明渠流（曼宁公式）：练习题及分步解答

免费的明渠流（曼宁公式）练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：渠道流速, 流量, 所需坡度。

免费练习题简单
b = 1 my = 0.8 mn = 0.014

水在一条宽 1 m 的矩形未抹面混凝土渠道中以 0.8 m 的水深作均匀流（曼宁 n = 0.014）。 底坡为 S = 0.0008。 用 SI 单位的曼宁公式求平均流速 V。

b = 1 my = 0.8 mn = 0.014S = 0.0008
m/s
下一题 →
免费练习明渠流（曼宁公式）立即练习明渠流（曼宁公式）每天 5 道免费题目，无需绑定银行卡。

练习内容

  1. 简单渠道流速
  2. 中等流量
  3. 困难所需坡度

关键公式

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

从零开始学习明渠流（曼宁公式）

1什么是明渠流

河流、运河、排水沟或未充满的下水道中的水，带有向大气敞开的自由表面。这就是明渠流。

没有任何东西推动水流。重力沿渠底的坡度向下拉水，渠底和渠壁的摩擦则阻碍它。

当这两者平衡时，水深和流速沿渠道保持不变。这称为均匀流，也是曼宁公式所描述的。

工程师用它来回答三个问题：水流多快、渠道能输送多少水、渠道必须多陡？

自测 在均匀明渠流中，哪两种作用相互平衡？
  1. 大气压和水压
  2. 水泵的压力与摩擦
  3. 水的重量与它的浮力
  4. 沿坡向下的重力与渠底和渠壁的摩擦

答案: 沿坡向下的重力与渠底和渠壁的摩擦. 渠底坡度让重力推动水流，粗糙的边界使它减速。当它们平衡时，水深和流速不再变化。

2水力半径与湿周

摩擦只在水接触渠道的地方起作用。绕横截面量得的这段边界就是湿周 P。自由表面接触的是空气，所以不计入。

byA = b·yP = b + 2y

图中的粗线是 P。阴影部分是过流面积 A。它们的比值就是水力半径：

R = A / P
  • 宽 b、水深 y 的矩形：A = b·y，P = b + 2y。
  • 边坡为 z:1（每 1 垂直对应 z 水平）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。
  • 满流或半满流的圆管：R = D/4。

R 大意味着很少的边界对应很多的水，所以每升水的摩擦更小，流速更快。

自测 一条矩形渠道宽 4 m，水深 1 m。水力半径 R 是多少？
  1. 0.5 m
  2. 0.667 m
  3. 1 m
  4. 4 m

答案: 0.667 m. A = 4 · 1 = 4 m²，P = 4 + 2 · 1 = 6 m，所以 R = 4/6 = 0.667 m。把自由表面计入 P（P = 8 m）会得到 0.5 m，1 m 是水深，不是 R。

3曼宁公式

在国际单位制中，均匀流的平均流速为：

V = (1/n) · R2/3 · S1/2
  • n 是曼宁粗糙系数。光滑的抹面混凝土约为 0.012，砖砌体 0.015，洁净土渠 0.022，草皮衬砌土渠 0.03。越粗糙，n 越大，水流越慢。
  • R 是水力半径，单位 m。
  • S 是渠底坡度，单位 m/m，是一个纯数。每千米下降 1.5 m 即 S = 1.5/1000 = 0.0015。

流量（泄流量）等于流速乘以过流面积：

Q = A · V

要求渠道所需的坡度，把两式合并并解出 S：

S = (n · Q / (A · R2/3))²
自测 一条渠道的底部在 1 km 内下降 2 m。曼宁公式中应使用的坡度 S 是多少？
  1. 0.0002
  2. 0.002
  3. 0.02
  4. 2

答案: 0.002. S = 落差/长度 = 2 m / 1000 m = 0.002。坡度没有单位，所以米必须约掉。

4分步方法

  1. 画出横截面草图，并写下 b、y、z（如为梯形）、n 和 S。
  2. 求过流面积 A。
  3. 求湿周 P：渠底加上被水浸湿的两侧，绝不包括自由表面。
  4. 水力半径：R = A/P。
  5. 曼宁公式：V = (1/n)·R2/3·S1/2。
  6. 如果求流量：Q = A·V。如果求坡度，用 S = (n·Q/(A·R2/3))²。

在计算器上，R2/3 要输入为带括号的 R^(2/3)。先分别算出 R2/3 和 √S，再相乘。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

水在一条宽 3 m 的矩形砖砌渠道中以 1 m 的水深均匀流动（曼宁 n = 0.015）。渠底坡度 S = 0.001。求平均流速 V 和流量 Q。

1

观察横截面

b = 3 my = 1 mn = 0.015S = 0.001

它是矩形，所以 A = b·y，P = b + 2y。

2

面积与湿周

A = 3 · 1 = 3 m²
P = 3 + 2 · 1 = 5 m
3

水力半径

R = A/P = 3/5 = 0.6 m

于是 R2/3 = 0.62/3 = 0.7114。

4

曼宁公式

√S = √0.001 = 0.03162。

V = (1/0.015) · 0.7114 · 0.03162 = 1.50 m/s
5

流量

Q = A · V = 3 · 1.50 = 4.50 m³/s
6

检验答案

衬砌渠道的流速通常为 1 到 3 m/s，所以 1.50 m/s 是合理的。较粗糙的土质衬砌（n = 0.022）在相同坡度下会给出较低的流速。

答案

V = 1.50 m/s，Q = 4.50 m³/s。

6常见错误

  • 用水深 y 代替水力半径 R。
  • 把自由表面计入湿周。
  • 对梯形，把每个侧边当作长 y。浸湿的侧边长为 y·√(1 + z²)。
  • 用 S 代替 √S，或者在解 S 时最后忘了平方。
  • 把以 m/km 表示的坡度当作 m/m 使用。
  • 题目问 Q 时给出了 V：要乘以面积。
自测 矩形渠道：b = 4 m，y = 1 m，n = 0.02，S = 0.0016。平均流速 V 是多少？
  1. 0.061 m/s
  2. 1.26 m/s
  3. 1.53 m/s
  4. 2.00 m/s

