动量与碰撞：练习题及分步解答

免费的动量与碰撞练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：完全非弹性碰撞, 弹性碰撞, 冲量与力。

免费练习题简单
4.5 kg750 m/sV = ?

一支可自由移动的 4.5 kg 步枪以 750 m/s 射出一颗 12 g 的子弹。两者开始时都静止。求步枪的反冲速度 V。

M = 4.5 kgm = 12 gv = 750 m/s
m/s
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练习内容

  1. 简单完全非弹性碰撞
  2. 中等弹性碰撞
  3. 困难冲量与力

如何求解动量与碰撞问题

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

常见错误

  • 忘记反方向速度的负号。
  • 对速度取平均，而不是按质量加权。
  • 在非弹性碰撞中假设动能守恒。

关键公式

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

从零开始学习动量与碰撞

学习本课之前： 牛顿定律

1什么是动量

以 10 km/h 行驶的卡车比同速的自行车更难停下。子弹很小，但因为速度极快而很难停住。动量把两者结合起来：质量和速度。

p = m · v

动量 p 的单位是 kg·m/s。它有方向，与速度相同。选定一个正方向：向另一个方向运动的物体速度为负，动量也为负。

动量之所以重要，是因为它在碰撞和爆炸中守恒。无论碰撞中发生什么，碰前的总动量都等于碰后的总动量。

自测 一个 2 kg 的球以 3 m/s 运动，它的动量是多少？
  1. 1.5 kg·m/s
  2. 18 kg·m/s
  3. 6 kg·m/s
  4. 9 kg·m/s

答案: 6 kg·m/s. p = m·v = 2 · 3 = 6 kg·m/s。9 是 ½·m·v²，即以焦耳为单位的动能，这是另一个不同的量。

2动量守恒

两个物体碰撞时，它们在相同的短暂时间内以大小相等、方向相反的力互相推压（牛顿第三定律）。一个得到的动量，另一个失去。

所以，如果碰撞期间没有外力作用，总动量保持不变：

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

撇号（′）表示碰撞之后的速度。路面的摩擦力在短暂的碰撞中很小，所以可以忽略。

碰撞有两种：

  • 完全非弹性：物体粘在一起，以一个共同的速度 v′ 运动。动能损失为热、声音和凹痕。
  • 弹性：物体弹开，动能 ½·m·v² 也守恒。

对于完全非弹性碰撞，共同速度可以直接得出：

v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)

爆炸或枪的发射是同样的思想反过来：碰前总动量为零，所以碰后也为零。

自测 一辆 2 kg 的小车以 6 m/s 撞上一辆静止的 1 kg 的小车。它们粘在一起。它们的共同速度是多少？
  1. 12 m/s
  2. 2 m/s
  3. 3 m/s
  4. 4 m/s

答案: 4 m/s. v′ = (2 · 6 + 1 · 0)/(2 + 1) = 12/3 = 4 m/s。对速度取平均（3 m/s）忽略了较重的小车动量更大。

3冲量

作用时间为 Δt 的力会改变物体的动量。乘积 F·Δt 称为冲量 J，单位 N·s（与 kg·m/s 相同）。

J = F · Δt = m · Δv = m · (v′ − v)

同样的动量变化，如果时间更长，所需的力更小。这就是安全气囊和溃缩区能救命的原因。

对于弹回来的球，速度改变符号。以入射方向为正，一个以 10 m/s 撞墙并以 5 m/s 返回的球，Δv = −5 − 10 = −15 m/s。

4分步方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰前的总动量：m₁·v₁ + m₂·v₂。
  3. 判断碰后发生什么：一个共同的速度（粘在一起）、两个速度（弹开）或几块碎片（爆炸）。
  4. 令碰前动量等于碰后动量，解出未知量。
  5. 如果问到能量，比较碰前和碰后的 ½·m·v²。
  6. 检查答案的符号：负的速度表示沿负方向运动。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一辆 1000 kg、速度 20 m/s 的汽车与一辆 1500 kg、速度 10 m/s、方向相反的汽车迎头相撞。两车锁在一起。求碰撞后瞬间它们的共同速度 v′，以第一辆车的方向为正。

1

符号

+m1​1000 kg20 m/sm2​1500 kg10 m/s

取第一辆车的方向为正。则 v₁ = +20 m/s，v₂ = −10 m/s。

2

碰撞前的动量

1000 · 20 + 1500 · (−10) = 20000 − 15000 = 5000 kg·m/s
3

碰撞后的动量

两车作为一个 2500 kg 的整体，以速度 v′ 运动。

p′ = 2500 · v′
4

求解

2500 · v′ = 5000 ⇒ v′ = 2 m/s
+m1​ + m2​2500 kgv′ = 2 m/s
5

检验答案

v′ 为正，所以残骸沿第一辆车的方向运动。这是合理的：第一辆车的动量更大（20 000 对 15 000 kg·m/s）。动能从 275 000 J 降到 5000 J，这在两车粘在一起时是意料之中的。

