抛体运动：练习题及分步解答

1什么是抛体运动

抛体是在空中飞行、只受重力作用的物体。被踢的球、从桥上扔下的石头和软管喷出的水都是抛体。

在这个主题中忽略空气阻力。这时轨迹总是一条光滑的曲线，称为抛物线。

关键思想：运动分成两个独立的部分。在水平方向，没有东西推或减慢物体。在竖直方向，重力以 g = 9.81 m/s² 拉着它。

所以水平速度在整个过程中保持不变，而竖直速度每秒都在变化。这两部分只有一样东西是共享的：时间。

2两种运动，一个时钟

把原点放在发射点，x 水平，y 竖直（向上为正）。经过时间 t 后：

这里 h 是发射点距地面的高度，v_x 是水平速度，v_y 是初始的竖直速度。

球在 y = 0 时落地。你解竖直方程求出这个时间，然后把同一个时间代入水平方程。

对于水平发射，v_y = 0。竖直方程变为 h = ½ · g · t²，所以下落时间为：

这个下落时间完全不取决于水平速度。

3斜向发射

当球以速度 v₀ 和水平线以上的角度 θ 发射时，先把速度分成两个部分，即分量：

从水平地面发射，球上升到竖直速度为零，然后落回。上升和下落所用的时间相等。这给出三个有用的结果：

R 的射程公式只有在球落在与发射点相同高度时才有效。

4分步方法

1. 画出轨迹。标出发射高度 h、发射速度 v₀、角度 θ，以及你要求的量。
2. 把发射速度分解为分量：v_x = v₀ · cos θ，v_y = v₀ · sin θ。水平发射的 v_y = 0。
3. 用竖直运动求飞行时间：在 y = h + v_y·t − ½·g·t² 中令 y = 0，解出 t。
4. 把这个时间代入水平运动：x = v_x · t。
5. 求任一时刻的速率，合成各分量：v = √(v_x² + (v_y − g·t)²)。

对以度给出的角取 sin 或 cos 之前，先检查你的计算器是否设为角度制。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 在应该使用分量的地方使用完整的速度 v₀。飞行时间只由 v_y 得出，射程只由 v_x 得出。
• 混淆 sin 和 cos。当 θ 从水平线量起时，水平分量对应 cos θ。
• 角度以度给出，而计算器设为弧度。
• 当球落点比起点低或高时使用 R = v₀² · sin 2θ / g。这时必须改为解竖直方程。
• 给水平运动加上加速度。在水平方向上速度是恒定的。

7考试题是什么样的

• 简单：从悬崖或墙上水平发射。求飞行时间、落地距离、由给定落地距离求发射速度，或落地速度。有些简单题问的是从地面发射到最高点的时间。
• 中等：从水平地面斜向发射。求飞行时间、最大高度或射程。变化形式包括求产生某一射程所需的发射速度或角度，或球越过一堵墙时的高度。
• 困难：从悬崖顶部斜向发射，或落在屋顶上。令 y = 0（或屋顶的高度）得到关于 t 的二次方程：取正根。

在困难的情形中，低于水平线的落地角由最终的分量得出：tan α = |v_y − g·t| / v_x。