莫尔圆与应力变换：练习题及分步解答

1为什么应力取决于方向

在轴向受力一课中，应力是一个数：力除以面积。但一点处的应力取决于你所看的切面的方向。

把一根粉笔拧到断裂。它沿着 45° 的螺旋面断开，而不是直接横着断。在这个 45° 的平面上拉应力最大，而粉笔抗拉能力弱。

为了描述一点处的应力，工程师画一个小方块，即应力单元，在其各个面上标出应力：

• σ_x 和 σ_y 是正应力，与面垂直。正值表示拉伸（箭头向外），负值表示压缩。
• τ_xy 是切应力，沿着面的方向。它试图把方块变成菱形。

旋转这个方块，其各面上的应力就会改变。本课说明如何求出每个方向上的应力，以及哪些方向最危险。

2莫尔圆

莫尔圆是同时表示所有方向的图。圆上的每一点对应构件中通过该点的一种可能的切面。

把正应力 σ 画在右边，切应力 τ 画在上方。然后标出两个点：

• 点 x 位于 (σ_x, τ_xy)：垂直于 x 的面上的应力，
• 点 y 位于 (σ_y, −τ_xy)：垂直于 y 的面上的应力。

圆通过这两个点。圆心 C 位于 σ 轴上，在二者的正中间。半径 R 由勾股定理得出：

圆与 σ 轴相交处，切应力为零。这两个值就是主应力，即该点处最大和最小的正应力。圆的顶点是最大的面内切应力：

3角度：在圆上加倍

把单元旋转角度 θ，它在莫尔圆上的对应点沿同一方向移动 2θ。逆时针为正。

σ₁ 的方向是与 x 轴的夹角 θ_p，由下式求得：

注意象限。如果 σ_x − σ_y 为负，当 τ_xy > 0 时给 2θ_p 加 180°，当 τ_xy < 0 时减 180°。然后再减半。

最大切应力所在的平面与主方向相差 45°（在圆上是 90°）。

对于法线与 x 轴夹角为 θ 的平面，应力为：

4分步方法

1. 写下 σ_x、σ_y 和 τ_xy 及其符号：拉为正，压为负。
2. 求圆心 C = (σ_x + σ_y)/2。
3. 求半径 R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)。
4. 主应力：σ₁ = C + R，σ₂ = C − R。最大面内切应力：τ_max = R。
5. 方向：tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)，检查象限，然后减半。
6. 对于给定的平面 θ：用 σ_θ 和 τ_θ 的方程，代入 2θ。

快速画一张圆的草图，哪怕很粗糙，也能让你看清符号以及哪个点是 σ₁。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 直接把 (σ_x − σ_y)/2 与 τ_xy 相加。半径是用勾股定理把它们合成的。
• 在变换方程中用 θ 而不是 2θ，或者忘了把从圆上读出的角度减半。
• 丢掉负号：压应力必须以负数代入。
• 把点 y 画在 (σ_y, +τ_xy)。它应在 −τ_xy，与 x 点分居圆心两侧。
• 当 σ_x < σ_y 时，漏掉 2θ_p 的象限。

7考试题是什么样的

• 简单：主应力。已知 σ_x、σ_y 和 τ_xy，求 σ₁ 或 σ₂。变式：纯剪切，或沿某一角度切开的轴向杆。
• 中等：最大切应力与主方向。求 τ_max = R 或角度 θ_p（介于 −90° 和 90° 之间）。
• 困难：斜截面上的应力。用 σ_θ 或 τ_θ 的方程，代入 2θ。变式：结合轴向荷载与扭转，或在冯·米塞斯或特雷斯卡之类的破坏校核中使用主应力。

先写下 C 和 R。本主题中几乎每道题都可以由这两个数得出答案。