答案: 1.53 m/s. R = 4/6 = 0.667 m，所以 V = (1/0.02) · 0.667^(2/3) · 0.04 = 1.53 m/s。把水深当作 R 会得到 2.00 m/s，把自由表面计入 P 会得到 1.26 m/s。

7考试题是什么样的

  • 简单：矩形渠道中的流速。有时坡度以每千米的落差给出。
  • 中等：流量 Q，在矩形或梯形渠道中，或在满流或半满流的圆管中（R = D/4）。
  • 困难：渠道输送给定 Q 所需的底坡，或给定流速下下水道的坡度。

梯形示例：b = 2 m，y = 1 m，边坡 2:1，n = 0.022，S = 0.001。A = (2 + 2·1)·1 = 4 m²，P = 2 + 2·1·√5 = 6.47 m，所以 R = 0.618 m。

V = (1/0.022) · 0.6182/3 · √0.001 = 1.04 m/s, Q = 4 · 1.04 = 4.17 m³/s

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
b = 2.5 my = 1 mn = 0.022

水在一条宽 2.5 m 的矩形清洁土渠渠道中以 1 m 的水深作均匀流（曼宁 n = 0.022）。 渠底每千米下降 4 m。 用 SI 单位的曼宁公式求平均流速 V。

b = 2.5 my = 1 mn = 0.022落差 = 4 m/km

求： V (m/s)

显示提示
  1. 求过水断面的水力半径 R = A/P。
  2. 坡度是落差除以长度：S = 4/1000。
  3. R = 0.5556 m.
显示答案和分步解答

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

水力半径

A = b·y = 2.5·1 = 2.5 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·1 = 4.5 m
R = A/P = 0.5556 m

斜率

S = 4/1000 = 0.004

曼宁公式

V = (1/n)·R2/3·S1/2 = (1/0.022)·0.55562/3·0.0041/2 = 1.943 m/s

答案

V = 1.943 m/s
例题 2中等
D = 300 mmn = 0.013, S = 0.0005

一根内径 300 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。 曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.0005

求： Q (m³/s)

显示提示
  1. 满流：A = π·D²/4，P = π·D。
  2. 两种情况下 R = A/P = D/4 = 0.075 m。
  3. 用曼宁公式求 V，再求 Q = A·V。
显示答案和分步解答

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.0752/3·0.00051/2 = 0.3059 m/s

流量

Q = A·V = 0.07069·0.3059 = 0.02162 m³/s

答案

Q = 0.02162 m³/s
例题 3困难
b = 2.5 my = 1.8 mn = 0.03, Q = 2.7 m³/s

一条宽 2.5 m 的矩形植草土渠渠道 须以 1.8 m 的水深均匀输送 2.7 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 2.7 m³/sb = 2.5 my = 1.8 mn = 0.03

求： S (m/m)

显示提示
  1. 把 Q = A·V 与曼宁公式结合：Q = (1/n)·A·R2/3·S1/2。
  2. A = 4.5 m², R = 0.7377 m.
  3. 解出 S：S = (n·Q/(A·R2/3))²。
显示答案和分步解答

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 2.5·1.8 = 4.5 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·1.8 = 6.1 m
R = A/P = 0.7377 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·2.7/(4.5·0.8164) = 0.02205
S = 0.02205² = 0.0004861

答案

S = 0.0004861

即每千米下降 0.4861 m。

问与答

什么是明渠流（曼宁公式）？

河流、运河、排水沟或未充满的下水道中的水，带有向大气敞开的自由表面。这就是明渠流。

没有任何东西推动水流。重力沿渠底的坡度向下拉水，渠底和渠壁的摩擦则阻碍它。

明渠流（曼宁公式）题目如何一步步求解？

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

明渠流（曼宁公式）有哪些常见错误？
  • 使用水力半径 R = A/P，而不是水深。只有对很宽的渠道，水深才是好的近似值。
  • 自由水面不属于湿周：P = b + 2y。
  • 坡度是无量纲的：每 1000 m 下降 4 m，得 S = 0.004。
明渠流（曼宁公式）练习包括哪些内容？
  • 简单: 渠道流速
  • 中等: 流量
  • 困难: 所需坡度

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 你的进度、错题和收藏的题目都会保留，方便考前复习。

计算器

曼宁公式计算器

包含此主题的课程

水力学FE 土木考试练习

土木中的更多主题

剪力和弯矩桁架：节点法梁的挠度形心和惯性矩柱的屈曲土中有效应力固结沉降静水压力

可打印练习卷

明渠流（曼宁公式）练习卷（附答案）
免费练习明渠流（曼宁公式）立即练习明渠流（曼宁公式）每天 5 道免费题目，无需绑定银行卡。