轴向应力与应变：练习题及分步解答

免费的轴向应力与应变练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：正应力, 应变和伸长量, 阶梯杆。

免费练习题简单
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根黄铜管（外径 100 mm，内径 50 mm，E = 100 GPa）内。二者长度均为 800 mm，在刚性板之间被 80 kN 的力一起压缩。 求杆中的压应力 σr。

P = 80 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
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练习内容

  1. 简单正应力
  2. 中等应变和伸长量
  3. 困难阶梯杆

关键公式

正应力
σ = F/A
应变
ε = ΔL/L
胡克定律
σ = E·ε
伸长量
ΔL = FL/(EA)
热应变
εT = α·ΔT

从零开始学习轴向应力与应变

1什么是应力

拉一根钢杆，它会抵抗。它是否断裂不只取决于力，还取决于有多少材料分担这个力。

一根细钢丝和一根粗缆索可以承受相同的荷载。细钢丝更容易失效，因为它每平方毫米承担的力更大。

dLP

正应力 σ（西格玛）是作用在横截面单位面积上的力。力 P 沿杆的轴线作用，所以这称为轴向荷载。

σ = P / A

工程师使用牛顿和毫米。每平方毫米一牛顿就是一兆帕：

1 N/mm² = 1 MPa

所以要先把 kN 换算成 N（× 1000）。对于直径为 d 的圆杆，面积是一个圆：

A = π · d² / 4
自测 横截面积为 100 mm² 的杆承受 10 kN。应力是多少？
  1. 0.1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

答案: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa。0.1 MPa 是忘了把 kN 换算成 N 的结果。

2应变和胡克定律

在荷载作用下杆也会稍微变长。这个长度的变化是伸长量 δ（德尔塔）。

dLδP

应变 ε（艾普西龙）是伸长量除以原长。它没有单位，因为是 mm 比 mm：

ε = δ / L

金属的应变很小，所以常用微应变表示：1 µε = 10⁻⁶。0.0008 的应变是 800 µε。

对大多数材料，只要荷载不太大，应力和应变成正比。这就是胡克定律：

σ = E · ε

E 是杨氏模量，即材料的刚度。钢的 E ≈ 200 GPa，铝约为 70 GPa。因为 1 GPa = 1000 MPa，所以钢的 E = 200 000 MPa。

把这三个公式合起来，直接得到伸长量：

δ = P · L / (A · E)
自测 一根钢杆（E = 200 GPa）的应力为 200 MPa。应变是多少？
  1. 0.001
  2. 0.1
  3. 1000
  4. 1

答案: 0.001. 把 E 换算成 MPa：200 GPa = 200 000 MPa。然后 ε = 200/200 000 = 0.001 = 1000 µε。不换算就用 200 除以 200 得到 1，这大得离谱。

3分步方法

  1. 所有数值都写成 N 和 mm：P 用 N（kN × 1000），长度用 mm（m × 1000），E 用 MPa（GPa × 1000）。
  2. 求面积：圆杆的 A = π·d²/4。
  3. 求应力：σ = P/A，单位 MPa。
  4. 求应变：ε = σ/E。如果要求以 µε 表示，则乘以 10⁶。
  5. 求伸长量：δ = ε·L，单位 mm。

做到题目所问的那一步就停。大多数题目只用到前两三步。

4例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一根钢杆（E = 200 GPa）直径为 20 mm，长 2 m，承受 50 kN 的轴向拉力。求应力、应变和伸长量。

1

看杆并换算单位

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N，L = 2 m = 2000 mm，E = 200 GPa = 200 000 MPa。

2

面积

A = π · 20² / 4 = 314.2 mm²
3

应力

σ = P / A = 50 000 / 314.2 = 159.2 MPa

这远低于普通钢的强度（约 250 MPa），所以胡克定律适用。

4

应变

ε = σ / E = 159.2 / 200 000 = 0.000796 = 796 µε
5

伸长量

δ = ε · L = 0.000796 · 2000 = 1.59 mm
6

检验答案

用组合公式作为第二种途径：

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314.2 · 200 000) = 1.59 mm

一根 2 m 的钢杆伸长约 1.6 mm 是现实的：钢的应变远低于 0.2 %。

答案

σ = 159.2 MPa，ε = 796 µε，δ = 1.59 mm。

5有多段的杆

阶梯杆由直径不同、有时材料也不同的几段组成。

A1​L1​A2​L2​P

在任意位置切开杆，看切口右边的部分。只有 P 在拉它，所以每一段承受的力都是 P。

面积不同，所以应力不同。最细的一段应力最大。

每一段各自伸长，有各自的 A、L 和 E。总伸长量是各段之和：

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
自测 一根阶梯杆承受 20 kN。第 1 段 A = 400 mm²，第 2 段 A = 100 mm²。杆中的最大应力是多少？
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

