连续性和伯努利：练习题及分步解答

1连续性方程与伯努利方程讲的是什么

用拇指堵住花园水管的出口，水会喷得更快。同样多的水必须通过更小的开口，所以它必须流得更快。

这个想法就是连续性：在充满水的管道里，水不会堆积也不会消失。每秒流入的量必须等于每秒流出的量。

第二个想法是伯努利方程，它把速度、压力和高度联系起来。水流加速的地方，压力下降。水位升高的地方，压力也下降。

有了这两个想法，你就能预测管道沿线任何位置的速度和压力。在本主题中，流体是不可压缩的（像水一样），并忽略摩擦损失。

2流量与连续性

体积流量 Q 是每秒通过的流体体积，单位 m³/s。每秒一升（L/s）等于 0.001 m³/s。

对于以平均速度 v 通过横截面积 A 的流体：

质量流量为 ṁ = ρ · Q，单位 kg/s，其中 ρ 是密度（水为 1000 kg/m³）。

连续性说明管道每个截面上的 Q 都相同：

对于圆管，π/4 约掉，所以 v₂ = v₁ · (d₁ / d₂)²。直径减半，水流速度变为四倍。

3伯努利方程

沿着没有损失的流线，每立方米流体的能量保持不变。它有三部分：压力、运动和高度。

• p：压力，单位 Pa。
• ½ρv²：每 m³ 的动能，单位也是 Pa。
• ρgz：每 m³ 的位能，其中 z 是相对于你任选的参考面的高度。

所以如果一项增大，另一项必须减小。流速更快的水压力更低。位置更高的水压力更低。

一个有用的特例是水箱通过敞口液面下方深度 h 处的小孔排水。液面几乎不动，两点都处于大气压，由此得到托里拆利定律：

4分步方法

1. 画出管道并给两个截面编号：1 是你知道最多信息的地方，2 是未知量所在的地方。
2. 换算单位：mm 换成 m，kPa 换成 Pa，L/s 换成 m³/s。
3. 求面积 A = π·d²/4，并用连续性求出缺少的速度。
4. 在截面 1 和 2 之间写出伯努利方程。对于水平管道 z₁ = z₂，所以高度项抵消。
5. 解出未知量，必要时再换算回 kPa。

保持单位一致。ρ 用 kg/m³、v 用 m/s 时，½ρv² 的结果单位是 Pa，而不是 kPa。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 用直径之比而不是面积之比：流速的变化与直径的平方成正比。
• 在 A = π·d²/4 中把半径当成直径，或者忘了 /4。
• 混用 kPa 和 Pa。在伯努利方程中用 Pa，最后再换算。
• 把 m³/s 当成 L/s 报出。把 m³/s 乘以 1000 才得到 L/s。
• 当管道上升或下降时，忘了高度项 ρ·g·Δz。

7考试题是什么样的

• 简单：连续性。求流量、质量流量、较窄截面的流速，或给定流量所需的管径。有些题目对排空的水箱使用托里拆利定律。
• 中等：水平渐缩管。由一个截面的压力求另一个截面的压力。变式使用文丘里流量计、皮托管（v = √(2Δp/ρ)）或带流量系数的孔板。
• 困难：上升的管道。高度项很重要：对水而言，每上升一米压力降低 ρ·g·1 = 9.81 kPa。变式包括虹吸管、加压水箱和喷泉。

在上面的例子中，两个截面之间若上升 5 m，p₂ 会再降低 1000 · 9.81 · 5 = 49 050 Pa，变为 134.1 kPa。