运动学：练习题及分步解答

免费的运动学练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：加速, 制动, 竖直上抛。

免费练习题简单
t (s)v (m/s)9 s6

一列火车在 9 s 内从 20 m/s 匀减速到 6 m/s。 这段时间内它行驶了多远？求 s。

v₀ = 20 m/sv = 6 m/st = 9 s
m
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练习内容

  1. 简单加速
  2. 中等制动
  3. 困难竖直上抛

如何求解运动学问题

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

常见错误

  • 忘记把 km/h 换算为 m/s。
  • 在 s = v₀·t + ½·a·t² 中漏掉 ½。
  • 制动时用了正的加速度。

关键公式

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

从零开始学习运动学

1什么是运动学

运动学描述物体如何运动：多快、多远、多长时间。它不问为什么运动。那是力和牛顿定律的工作。

在这个主题中加速度是恒定的。平稳加速的汽车、均匀刹车的火车和自由下落的石头都是这样运动的。

加速度是每秒速度的变化。如果一辆汽车在一秒内从 10 m/s 变为 13 m/s，它的加速度是 3 m/s²（米每秒，每秒）。

a = (v − v₀) / t

负加速度表示物体沿正方向在减速。刹车是负加速度。

自测 一辆汽车以稳定的速率在 3 s 内从 10 m/s 变为 16 m/s。它的加速度是多少？
  1. 18 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 3.3 m/s²
  4. 5.3 m/s²

答案: 2 m/s². a = (v − v₀)/t = (16 − 10)/3 = 2 m/s²。只用末速度来除（16/3 = 5.3）忘了汽车本来就以 10 m/s 在运动。

2五个量

这个主题中的每道题都会用到同样的五个量中的几个。先记住它们的符号和单位。

  • v₀：初速度，单位 m/s。“从静止开始”意味着 v₀ = 0。
  • v：末速度，单位 m/s。“直到停下”意味着 v = 0。
  • a：加速度，单位 m/s²。在整个运动中恒定。
  • t：时间，单位 s。
  • s：位移（沿正方向移动的距离），单位 m。

速度常以 km/h 给出。计算之前先把它们换算成 m/s：

1 m/s = 3.6 km/h v (m/s) = v (km/h) / 3.6

选定一个正方向，通常是运动方向。指向另一个方向的量带负号。对于向上抛出的球，以向上为正，重力给出 a = −9.81 m/s²。

自测 一辆汽车以 54 km/h 行驶。它的速度是多少 m/s？
  1. 15 m/s
  2. 194.4 m/s
  3. 5.4 m/s
  4. 54 m/s

答案: 15 m/s. 除以 3.6：54/3.6 = 15 m/s。乘以 3.6（194.4）方向错了：同一个速度，以 m/s 表示的数总比以 km/h 表示的数小。

3三个方程

在恒定加速度下，三个方程把这五个量联系起来：

v = v₀ + a·t
s = v₀·t + ½·a·t²
v² = v₀² + 2·a·s

每个方程缺少一个量。第一个没有 s，第二个没有 v，第三个没有 t。选那个包含你已知的三个量和你要求的那个量的方程。

速度–时间图说明了这些方程为什么成立。在恒定加速度下图像是一条直线，而直线下方的面积就是距离。

t (s)v (m/s)sav0​vt

这个图形的面积是平均速度乘以时间：s = ½·(v₀ + v)·t。当没有给出 a 时，这第四种形式很方便。

自测 你知道 v₀、a 和 s，想求 v。没有给出时间。你用哪个方程？
  1. a = (v − v₀)/t
  2. s = v₀·t + ½·a·t²
  3. v = v₀ + a·t
  4. v² = v₀² + 2·a·s

答案: v² = v₀² + 2·a·s. 只有 v² = v₀² + 2·a·s 在不含 t 的情况下包含 v₀、a、s 和 v。其他方程都需要你没有的时间。

4分步方法

  1. 画一个简单的草图并选定正方向。
  2. 列出 v₀、v、a、t 和 s。写下每个已知量的值及其符号，并标出未知量。
  3. 把 km/h 换算成 m/s，把分钟换算成秒。
  4. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  5. 变形，代入数值并求解。
  6. 检查答案是否合理：刹车的汽车不会倒退，时间也不会是负的。

当运动有几个阶段时，一个接一个地求解。一个阶段的末速度就是下一个阶段的初速度。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一辆以 72 km/h 行驶的汽车以 5 m/s² 的恒定减速度刹车直到停下。刹车需要多长时间，刹车距离是多少？

