柱的屈曲：练习题及分步解答

1什么是屈曲

用力压塑料尺的两端。起初好像什么也没发生。然后，相当突然地，它向侧面弯鼓出去。这就是屈曲（失稳）。

柱是沿长度方向受压的构件：建筑物的柱、屋顶的支撑杆、活塞杆。

短而粗的柱因压碎而破坏：应力 P/A 达到材料的强度。细长的柱在低得多的荷载下就会屈曲，此时应力还远低于该强度。

细长柱发生屈曲的荷载称为临界荷载 P_cr。超过它，柱就不稳定并失效。

2欧拉公式

莱昂哈德·欧拉得出了细长柱的临界荷载：

• E 是材料的杨氏模量：钢为 200 GPa。
• I 是截面的惯性矩（截面二次矩）。要用最小的那个：柱向容易弯的方向弯曲。
• L 是长度，K 是有效长度系数，取决于两端的约束方式。

铰支端可以转动；固定端不能。端部约束越牢，有效长度 KL 越短，P_cr 高得多，因为 KL 是平方的。

对于圆杆 I = π·d⁴/64。对于矩形 b × h（b 为较小的边），I_min = h·b³/12。

3长细比与临界应力

把 P_cr 除以面积就得到临界应力。用回转半径 r 和长细比 λ（拉姆达）写出来最简洁：

对于实心圆杆，r = d/4。

只有当 σ_cr 低于材料的屈服应力时，欧拉公式才成立。对结构钢来说，这大致意味着长细比 λ > 100。较粗短的柱因屈服或两种方式混合而破坏，需要别的设计规则。

4分步方法

1. 读出端部条件并选取 K：1、2、0.7 或 0.5。
2. 求截面的最小 I，单位 mm⁴。
3. 换算为 N 和 mm：L 用 mm，E 用 N/mm²（GPa × 1000）。
4. 有效长度：KL。
5. 临界荷载：P_cr = π²EI/(KL)²，单位 N。除以 1000 得 kN。
6. 如果题目要求，检查长细比 KL/r 或临界应力 P_cr/A。

对于带安全系数 n 的设计题，柱必须有 P_cr = n·P。先由欧拉公式解出 I，再解出直径。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 选错 K，或忘了对它平方。
• 用了矩形的较大 I。柱总是绕弱轴屈曲。
• 混用单位：L 用米而 E 用 N/mm²。全程用 N 和 mm。
• 用了 π·d⁴/32（扭转中的极惯性矩 J）而不是 π·d⁴/64。
• 把欧拉公式用于短而粗的柱，其临界应力会超过屈服应力。

7考试题是什么样的

• 简单：两端铰支。求圆形或矩形钢柱或铝柱的 P_cr。
• 中等：其他端部条件。同样的问题，取 K = 2、0.7 或 0.5。
• 困难：设计与临界应力。求在给定安全系数下承受某荷载的最小直径，或求长细比和 σ_cr。

对于圆杆的设计情形：d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))^1/4。