答案

v′ = +2 m/s，沿第一辆车原来的运动方向。

6常见错误

  • 忘记反方向速度的负号。
  • 对速度取平均，而不是按质量加权。
  • 以为物体粘在一起时动能守恒。只有动量守恒。
  • 对于弹回，使用速率之差而不是速度的变化：球反向了，所以速率要相加。
  • 把子弹的克和千克混在一起：12 g 是 0.012 kg。
自测 一个 0.2 kg 的球以 10 m/s 撞墙，并以 5 m/s 笔直弹回。接触持续 0.01 s。墙的平均作用力有多大？
  1. 100 N
  2. 200 N
  3. 3 N
  4. 300 N

答案: 300 N. Δv = −5 − 10 = −15 m/s，所以 F = m·|Δv|/Δt = 0.2 · 15/0.01 = 300 N。用 10 − 5 = 5 m/s（100 N）忘了球是反向的。3 N 是以 N·s 为单位的冲量，没有除以时间。

7考试题是什么样的

  • 简单：完全非弹性碰撞：锁在一起的两辆车、一辆小车撞上另一辆，或者后坐的步枪。
  • 中等：轨道上滑块的弹性碰撞、物体粘在一起时损失的动能、爆炸，以及射入悬挂木块的子弹。
  • 困难：冲量和力：球从墙上弹回、在路口相撞的汽车（两个方向上的动量），或滑行至停止的残骸。

对于第二个物体静止的弹性碰撞：v′₁ = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁ 和 v′₂ = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
0.5 kg7.5 m/s5 kg

一辆以 7.5 m/s 运动的 0.5 kg 小车撞上一辆静止的 5 kg 小车。 碰撞后第一辆小车以 0.5 m/s 沿原方向继续运动。 求第二辆小车的速度 v′2。

m1 = 0.5 kgv1 = 7.5 m/sm2 = 5 kgv′1 = 0.5 m/s

求： v′2 (m/s)

显示提示
  1. 碰撞前的总动量 = 碰撞后的总动量。
  2. m₁·v₁ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂。
  3. 传递的动量 = 3.5 kg·m/s.
显示答案和分步解答

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量平衡

0.5·7.5 = 0.5·0.5 + 5·v′2
v′2 = 3.5/5 = 0.7 m/s

答案

v′2 = 0.7 m/s
例题 2中等
1400 kg10 m/s1500 kg

一辆以 10 m/s 行驶的 1400 kg 汽车撞上一辆静止的 1500 kg 汽车，两车卡在一起。 碰撞中损失了多少动能 ΔK？

m1 = 1400 kgv1 = 10 m/sm2 = 1500 kgv2 = 0

求： ΔK (J)

显示提示
  1. 先由动量守恒求共同速度。
  2. 然后比较碰撞前后的 ½·m·v²。
  3. v′ = 4.828 m/s.
显示答案和分步解答

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1400·10/2900 = 4.828 m/s

碰撞前后的动能

Kbefore = ½·1400·10² = 70000 J
Kafter = ½·2900·4.828² = 33793 J

损失的能量

ΔK = 70000 − 33793 = 36207 J

答案

ΔK = 36207 J

损失的能量转化为形变、热和声音。

例题 3困难
5 kgv = ?20 g25°L = 0.7 m

一颗 20 g 的子弹水平射入一个用长 0.7 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 20 gM = 5 kgL = 0.7 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

求： v (m/s)

显示提示
  1. 升高的高度：h = L·(1 − cos θ)。
  2. 摆动：V = √(2gh)。撞击：m·v = (m + M)·V。
  3. h = 0.06558 m, V = 1.134 m/s.
显示答案和分步解答

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 25°) = 0.06558 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.06558) = 1.134 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.134/0.02 = 284.7 m/s

答案

v = 284.7 m/s

问与答

什么是动量与碰撞？

以 10 km/h 行驶的卡车比同速的自行车更难停下。子弹很小，但因为速度极快而很难停住。动量把两者结合起来：质量和速度。

动量 p 的单位是 kg·m/s。它有方向，与速度相同。选定一个正方向：向另一个方向运动的物体速度为负，动量也为负。

动量与碰撞题目如何一步步求解？
  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
动量与碰撞有哪些常见错误？
  • 忘记反方向速度的负号。
  • 对速度取平均，而不是按质量加权。
  • 在非弹性碰撞中假设动能守恒。
动量与碰撞练习包括哪些内容？
  • 简单: 完全非弹性碰撞
  • 中等: 弹性碰撞
  • 困难: 冲量与力

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

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