剪力和弯矩：练习题及分步解答

免费的剪力和弯矩练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：集中力, 全跨均布荷载, 集中力 + 均布荷载。

免费练习题简单
P = 60 kNAB2.5 m2.5 m

简支梁承受一个集中荷载 P。 求荷载右侧紧邻处的剪力 Vx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 60 kN 位于 2.5 m
kN
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练习内容

  1. 简单集中力
  2. 中等全跨均布荷载
  3. 困难集中力 + 均布荷载

如何求解剪力和弯矩问题

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

常见错误

  • 把截面两侧的荷载都计入了。
  • 对正弯矩和负弯矩使用了错误的符号约定。
  • 题目问弯矩却回答了剪力。

关键公式

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

从零开始学习剪力和弯矩

学习本课之前： 梁的支座反力

1梁的内部发生了什么

在支座反力一课中，你求的是作用在梁上的外力。现在来看内部：梁上某一点的材料需要承受什么？

想象在某处把梁锯成两段。两半都会掉下去。为了让它留在原位，另一半必须用两种内力来托住它：

  • 剪力 V，阻止一侧相对另一侧向上或向下滑动（单位 kN）；
  • 弯矩 M，阻止一侧相对另一侧转动（单位 kN·m）。
PAB2 m2 m2 m

弯成微笑形、底部受拉的梁是正弯曲（下凹）。弯成皱眉形的梁，如阳台，是负弯曲（上凸）。

工程师需要 M，因为梁中的弯曲应力随它增大；需要 V，因为梁在支座附近不能被剪断。

自测 一根简支梁承受向下的荷载。梁的哪一侧受拉？
  1. 两侧受拉程度相同
  2. 两侧都不受拉，梁只是变短
  3. 底部：梁是正弯曲（下凹）
  4. 顶部：梁是负弯曲（上凸）

答案: 底部：梁是正弯曲（下凹）. 两端支承的梁在向下荷载作用下弯成微笑形。底部纤维变长（受拉），顶部纤维变短（受压）。

2截面法

要求距 A 为 x 处的 V 和 M，就在该处切开梁，只保留切口左边的部分。这一部分自身处于平衡。

RA​VMAx

常用的符号规则：作用在左段上的向上的力产生正剪力，正弯曲（下凹）的弯矩为正。由此得到两个简短的公式：

  • 剪力：V = RA 减去切口左侧所有向下的荷载。
  • 弯矩：M = RA·x，再对切口左侧的每个荷载减去该荷载乘以它到切口的距离。

切口左侧的均布荷载部分，等效为作用在其自身中点的一个力 w·ℓ，与支座反力一课中一样。

你也可以改为保留右段。得到的 V 和 M 相同，这是一种有用的检验。

自测 RA = 10 kN。第一个荷载距 A 点 5 m。x = 3 m 处的弯矩是多少？
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3.3 kN·m
  4. 30 kN·m

答案: 30 kN·m. 切口左侧没有荷载，所以 M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m。10 kN 是该处的剪力，不是弯矩。

3内力图与最大弯矩

如果你算出每个 x 处的 V 和 M，就得到剪力图和弯矩图。它们的形状遵循简单的规律：

  • 在集中荷载之间，V 为常数，M 是一条直线。
  • 在均布荷载下，V 沿直线下降，M 是一条曲线（抛物线）。
  • 集中荷载使 V 突变，突变量等于荷载大小。
  • M 在 V 变号、经过零的地方最大。

有两个结果经常出现，值得记住：

  • 跨中集中荷载 P：Mmax = P·L / 4
  • 全跨均布荷载 w：Mmax = w·L² / 8
自测 一根 6 m 的简支梁在整个跨度上承受 4 kN/m 的均布荷载。最大弯矩是多少？
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

答案: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m，在跨中。36 用了 /4（集中荷载的规则）；12 kN 是反力 wL/2。

4分步方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在截面 x 处切开梁，保留左段。
  3. 剪力：V = RA 减去左段上所有向下的荷载。
  4. 弯矩：M = RA·x，再减去左段上每个荷载乘以它到切口的距离。
  5. 求最大弯矩：找出 V = 0 的位置，并计算该处的 M。

把左段单独画成一张小草图。这样很容易看出该包含哪些荷载。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一根跨度 6 m 的简支梁在整个长度上承受 4 kN/m 的均布荷载。求距 A 点 x = 2 m 处的剪力 V 和弯矩 M。

