框架与机器：练习题及分步解答

免费的框架与机器练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：二力杆与简单机器, 销钉力与连杆机构, 多杆框架。

免费练习题简单
15 kN4 m1.2 m0.8 m0.8 mABCDEK

图示 A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 4 m。腿 AC 上的 K 点距 A 水平 0.8 m，作用 15 kN 的竖直载荷。求滚轴处的竖直反力 By。

P = 15 kNAB = 4 mA 到 K 的水平距离 = 0.8 m
kN
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练习内容

  1. 简单二力杆与简单机器
  2. 中等销钉力与连杆机构
  3. 困难多杆框架

如何求解框架与机器问题

  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。

常见错误

  • 把两销钉之间还有载荷的杆件当作二力杆。
  • 把销钉力在它连接的两根杆件上画成同一方向。
  • 在力矩方程中把整个斜向力当作竖直分量。
  • 题目要求销钉力的大小时只给出一个分量。

关键公式

每根杆件的平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
二力杆
力沿通过其两个销钉的直线作用
销钉力
作用在其连接的两根杆件上，大小相等、方向相反
销钉力的大小
F = √(Fx² + Fy²)
杠杆、钳子、曲柄摇臂
Fin·a = Fout·b
肘节机构
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点

从零开始学习框架与机器

学习本课之前： 梁的支座反力, 桁架：节点法

1什么是框架与机器

在桁架中，每根杆件都是两端有销钉的直杆，载荷只作用在节点上，因此每根杆件只受拉或受压。框架则不同：至少有一根杆件在三个或更多点受力，或者在两销钉之间受载荷。这样的杆件还会弯曲。

ABCDE8 kN

在这个 A 形框架中，腿 AC 和 BC 是多力杆：每根在支座、拉杆和销钉 C 处受力。拉杆 DE 两端铰接，中间不受力。能够运动并把输入力转化为输出力的框架，例如钳子、杠杆或夹具，称为机器。

自测 A 形框架的哪根杆件是二力杆？
  1. 拉杆 DE
  2. 每根杆件，因为每根两端都有销钉
  3. 腿 AC，因为它承受载荷
  4. 腿 BC，因为它支承在滚轴上

答案: 拉杆 DE. DE 只在其两个销钉处受力，所以其力沿 DE 方向。每条腿除了支座和销钉 C 之外，还在 D 或 E 处受到拉杆的力，所以它受三个力，而不是两个。

2二力杆与销钉力

只在两个销钉处受力的杆件是二力杆。它的两个力大小相等、方向相反，并位于通过两销钉的直线上。因此它只带来一个未知量，即该力的大小，而不是两个分量。

两根杆件在一个销钉处相连时，销钉对一根杆件的作用力为 (Cx, Cy)，对另一根杆件的作用力则相反，为 (−Cx, −Cy)。在两个受力图上都按这种方式、用相同的符号画出。

每根单独的杆件给出三个方程：ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对有未知力作用的销钉取矩，这样它的两个分量都不出现。

3分步方法

  1. 画出整个框架，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 标出二力杆：其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根多力杆，并画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对某个销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。最后把分量合成为大小：F = √(Fx² + Fy²)。

4例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

A 形框架支承在 A 处的铰支座和 B 处的滚轴上，二者相距 3 m。销钉 C 高 2.4 m，拉杆 DE 距地面 0.8 m。C 处作用 8 kN 的载荷。求拉杆中的拉力 T，以及销钉 C 对腿 BC 的作用力。

1

观察框架

ABCDE8 kN3 m0.8 m1.6 m

拉杆 DE 是二力杆，因此它沿水平方向拉两条腿。

2

整个框架

载荷在中间，所以每个支座承担一半。

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

腿 BC：对 C 取矩

4 kNTCx​Cy​CEB

B 在 C 右侧 1.5 m 处，拉杆在 C 下方 2.4 − 0.8 = 1.6 m 处。

4·1.5 = T·1.6 ⇒ T = 3.75 kN
4

腿 BC：力的平衡

Cx = T = 3.75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3.75² + 4²) = 5.48 kN
5

检验答案

在腿 AC 上，销钉力方向相反：(−3.75, +4) kN。Ay = 4 kN，拉杆为 +3.75 kN，载荷为 −8 kN，两个力的和都为零。

答案

T = 3.75 kN（拉力），腿 BC 上的 C = 5.48 kN。

5机器：钳子、杠杆和肘节机构

对于机器，画出其中一个部件，并对其枢轴取矩。销钉力不出现，输入力与输出力保持平衡：

Fin·a = Fout·b

手距销钉 100 mm、钳口距销钉 25 mm 的钳子，把力放大 100/25 = 4 倍。此时销钉承受两个力：在其中一半上，两个力位于销钉两侧而方向相同，所以相加。

在肘节机构中，两根连杆以较小的角度 θ 相交。每根连杆是二力杆，力为 F/(2 sin θ)，夹紧力为 F/(2 tan θ)。连杆越平，力越大。

自测 在距销钉 100 mm 处用 50 N 的力握紧钳子，钳口距销钉 25 mm。夹持力是多少？
  1. 12.5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

答案: 200 N. 对销钉取矩：50·100 = Q·25，所以 Q = 200 N。把比值颠倒会得到 12.5 N，而 250 N 是销钉力，即手的力加上夹持力。

6常见错误

  • 把两销钉之间还有载荷的杆件当作二力杆。
  • 把销钉力在它连接的两根杆件上画成同一方向。
  • 把斜撑杆的整个力当作其竖直分量。
  • 题目问销钉力的大小时只给出一个分量。
自测 一根撑杆以与梁成 30° 的角度对梁施加 10 kN 的力。垂直于梁的分量是多少？
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8.66 kN

