功和能：练习题及分步解答

1什么是能量

能量是使物体运动或变化的能力。它以焦耳（J）为单位。一焦耳是用 1 N 的力推动 1 m 所需的能量。

能量既不会凭空产生，也不会消失。它只是改变形式。落下的球把高度变成速度。刹车的汽车把速度变成刹车里的热。

这给你一条强有力的捷径。你不必用力一秒一秒地追踪运动，只要比较起点和终点的能量。

在这个主题中你会遇到三种机械能：运动的能量、高度的能量和储存在弹簧中的能量。摩擦带走能量并把它变成热。

2功和动能

当力使物体移动时，它就做了功。功等于力乘以物体沿力的方向移动的距离：

这里 α 是力与运动方向之间的夹角。沿运动方向的力（α = 0）做全部的功。成直角的力（α = 90°）完全不做功。

运动的能量是动能。它随速度的平方增长，所以速度加倍，能量变为四倍：

所有力做的功之和等于动能的变化。这就是功能定理。

3势能：高度和弹簧

位置更高的物体可以下落并获得速度。它因高度而具有的能量是重力势能：

只有高度的变化才重要，所以零点水平由你自己选定。运动的最低点通常是最容易的选择。

被压缩或拉伸了距离 x 的弹簧储存弹性势能。这里 k 是弹簧的劲度系数，单位 N/m：

把一切放在一个能量平衡里。W_f 是克服摩擦所做的功，它以热的形式散失：

对于从静止开始的自由落体，没有摩擦，这给出 m·g·h = ½·m·v²，所以 v = √(2gh)。质量被消去。

4分步方法

1. 画出情形。标出起点 1 和终点 2，并选定高度的零点水平。
2. 写出点 1 的能量：E_k1 = ½·m·v₁²，E_p1 = m·g·h₁，如果弹簧被压缩，还有 ½·k·x₁²。
3. 用同样的方式写出点 2 的能量。未知量用符号表示。
4. 求克服摩擦所做的功。在斜面上法向力为 N = m·g·cos θ，所以 W_f = μ·m·g·cos θ·d，其中 d 是滑行的距离。
5. 代入能量平衡并解出未知量。

即使只用能量，也要把力画出来。图会显示哪些力做功，哪些不做功。

法向力 N 与运动方向成直角，所以不做功。它之所以重要，只是因为摩擦力取决于它。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 在斜面上把重力 m·g 当作法向力。在斜面上 N = m·g·cos θ。
• 把沿斜面的距离当作高度。高度的下降是 d·sin θ。
• 最后忘了开平方根：½·m·v² 给出的是 v²，不是 v。
• 在最后的能量中，摩擦功的符号加错了。摩擦总是从运动中带走能量。
• 把弹簧的能量写成 k·x 而不是 ½·k·x²，或者让 x 仍以 cm 为单位。

7考试题是什么样的

• 简单：自由落体和其他单一的转换。落下的球（求 v 或 E_k）、从某个角度释放的摆、撞上弹簧的物块、拉绳的功，或起重机的功率（P = m·g·h / t）。
• 中等：有摩擦的斜面上的物块：求滑行一段距离后的速度或克服摩擦所做的功。变化形式包括汽车打滑刹停、弹簧发射器，以及上坡行驶所需的功率。
• 困难：一道题里包含几个阶段。例如光滑的斜坡，然后是粗糙的一段，再是弹簧：求在弹簧处的速度或最大压缩量。其他的结合了被拉的物块、回环或两个相连的物块。

在困难题中，写一个从最开始到最末尾的能量平衡。把每个粗糙部分的摩擦功都加进去。

对于弹簧的最大压缩量，物块会短暂停止，所以它的全部动能都在弹簧里：½·m·v² = ½·k·x²。