1

观察这根梁

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

支座反力

总荷载为 4 · 6 = 24 kN，作用在中点。由对称性，每个支座承担一半：

RA = RB = 12 kN
3

保留左段

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

左段上的均布荷载为 4 · 2 = 8 kN。它作用在自身的中点，距切口 1 m。

4

剪力

V = 12 − 8 = 4 kN
5

弯矩

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

结果为正，所以梁在此处是正弯曲（下凹）。

6

检验答案

改用右段：它长 4 m，RB = 12 kN，均布荷载为 16 kN，作用点距切口 2 m。

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

完整的弯矩图是一条抛物线，峰值 wL²/8 = 18 kN·m 在跨中。x = 2 m 处的 16 kN·m 与之吻合。

1618 kN·mMx = 2x = 3
答案

V = 4 kN，M = 16 kN·m（正弯曲）。

6常见错误

  • 把切口两侧的荷载都计入。只用你保留的那一段。
  • 力臂从 A 点量起，而不是从切口量起。在 M 中，每个距离都是从荷载到切口。
  • 题目问 M 却答了 V，或者反过来。检查单位：是 kN 还是 kN·m。
  • 取了整个均布荷载，而不是只取切口左侧的那部分。
  • 混用符号规则。按常用规则，简支梁在向下荷载下各处的弯矩均为正（正弯曲）。
自测 一根 4 m 的简支梁在跨中承受 20 kN，所以 RA = 10 kN。x = 1 m 处的 M 是多少？
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

答案: 10 kN·m. 切口左侧只有 RA：M = 10·1 = 10 kN·m。0 错误地减去了荷载，而该荷载在切口右侧。20 kN·m 是 PL/4，即跨中的最大值。10 kN 是剪力。

7考试题是什么样的

  • 简单：一个集中荷载。求荷载处的 M，或紧邻荷载处的 V。变式使用悬臂梁，其 M 在墙处最大。
  • 中等：如例题那样，全跨均布荷载。求给定 x 处的 V 或 M，或求最大弯矩。
  • 困难：集中荷载与均布荷载同时作用，或部分均布荷载。求某截面的 M，或 V = 0 处的最大弯矩。

有些版本使用伸出支座的外伸梁。外伸部分是负弯曲（上凸），所以那里的 M 为负。

总是先求支座反力，并把它们写在草图上。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
显示提示
  1. 弯矩的峰值出现在剪力变号的地方、固定墙处，或在紧邻外伸段的支座上方。
  2. 先求支座反力：R1 = 33.33 kN。
  3. 比较各候选标记点处的弯矩；最大的绝对值为 66.67 kN·m。
显示答案和解析

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 33.33 kN, R2 = 6.667 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 66.67 kN·m, MC = 53.33, MD = 40, ME = 26.67, MF = 13.33, MG = 0

答案

标记点 B: MB = 66.67 kN·m
例题 2中等
w = 5 kN/mAB截面0.5 m5.5 m

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 mx = 0.5 m

求： Mx (kN·m)

显示提示
  1. 先由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 然后在 x = 0.5 m 处截开梁，只看截面左侧部分。将这些力对截面取矩并求和。
  3. RA = 15 kN.
显示答案和分步解答

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15截面0.5 m5.5 m

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 15·0.5 − 5·0.5·0.25 = 6.875 kN·m

答案

Mx = 6.875 kN·m
例题 3困难
w = 6 kN/mP = 45 kNAB截面1.5 m3.5 m1 m

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 45 kN 位于 1.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 6 mx = 5 m

求： Mx (kN·m)

显示提示
  1. 先由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 然后在 x = 5 m 处截开梁，只看截面左侧部分。将这些力对截面取矩并求和。
  3. RA = 51.75 kN.
显示答案和分步解答

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1.5 + 6·6·3
RB = 175.5/6 = 29.25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29.25 = 51.75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51.75RB​ = 29.25截面1.5 m3.5 m1 m

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 51.75·5 − 45·(5 − 1.5) − 6·5·2.5 = 26.25 kN·m

答案

Mx = 26.25 kN·m

问与答

什么是剪力和弯矩？

在支座反力一课中，你求的是作用在梁上的外力。现在来看内部：梁上某一点的材料需要承受什么？

想象在某处把梁锯成两段。两半都会掉下去。为了让它留在原位，另一半必须用两种内力来托住它：

剪力和弯矩题目如何一步步求解？
  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
剪力和弯矩有哪些常见错误？
  • 把截面两侧的荷载都计入了。
  • 对正弯矩和负弯矩使用了错误的符号约定。
  • 题目问弯矩却回答了剪力。
剪力和弯矩练习包括哪些内容？
  • 简单: 集中力
  • 中等: 全跨均布荷载
  • 困难: 集中力 + 均布荷载

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 你的进度、错题和收藏的题目都会保留，方便考前复习。

本主题的前后主题

先学习

梁的支座反力

接下来学习

梁的挠度

计算器

剪力图和弯矩图计算器弯曲应力计算器（σ = My/I）

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