免费的机械振动练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：固有频率, 阻尼比, 弹簧串联与并联。
一台机器放在弹簧支座上，支座在其重力作用下压缩 15 mm。视为无阻尼单自由度系统，取 g = 9.81 m/s²。求竖向振动的固有频率 fn，以 Hz 计。
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学习本课之前： 弹簧与单摆
把一个质量块挂在弹簧上，向下拉一点然后松手。它围绕静止位置上下弹跳。这种重复的运动就是振动。
每个这样的系统都有自己偏好的节奏，即固有频率。它只取决于弹簧有多硬、质量块有多重，与你拉了多远无关。
工程师关心它，因为受到固有频率激励的机器可能剧烈振动。这称为共振。发动机支座、洗衣机和桥梁的设计都要考虑到它。
弹簧越硬，振动越快。质量越大，振动越慢。
答案: 减半. 频率取决于 √(k/m)。质量变为四倍，使平方根除以 √4 = 2，所以频率减半。
对于弹簧刚度为 k（N/m）、质量为 m（kg）的系统，以 rad/s 计的固有圆频率为：
一个完整的周期是 2π 弧度。所以以赫兹（每秒周期数）计的固有频率和周期（每个周期的秒数）为：
有时你只知道弹簧在重力作用下下垂多少，即静变形 δst = m·g/k。这时 ωn = √(g / δst)，其中 δst 以米为单位。
有多个弹簧时，先把它们换成一个等效弹簧：
答案: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10，所以 k = 5 kN/m。相加得到 20 kN/m 是并联弹簧的规则。
真实的振动会衰减。阻尼器（活塞在油中运动，如汽车的减震器）会带走能量。它的强度是阻尼系数 c，单位 N·s/m。
临界阻尼是恰好使质量块不再弹跳的阻尼量：
阻尼比把实际阻尼与该临界值相比：
欠阻尼系统的振动比无阻尼的稍慢，其频率为阻尼固有频率：
答案: 0.25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m，所以 ζ = 50/200 = 0.25。忘了系数 2 会得到 0.5，反过来除会得到 4。
把 ω（rad/s）和 f（Hz）区分开。它们相差 2π ≈ 6.28 倍，把它们搞混是最常见的失分原因。
跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。
一个 50 kg 的质量块悬挂在刚度为 20 kN/m 的弹簧上。忽略阻尼。求固有频率 fn（Hz）和振动周期。
刚度必须用 N/m：k = 20 kN/m = 20 000 N/m。质量已经是 kg。
除以 2π，得到每秒的完整周期数：
质量块每秒完成略多于三个完整的上下周期。
静变形为 δst = m·g/k = 50 · 9.81 / 20 000 = 0.0245 m。
用另一种方法得到同样的 20 rad/s。答案正确。
带有 c = 400 N·s/m 的阻尼器时：cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m，所以 ζ = 400/2000 = 0.2。
fn ≈ 3.18 Hz（ωn = 20 rad/s），周期为 T ≈ 0.314 s。
答案: 1.59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s，fn = 10/(2π) = 1.59 Hz。停在 10 得到的是 rad/s，不是 Hz；乘以 2π 得到 62.8；用 0.4（kN/m）得到 0.05 Hz。
对于相隔 n 个周期的两个峰值 x0 和 xn，使用对数衰减率：
一个 40 kg 的质量块悬挂在刚度为 15 kN/m 的弹簧上。忽略阻尼。 求固有频率 fn，以 Hz 计。
求： fn (Hz)
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
一个 10 kg 的质量块挂在刚度为 50 kN/m 的弹簧上，黏性阻尼器使阻尼比为 0.4。求其自由振动的有阻尼固有频率 fd，以 Hz 计。
求： fd (Hz)
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
一个 5 kg 的质量块悬挂在首尾相接（串联）的两根弹簧上：上弹簧 k₁ = 80 kN/m，下弹簧 k₂ = 20 kN/m。 求弹簧系统的等效刚度 keq，以 kN/m 计。
求： keq (kN/m)
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
串联弹簧受力相同、变形相加，所以按倒数组合：1/k = 1/k1 + 1/k2。
把一个质量块挂在弹簧上，向下拉一点然后松手。它围绕静止位置上下弹跳。这种重复的运动就是振动。
每个这样的系统都有自己偏好的节奏，即固有频率。它只取决于弹簧有多硬、质量块有多重，与你拉了多远无关。
质量–弹簧系统的自由振动：无阻尼固有角频率为 ωn = √(k/m)（rad/s），fn = ωn/(2π)（Hz）。黏性阻尼器 c 给出阻尼比 ζ = c/cc，其中临界阻尼 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn。欠阻尼系统（ζ < 1）以 ωd = ωn·√(1 − ζ²) 振荡。并联弹簧刚度相加，k = k₁ + k₂；串联弹簧按倒数相加，1/k = 1/k₁ + 1/k₂。
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