轴的扭转

附分步解答的练习题。

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轴的扭转：练习题及分步解答

免费的轴的扭转练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：切应力, 扭转角, 功率传递。

免费练习题简单
T = 250 N·md = 20 mm

一根实心圆轴承受扭矩 T。求轴中的最大切应力 τmax。

T = 250 N·md = 20 mm
MPa
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练习内容

  1. 简单切应力
  2. 中等扭转角
  3. 困难功率传递

学习

如何求解轴的扭转问题

如何求解轴的扭转问题

  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。

常见错误

  • 在 τ = T·r/J 中用直径代替了半径。
  • 忘记把 rpm 换算为 rad/s。
  • 题目要求度数时，却给出以弧度表示的扭转角。
关键公式

关键公式

切应力
τ = T·r/J
实心轴
J = πd⁴/32
空心轴
J = π(D⁴ − d⁴)/32
扭转角
φ = TL/(GJ)
功率
P = T·ω = 2πnT/60
从零开始学习轴的扭转

从零开始学习轴的扭转

学习本课之前： 轴向应力与应变

1什么是扭转

轴是传递转动作用的旋转杆：汽车的传动轴、钻头的主轴、水泵的轴。

转动作用就是转矩 T。它是力乘以力臂，单位 N·m。在 0.5 m 长的扳手末端施加 200 N 的力，T = 200 · 0.5 = 100 N·m。

受转矩作用的轴处于扭转状态。它会稍微扭转，其材料承受切应力 τ（tau）：轴上相邻的薄片试图相互滑过。

Td

设计中有两个问题很重要：切应力是否足够低（强度），扭转是否足够小（刚度）？

自测 你在 0.5 m 长的扳手末端垂直地推 200 N。你施加的转矩是多少？
  1. 100 N·m
  2. 200 N·m
  3. 400 N·m
  4. 50 N·m

答案: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0.5 = 100 N·m。除以 0.5 会得到 400；忘了力臂会得到 200。

2切应力与极惯性矩

轴的中心几乎不变形。点离中心越远，被剪切得越厉害。所以切应力随半径线性增大，从中心的零到表面的最大值。

τmax​r0
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J

这里 ρ（rho）是到中心的距离，r = d/2 是外半径，J 是极惯性矩。J 衡量截面抵抗扭转的能力：

对于直径为 d 的实心轴，以及外径为 do、内径为 di 的空心轴：

J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32

对于实心轴，这两个公式可以合并成一个简短的公式：

τmax = 16 · T / (π · d³)

使用 N·mm 和 mm，这样应力的结果单位是 N/mm² = MPa。1 N·m = 1000 N·mm。

自测 在实心轴中，τmax = 60 MPa。在中心与表面正中间的切应力是多少？
  1. 0 MPa
  2. 15 MPa
  3. 30 MPa
  4. 60 MPa

答案: 30 MPa. 应力随 ρ 线性增大，所以在 ρ = r/2 处是 τmax 的一半：30 MPa。它并不是处处相同，也只在中心为零。

3扭转角与功率

轴的自由端转过扭转角 φ（phi）。轴越长或越细，扭得越多；材料越硬，扭得越少：

φ = T · L / (G · J)

G 是材料的切变模量：钢约为 80 GPa，铝为 26 GPa。公式给出的 φ 以弧度为单位。乘以 180/π 得到度数。

轴常常传递来自电动机的功率。功率等于转矩乘以角速度，其中以 rpm 表示的转速必须先换算成 rad/s：

P = T · ω ω = 2π · N / 60

所以给出 kW 和 rpm 的题目要从 T = P/ω 开始，其中 P 以瓦为单位。

自测 一根轴以 ω = 100 rad/s 转动，传递 5 kW。它承载多大的转矩？
  1. 0.05 N·m
  2. 20 N·m
  3. 50 N·m
  4. 500 000 N·m

答案: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m。0.05 是用了 5 而不是 5000 W；20 是用 ω 除以了 P。

4分步方法

  1. 如果给出功率和转速，先求转矩：ω = 2πN/60，然后 T = P/ω。
  2. 换算成 N 和 mm：T 用 N·mm（N·m × 1000），L 用 mm，G 用 MPa（GPa × 1000）。
  3. 求 J：实心轴为 π·d⁴/32，空心轴为 π(do⁴ − di⁴)/32。
  4. 切应力：τmax = T·r/J，其中 r 是外半径。
  5. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位弧度；如果要求度数，再乘以 180/π。

对于设计类问题（求 d），令 τmax = 16T/(πd³) 等于许用应力并解出 d。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一根实心钢轴（G = 80 GPa），直径 40 mm，长 1 m，一端固定。自由端作用 500 N·m 的转矩。求 τmax 和以度为单位的扭转角 φ。