答案: 5 kN. 垂直分量为 10·sin 30° = 5 kN。8.66 kN 是沿梁方向的分量（cos 30°），10 kN 是整个力。

7考试题是什么样的

  • 简单：二力杆与简单机器。求钳子的夹持力或销钉力、墙架撑杆的力、A 形框架的拉杆力或支座反力，或曲柄摇臂的输出力。
  • 中等：销钉力与连杆机构。求支架或曲柄摇臂的销钉反力、偏心载荷下的拉杆力、销钉对腿的作用力、三铰框架中某根杆件的力，或肘节机构的夹紧力。
  • 困难：多杆框架。在支架上加均布载荷，求带自重的吊臂的缆绳力或销钉反力、偏心载荷下的销钉力、有水平载荷时的支座反力，或肘节压力机所需的力。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
12 kN0.5 m1 m1.2 mABCD

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 1.2 m。自由端 B 悬挂 12 kN 的载荷。忽略自重。求撑杆中的力 FCD。

P = 12 kNAD = 0.5 mAB = 1.5 mAC = 1.2 m

求： FCD (kN)

显示提示
  1. CD 只在两个销钉处受力，所以是二力杆：其力沿 CD 方向。
  2. 对梁取关于 A 的矩：只有撑杆和载荷有力矩。
  3. sin α = 1.2/√(0.5² + 1.2²) = 0.9231.
显示答案和分步解答

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

二力杆

撑杆两端都有销钉，两者之间没有载荷。

tan α = 1.2/0.5, sin α = 0.9231

梁关于 A 的力矩

FCD·sin α·0.5 = 12·1.5
FCD = 18/(0.9231·0.5) = 39 kN

答案

FCD = 39 kN

撑杆向上推梁：它受压。

例题 2中等
8 kN0.75 m1.25 m0.75 mABCD

水平梁 AB 在 A 处铰接于墙上，并由撑杆 CD 支撑，撑杆铰接于墙上 C 点，C 在 A 下方 0.75 m。B 处悬挂 8 kN 的载荷。忽略自重。求 A 处作用在梁上的销钉力的大小 A。

P = 8 kNAD = 0.75 mAB = 2 mAC = 0.75 m

求： A (kN)

显示提示
  1. 先求撑杆力：对梁取关于 A 的矩。
  2. FCD = 30.17 kN, sin α = 0.7071, cos α = 0.7071.
  3. 然后对梁用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0，得到 A 处的分量。
显示答案和分步解答

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

撑杆力

FCD = 8·2/(0.7071·0.75) = 30.17 kN

A 处的分量

Ax = FCD·cos α = 21.33 kN （指向墙）
Ay = 8 − FCD·sin α = −13.33 kN

模

A = √(21.33² + −13.33²) = 25.16 kN

答案

A = 25.16 kN

Ay 为负，表示墙在 A 处向下拉梁。

例题 3困难
8 kN1 kN2 m1 mABC

一根重 1 kN 的均质水平吊臂 AB 在 A 处铰接于墙上，并由一根从其端点 B 到墙上 C 点的缆绳固定，C 在 A 上方 1 m。B 处悬挂 8 kN 的载荷。求缆绳中的拉力 T。

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

求： T (kN)

显示提示
  1. 缆绳沿 BC 方向拉。对吊臂取关于 A 的矩。
  2. 缆绳的竖直分量 T·sin β 的力臂为 AB；其水平分量通过 A。
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0.4472.
显示答案和分步解答

框架与机器：与桁架不同，框架至少含有一根在两个以上的点受力、或在两销钉之间受载荷的杆件。首先找出二力杆：只在两个销钉处受力的杆件，其力沿通过两销钉的直线，因此只增加一个未知量，而不是两个。当未知量不超过三个时，用整个结构求支座反力。最后把框架拆开：分别画出每根杆件，在它们相连的两根杆件上画出大小相等、方向相反的销钉力，并写出 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对某个销钉取矩，会使该销钉力的两个分量都从方程中消去。

缆绳角

BC = √(2² + 1²) = 2.236 m, sin β = 0.4472

对 A 取矩

T·0.4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19.01 kN

答案

T = 19.01 kN

问与答

什么是框架与机器？

在桁架中，每根杆件都是两端有销钉的直杆，载荷只作用在节点上，因此每根杆件只受拉或受压。框架则不同：至少有一根杆件在三个或更多点受力，或者在两销钉之间受载荷。这样的杆件还会弯曲。

在这个 A 形框架中，腿 AC 和 BC 是多力杆：每根在支座、拉杆和销钉 C 处受力。拉杆 DE 两端铰接，中间不受力。能够运动并把输入力转化为输出力的框架，例如钳子、杠杆或夹具，称为机器。

框架与机器题目如何一步步求解？
  1. 画出整个结构，若未知量不超过三个，就先求支座反力。
  2. 找出二力杆：只在两个销钉处受力，其力沿两销钉之间的连线作用。
  3. 把框架拆开，分别画出每根杆件，在杆件相连处画出大小相等、方向相反的销钉力。
  4. 对每根杆件，对有未知力的销钉取矩，再用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0；最后把分量合成为大小。
框架与机器有哪些常见错误？
  • 把两销钉之间还有载荷的杆件当作二力杆。
  • 把销钉力在它连接的两根杆件上画成同一方向。
  • 在力矩方程中把整个斜向力当作竖直分量。
  • 题目要求销钉力的大小时只给出一个分量。
框架与机器练习包括哪些内容？
  • 简单: 二力杆与简单机器
  • 中等: 销钉力与连杆机构
  • 困难: 多杆框架

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

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