梁的支座反力：练习题及分步解答

1什么是支座反力

梁是一根承载荷载跨越缝隙的长直构件，像搁板、楼板托梁或小桥。

梁搁在支座上。当荷载把梁往下压时，支座往上推回。这些向上的力就是支座反力。

这里 10 kN 的荷载恰好在中间。由对称性，每个支座承担一半：R_A = R_B = 5 kN。

当荷载不在中间时，较近的支座承担得更多。具体求出多少是本课的主题。

几乎每个其他梁的问题，你都先需要反力：剪力、弯矩、应力和挠度。

2支座、力矩和平衡

每种支座都能以自己的方式向回推。

• 滚动支座（图中的 B）只能垂直于它滚动的表面推。它提供一个竖直反力。
• 铰支座（A）阻止梁向任何方向移动。它提供一个竖直反力和一个水平反力。只有竖直荷载时，水平反力为零。
• 固定支座，如墙，还阻止梁转动。它提供一个竖直力和一个反力矩。

力矩是力对一点的转动效应。它等于力乘以该点到力的垂直距离：

静止的梁既不移动也不转动。所以三个平衡方程成立：

力矩方程对任意一点都成立。选一个支座作为该点：它的反力距离为零，所以会从方程中消去。

3分布荷载

有些荷载沿梁分布，例如楼板或积雪的重量。均布荷载（UDL）在每一米上的值都相同，为 w，单位 kN/m。

求反力时，可以用一个力代替均布荷载。它的大小是每米荷载乘以受载长度，作用在受载部分的中点：

在图中，ℓ = 3 m，所以 W = 4 · 3 = 12 kN。它作用在荷载的中点，距 A 为 x = 1 + 1.5 = 2.5 m。

悬臂梁只有一端固定，像阳台。墙提供一个向上的力和一个力矩。对于距离 L 处的端部荷载 P：R_A = P，M_A = P·L。

在这根悬臂梁中，R_A = 5 kN，M_A = 5 · 3 = 15 kN·m。

4分步方法

1. 画出梁，并把每个支座换成它的反力：铰支座处是 R_A，滚动支座处是 R_B。
2. 把每个均布荷载换成作用在受载部分中点的单个力 w·ℓ。
3. 对 A 取矩。R_A 被消去，所以直接得到 R_B：R_B·L = Σ（每个荷载 × 它到 A 的距离）。
4. 用 ΣF_y = 0：R_A = （总荷载）− R_B。
5. 检验：对 B 取矩。这应该给出相同的 R_A。

第 3 步的符号规则：反力 R_B 使梁绕 A 向一个方向转，向下的荷载使它向另一个方向转。它们的力矩必须平衡。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 从错误的点量距离。在对 A 的力矩方程中，每个距离都是从 A 量起的。
• 把反力弄反。对 A 取矩得到的是 R_B，不是 R_A。
• 忘了把均布荷载变成一个力 w·ℓ，或者把该力放在跨度的中点而不是荷载的中点。
• 混淆转动方向，使荷载和反力在力矩方程中带上相同的符号。
• 不检验。再对 B 取一次矩，几秒钟内就能发现大多数失误。

7考试题是什么样的

• 简单：带一个集中荷载的简支梁。求 R_A 或 R_B。
• 中等：两个集中荷载，如例题所示。
• 困难：集中荷载加上作用在部分或整个跨度上的均布荷载。先把均布荷载换成其中点处的 w·ℓ。

其他形式使用相同的三个方程：悬臂梁（求墙处的力矩 M_A）、倾斜的荷载（只用它的竖直分量 P·sin θ）、外加力偶、在支座外伸出的梁，或三角形荷载（合力 ½·w·ℓ，作用在距高端三分之一长度处）。

仔细阅读梁下面标注的尺寸，并在开始之前写出每个到 A 的距离。