答案: 200 MPa. 两段都承受 20 kN。细的一段是 20 000/100 = 200 MPa。50 MPa 是粗的一段，40 MPa 错误地把面积相加了，250 MPa 错误地把两个应力相加了。

6常见错误

  • 忘了把 kN 换算成 N，使应力小了 1000 倍。
  • 把以 GPa 为单位的 E 和以 MPa 为单位的应力放在一起用。E 要写成 MPa（GPa × 1000）。
  • 圆面积用 π·d² 或 π·d，而不是 π·d²/4。
  • L 仍用米，而 δ 应该得到毫米。
  • 把 P 分配给阶梯杆的各段。每一段承受的是完整的 P。
自测 一根 A = 30 mm² 的杆承受 P = 6 kN。应力是多少？
  1. 0.2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

答案: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa。0.2 MPa 用的是 6 而不是 6000 N；5 MPa 是用面积除以力；180 是把它们相乘。

7考试题是什么样的

  • 简单：正应力。直径为 d 的圆杆承受 P；求 σ = P/A。
  • 中等：应变和伸长量。还会给出 L 和材料的 E；求 ε（以 µε 为单位）或 δ（以 mm 为单位）。
  • 困难：有两段的阶梯杆，材料可能不同。求总伸长量或最大应力。

在每个数字旁边写上单位。这个主题中几乎所有错误答案都差了 1000 倍。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

一根钢杆（直径 30 mm，E = 200 GPa）放在一根铜管（外径 100 mm，内径 50 mm，E = 120 GPa）内。二者长度均为 500 mm，在刚性板之间被 300 kN 的力一起压缩。 求杆中的压应力 σr。

P = 300 kN杆: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

求： σr (MPa)

显示提示
  1. 刚性板：杆和管缩短相同的量，所以二者的 ε 相同。
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
显示答案和分步解答

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

面积

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

组合轴向刚度

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5890 = 8.482 × 10⁸ N

共同应变

ε = 300000/8.482 × 10⁸ = 0.0003537

杆中的应力

σr = 200·10³·0.0003537 = 70.74 MPa

答案

σr = 70.74 MPa
例题 2中等
Ø 20 mm黄铜2.5 mP = 10 kN

求黄铜杆的轴向应变 ε，以微应变表示 (µε = 10⁻⁶)。

P = 10 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

求： ε (µε)

显示提示
  1. 依次使用三个关系：σ = P/A，ε = σ/E，δ = ε·L。
  2. 将 E 换算为 MPa (GPa × 1000) 以与 MPa 应力一致，L 换算为 mm。
  3. σ = 31.83 MPa.
显示答案和分步解答

胡克定律：在弹性范围内 σ = E·ε。结合 σ = P/A 和 ε = δ/L 得 δ = PL/(AE)。

应力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa

应变（胡克定律）

E for 黄铜 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31.83/100000 = 0.0003183 = 318.3 µε

答案

ε = 318.3 µε
例题 3困难
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

一段钢（直径 30 mm，长 300 mm，E = 200 GPa）与一段铝（直径 30 mm，长 500 mm，E = 70 GPa）首尾相接，固定在两堵刚性墙之间。一个 40 kN 的轴向载荷作用在接合处，指向第 2 段。求第 2 段中的应力大小 σ2。

第 1 段: 钢, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa第 2 段: 铝, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

求： σ2 (MPa)

显示提示
  1. 接合处对两段移动相同的量：一段伸长，另一段缩短。
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
显示答案和分步解答

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

刚度

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

第 2 段的份额

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

应力

σ2 = 6942/706.9 = 9.821 MPa （压缩）

答案

σ2 = 9.821 MPa

问与答

什么是轴向应力与应变？

拉一根钢杆，它会抵抗。它是否断裂不只取决于力，还取决于有多少材料分担这个力。

一根细钢丝和一根粗缆索可以承受相同的荷载。细钢丝更容易失效，因为它每平方毫米承担的力更大。

轴向应力与应变题目如何一步步求解？

两种材料：串联（一个接一个）时，每一段承受相同的力，伸长量相加：δ = P·Σ L/(E·A)。并联（在刚性板之间并排）时，两部分缩短相同的量，因此应变相等：刚度大的部分承担更大的份额，Pi = P·EiAi/ΣEA，σi = Ei·ε。夹在两堵刚性墙之间、载荷作用在接合处的杆是超静定的：两段按刚度 k = EA/L 的比例分担载荷。

轴向应力与应变有哪些常见错误？
  • 两种材料并不平分应力：它们共享应变。刚度大的承受更高的应力。
  • 管承担了一部分载荷。
  • 这是管中的应力。
轴向应力与应变练习包括哪些内容？
  • 简单: 正应力
  • 中等: 应变和伸长量
  • 困难: 阶梯杆

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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