1

换算速度

v₀ = 72 / 3.6 = 20 m/s
2

列出各个量

取运动方向为正。汽车在减速，所以加速度为负。

v₀ = 20 m/s v = 0 a = −5 m/s²

未知量是 t 和 s。

3

求刹车时间

用 v = v₀ + a·t，其中没有 s。

0 = 20 + (−5)·t ⇒ t = 20 / 5 = 4 s
4

求刹车距离

用 v² = v₀² + 2·a·s，其中没有 t，所以时间上的错误不会带到这里。

0 = 20² + 2·(−5)·s ⇒ s = 400 / 10 = 40 m
5

检验答案

t (s)v (m/s)1234102040 m

三角形的面积是 ½ · 4 s · 20 m/s = 40 m。平均速度是 10 m/s，持续 4 s，同样得到 40 m。

答案

刹车需要 t = 4 s，刹车距离为 s = 40 m。

6常见错误

  • 用 km/h 而不是 m/s 计算。先除以 3.6。
  • 在 s = v₀·t + ½·a·t² 中漏掉 ½。
  • 对刹车使用正的加速度。如果运动方向为正，刹车就是负的。
  • 以向上为正时，向上抛出的物体忘了 g 的负号。
  • 混淆 v₀ 和 v：“从静止开始”表示 v₀ = 0，“停下来”表示 v = 0。
自测 一辆小车从静止开始，以 2 m/s² 加速 3 s。它走了多远？
  1. 18 m
  2. 3 m
  3. 6 m
  4. 9 m

答案: 9 m. s = v₀·t + ½·a·t² = 0 + ½ · 2 · 3² = 9 m。漏掉 ½ 得到 18 m。6 m 是以 m/s 表示的末速度 a·t，不是距离。

7考试题是什么样的

  • 简单：加速或减速。用一个方程求 a、v 或 s，例如加速了一段给定时间的汽车，或从桥上落下的石头。
  • 中等：刹车和起步。以 km/h 给出的速度、刹车时间和距离、刹车前的反应时间，或警车追赶。
  • 困难：竖直上抛和分阶段的运动。从屋顶向上抛出的球、两个相遇的球、火箭，或先加速、再巡航、最后刹车的行程。

对于竖直运动，取向上为正，在整个飞行过程中用 a = −9.81 m/s²。在最高点速度瞬间为 0。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
t (s)v (m/s)20 s10

一列火车在 20 s 内从 15 m/s 匀减速到 10 m/s。 这段时间内它行驶了多远？求 s。

v₀ = 15 m/sv = 10 m/st = 20 s

求： s (m)

显示提示
  1. 加速度恒定时，平均速度是初速度与末速度的平均值。
  2. s = (v₀ + v)/2 · t。它是 v–t 图线下的面积。
  3. 平均速度 = 12.5 m/s.
显示答案和分步解答

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

平均速度

(v₀ + v)/2 = (15 + 10)/2 = 12.5 m/s

距离

s = 12.5·20 = 250 m

答案

s = 250 m
例题 2中等
a = ?s = 1000 m

一架飞机起飞需要 250 km/h 的速度，可用跑道长 1000 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1000 m

求： a (m/s²)

显示提示
  1. 把速度换算成 m/s：km/h 除以 3.6。
  2. v² = v₀² + 2·a·s，其中 v₀ = 0，所以 a = v²/(2s)。
  3. v = 69.44 m/s.
显示答案和分步解答

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 250/3.6 = 69.44 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 69.44²/(2·1000) = 2.411 m/s²

答案

a = 2.411 m/s²
例题 3困难
a = 22 m/s²

一枚模型火箭从静止竖直向上发射。其发动机使它获得 22 m/s² 的恒定向上加速度，持续 2 s，之后发动机停止，火箭做自由运动。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求火箭达到的最大高度 hmax。

a = 22 m/s²t1 = 2 sg = 9.81 m/s²

求： hmax (m)

显示提示
  1. 把飞行分段：先是加速度为 a 的动力阶段，然后是加速度为 −g 的自由飞行。
  2. 燃尽时：v₁ = a·t₁，h₁ = ½·a·t₁²。
  3. v₁ = 44 m/s, h₁ = 44 m.
显示答案和分步解答

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

动力阶段

v₁ = 22·2 = 44 m/s
h₁ = ½·22·2² = 44 m

向上的自由飞行

在最高点速度为零。

Δh = v₁²/(2g) = 44²/(2·9.81) = 98.67 m
hmax = 44 + 98.67 = 142.7 m

答案

hmax = 142.7 m

问与答

什么是运动学？

运动学描述物体如何运动：多快、多远、多长时间。它不问为什么运动。那是力和牛顿定律的工作。

在这个主题中加速度是恒定的。平稳加速的汽车、均匀刹车的火车和自由下落的石头都是这样运动的。

运动学题目如何一步步求解？
  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。
运动学有哪些常见错误？
  • 忘记把 km/h 换算为 m/s。
  • 在 s = v₀·t + ½·a·t² 中漏掉 ½。
  • 制动时用了正的加速度。
运动学练习包括哪些内容？
  • 简单: 加速
  • 中等: 制动
  • 困难: 竖直上抛

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

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