均布荷载的情形。

3单位：使用 N 和 mm

这些公式只有在单位一致时才成立。稳妥的选择是牛顿和毫米：

  • P 用 N：kN × 1000。
  • w 用 N/mm：1 kN/m 恰好等于 1 N/mm。
  • L 用 mm：m × 1000。
  • E 用 N/mm²：GPa × 1000。钢：200 GPa = 200 000 N/mm²。
  • I 用 mm⁴：“36 × 10⁶ mm⁴”表示 36 000 000 mm⁴。

这样算出的挠度单位是 mm。因为 L 要取三次方或四次方，数字会变得很大。使用带十的幂的计算器可以控制这些数。

自测 一根梁由钢制成，E = 200 GPa。用 N 和 mm 时应该用哪个 E 值？
  1. 0.2 N/mm²
  2. 200 000 000 N/mm²
  3. 200 000 N/mm²
  4. 200 N/mm²

答案: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm²，所以 200 GPa = 200 000 N/mm²。用 200 会使挠度大 1000 倍。

4分步方法

  1. 确定情形：悬臂梁还是简支梁，集中荷载还是均布荷载。
  2. 把 P、w、L、E 和 I 换算成 N 和 mm。
  3. 选择对应的公式。
  4. 计算 δ，单位 mm。
  5. 有多个荷载时：分别计算每一个，再相加。
  6. 对于设计类问题：令 δ 等于允许值（例如 L/360），解出 I。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一根钢悬臂梁（E = 200 GPa，I = 36 × 10⁶ mm⁴）长 3 m，在自由端承受 8 kN 的集中荷载。求自由端的挠度。

1

确定情形

P = 8 kNδL = 3 m

自由端有集中荷载的悬臂梁：δ = PL³/(3EI)。

2

换算为 N 和 mm

P = 8000 N，L = 3000 mm，E = 200 000 N/mm²，I = 36 000 000 mm⁴。

3

抗弯刚度

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7.2 × 10¹² N·mm²
4

端部挠度

L³ = 3000³ = 2.7 × 10¹⁰ mm³
δ = 8000 · 2.7 × 10¹⁰ / (3 · 7.2 × 10¹²) = 10 mm
5

检验答案

3 m 悬臂梁上的 10 mm 是 L/300。对于受荷的钢梁，这是一个现实的大小：既不是零点几毫米，也不是几十厘米。

答案

自由端的挠度为 δ = 10 mm。

6常见错误

  • 混用单位：L 用米而 E 用 N/mm² 会得出荒谬的结果。先把所有量换算为 N 和 mm。
  • 把 E 留在 GPa，会使 δ 大 1000 倍。
  • 用错情形，例如对悬臂梁使用 PL³/(48EI)。检查支座和荷载类型。
  • 忘了 5wL⁴/(384EI) 中的 5。
  • 叠加时，各荷载用不同公式，却漏掉其中一个荷载。
自测 一根简支梁承受跨中集中荷载，单独作用时产生 4 mm；还承受均布荷载，单独作用时产生 6 mm。跨中挠度是多少？
  1. 10 mm
  2. 2 mm
  3. 24 mm
  4. 6 mm

答案: 10 mm. 根据叠加原理，各荷载产生的挠度相加：4 + 6 = 10 mm。只取较大者、取差或取积都是错的。

7考试题是什么样的

  • 简单：端部受荷的悬臂梁。求 δ = PL³/(3EI)。变式：受中点荷载的简支梁、端部转角，或产生某一挠度所需的荷载。
  • 中等：均布荷载。悬臂梁（wL⁴/8EI）或简支梁（5wL⁴/384EI）。变式：偏离中心的荷载和端部转角。
  • 困难：叠加与设计。把集中荷载和均布荷载的挠度相加，或求使 δ 保持在 L/360 以下的最小 I。

对于设计情形：Ireq = 5wL⁴ / (384·E·δallow)，其中 δallow = L/360。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
P = 19 kNABδ2 m2 m

简支梁在跨中承受集中荷载 P。求跨中挠度 δmax。

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴

求： δmax (mm)

显示提示
  1. 跨中受集中荷载的简支梁，其跨中挠度为 δ = PL³/(48EI)。
  2. 用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
  3. EI = 2.4 × 10¹² N·mm².
显示答案和分步解答

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 19000 N, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

跨中挠度

δmax = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2.4 × 10¹²) = 10.56 mm

答案

δmax = 10.56 mm
例题 2中等
P = 26 kNABδ2 m4 m

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。 求自由端 B 处的挠度 δB。

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴

求： δB (mm)

显示提示
  1. A 与荷载之间的部分相当于长为 a、端部受荷的悬臂梁：δ = Pa³/(3EI)，θ = Pa²/(2EI)。
  2. 荷载以外没有弯矩，所以该部分保持为直线：δB = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI)。
  3. a = 2000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm².
显示答案和分步解答

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δP = Pa³/(3EI) = 4.127 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003095 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16.51 mm

答案

δB = 16.51 mm
例题 3困难
w = 4 kN/mABδ3 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 hreq。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm

求： hreq (mm)

显示提示
  1. 令跨中挠度 5wL⁴/(384EI) 等于限值，求所需的 I。
  2. 再对矩形用 I = bh³/12 求 h。
  3. Ireq = 4.602 × 10⁷ mm⁴.
显示答案和分步解答

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·4.602 × 10⁷/100)1/3 = 176.8 mm

答案

hreq = 176.8 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

问与答

什么是梁的挠度？

每根梁在荷载下都会稍微弯曲。梁上某一点向下移动的距离就是它的挠度 δ，通常以 mm 为单位。

一根梁可能强度足够，却仍然弯曲过大。这时楼板会有弹跳感，抹灰会开裂，门会卡住。楼板常见的限值是跨度/360：3.6 m 的楼板挠度最多为 10 mm。

梁的挠度题目如何一步步求解？

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

梁的挠度有哪些常见错误？
  • PL³/(3EI) 是端部受集中荷载的悬臂梁。跨中受集中荷载的简支梁挠度为 PL³/(48EI)。
  • 系数 5/384 属于均布荷载（配 wL⁴）。跨中集中荷载用 1/48。
  • 这是荷载作用处的挠度。荷载以外的梁段是直的但发生倾斜，所以要加上 θ·(L − a)。
梁的挠度练习包括哪些内容？
  • 简单: 悬臂梁，端部荷载
  • 中等: 均布荷载
  • 困难: 叠加与设计

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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