1

观察轴并换算单位

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mφ

T = 500 N·m = 500 000 N·mm，L = 1000 mm，G = 80 000 MPa，r = 20 mm。

2

极惯性矩

J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3

最大切应力

τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39.8 MPa

用简短公式得到相同结果：16 · 500 000 / (π · 40³) = 39.8 MPa。

4

以弧度计的扭转角

φ = T·L / (G·J) = 500 000 · 1000 / (80 000 · 251 327) = 0.0249 rad
5

换算成度

φ = 0.0249 · 180 / π = 1.42°

一米长的钢轴扭转略少于一度半，这是一个合理的大小。

答案

τmax = 39.8 MPa，φ = 1.42°。

6常见错误

  • 在 τ = T·r/J 中用直径代替半径。那会使应力加倍。
  • 忘了把 N·m 换算成 N·mm，使应力小了 1000 倍。
  • 在 P = T·ω 中直接使用 rpm。先用 ω = 2πN/60 换算成 rad/s。
  • 题目要求度时给出弧度，或者反过来。
  • 对于空心轴：先把直径相减再取四次方。应使用 do⁴ − di⁴。
自测 一根外径 40 mm 的空心轴 J = 200 000 mm⁴。它承受 T = 1000 N·m。τmax 是多少？
  1. 0.1 MPa
  2. 100 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

答案: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa。用 r = 40 mm（直径）会得到 200 MPa；把 T 留在 N·m 会得到 0.1 MPa；忘了 r 会得到 5。

7考试题是什么样的

  • 简单：切应力。直径为 d 的实心轴承受 T；求 τmax。变式：求给定半径处的应力或许用转矩。
  • 中等：扭转角。还给出 L 和 G；求以度为单位的 φ。变式使用空心轴或阶梯轴。
  • 困难：功率传递。给出以 kW 计的功率和以 rpm 计的转速；求转矩，然后求空心轴中的 τmax，或在许用应力下求最小直径。

在做其他任何事之前，先在题目旁写下以 N·mm 为单位的转矩。之后的每一步都要用到这个数。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题详解

例题 1简单
d = 40 mmT = 750 N·m

一根直径 40 mm 的实心轴承受 750 N·m 的扭矩。求距中心 15 mm 处的切应力 τρ。

T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm

求： τρ (MPa)

显示提示
  1. 圆轴中的切应力与到中心的距离成正比：τ = T·ρ/J。
  2. 统一使用 N 和 mm：T 用 N·mm，L 用 mm，G 用 MPa (GPa × 1000)，J 用 mm⁴。
  3. J = 251327 mm⁴.
显示答案和分步解答

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ρ 处的切应力

作为比较，表面处 τmax = 59.68 MPa。

T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44.76 MPa

答案

τρ = 44.76 MPa
例题 2中等
T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

一根黄铜实心轴一端固定在墙上，自由端受扭矩 T。求自由端的扭转角 φ，以度为单位。

T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

求： φ (°)

显示提示
  1. 使用 φ = TL/(GJ)，结果为弧度。
  2. 统一使用 N 和 mm：T 用 N·mm，L 用 mm，G 用 MPa (GPa × 1000)，J 用 mm⁴。
  3. J = 251327 mm⁴.
显示答案和分步解答

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

极惯性矩

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

扭转角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0.1148 rad
φ = 0.1148·180/π = 6.576°

答案

φ = 6.576°
例题 3困难
Td = ?

一根实心轴需在 1000 rpm 下传递 15 kW，且切应力不超过 75 MPa。求满足要求的最小直径 d。

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa

求： d (mm)

显示提示
  1. 由功率求扭矩：T = P/ω，其中 ω = 2πN/60，单位为 rad/s。
  2. 令 τmax = 16T/(πd³) 等于许用应力，求解 d。
  3. T = 143.2 N·m.
显示答案和分步解答

圆轴扭转：切应力从圆心处的零线性增大到表面的 τmax = T·r/J，实心轴 J = πd⁴/32，空心轴 J = π(do⁴ − di⁴)/32。扭转角 φ = TL/(GJ)，单位为弧度。功率与扭矩的关系为 P = T·ω。

扭矩

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m

由许用应力求直径

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21.35 mm

答案

d = 21.35 mm

实际中会向上取到下一个标准尺寸。

问与答

问与答

什么是轴的扭转？

转动作用就是转矩 T。它是力乘以力臂，单位 N·m。在 0.5 m 长的扳手末端施加 200 N 的力，T = 200 · 0.5 = 100 N·m。

受转矩作用的轴处于扭转状态。它会稍微扭转，其材料承受切应力 τ（tau）：轴上相邻的薄片试图相互滑过。

轴的扭转题目如何一步步求解？
  1. 求极惯性矩：实心轴 J = πd⁴/32。
  2. 表面处的切应力：τ = T·r/J，r 为外半径。
  3. 扭转角：φ = TL/(GJ)，单位为弧度。
  4. 若给出功率，先用 P = T·ω、ω = 2πn/60 求扭矩。
轴的扭转有哪些常见错误？
  • 在 τ = T·r/J 中用直径代替了半径。
  • 忘记把 rpm 换算为 rad/s。
  • 题目要求度数时，却给出以弧度表示的扭转角。
轴的扭转练习包括哪些内容？
  • 简单: 切应力
  • 中等: 扭转角
  • 困难: 功率传递

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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