弹簧与单摆：练习题及分步解答

1什么是振动

把弹簧上的一个质量块拉向一侧，然后松手。它会摆回中间，经过中点到达另一侧，再摆回来。秋千上的孩子和吉他弦做的是同样的运动。

这种重复的运动就是振动。中间的那一点，即质量块静止的位置，是平衡位置。

• 振幅 A 是离平衡位置的最大距离，单位 m。
• 周期 T 是完成一次完整振动（去和回）的时间，单位 s。
• 频率 f 是每秒的振动次数，单位赫兹（Hz）。

2简谐运动

弹簧的回复力与伸长量成正比：F = −k·x。劲度系数 k 的单位是 N/m。负号表示力总是指向平衡位置。

这样的回复力产生简谐运动（SHM）。位置随时间按余弦曲线变化：

角频率 ω（欧米伽），单位 rad/s，决定运动重复得多快。一个周期是 2π rad。

振幅不改变周期。振幅越大，走过的距离越长，但速度也越大。

3弹簧与单摆公式

对于弹簧上的质量块，质量越大振动越慢，弹簧越硬振动越快：

对于摆长为 L 的单摆，在小摆幅下，质量完全无关：

如果弹簧竖直悬挂，重力把它拉伸到新的平衡位置：k·x = m·g。可用它由测得的伸长量求 k。

速度在平衡位置最大，在两端为零。加速度在两端最大，那里弹簧力最大：

总能量保持不变：E = ½·k·A²。在位置 x 处，它被分配为 ½·k·x² + ½·m·v²。

4分步方法

1. 把一切换算为国际单位：克换成 kg，厘米换成 m。
2. 判断是哪种系统：弹簧上的质量块（用 k 和 m）还是单摆（用 L 和 g）。
3. 如果给出周期或振动次数，先求 T：T = 时间 / 次数。
4. 由系统求 ω：ω = √(k/m) 或 ω = 2π/T。
5. 对所求的量使用公式：T、f、v_max = A·ω、a_max = A·ω² 或能量 ½·k·A²。
6. 检查答案是否合理：硬弹簧的周期为几分之一秒，长摆的周期为几秒。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 振幅用了 cm 而不是 m。
• 把分数颠倒：T = 2π·√(m/k)，不是 √(k/m)。对单摆则是 √(L/g)。
• 忘了 2π，或混淆 ω（rad/s）和 f（Hz）。
• 以为质量会改变单摆的周期，或振幅会改变任何周期。
• 混淆 v_max = A·ω 和 a_max = A·ω²。

7考试题是什么样的

• 简单：弹簧上的质量块。求 T、f 或 k，有时由振动次数或质量块把悬挂的弹簧拉伸多长来求。
• 中等：单摆。求其周期、给定周期所需的摆长，或另一颗行星上的 g。有些题目问某个位置或某一给定时刻的速度。
• 困难：速度、加速度与能量：v_max、a_max、某一位置的动能，或子弹击中弹簧上的木块后的振幅。

对任何单摆的快速检验：地球上 1 m 长的单摆周期约为 2 s。