齿轮与齿轮系：练习题及分步解答

1齿轮的作用

齿轮把旋转从一根轴传到另一根轴。它们的轮齿相互啮合，所以不会打滑。

齿轮箱同时完成两项工作。它改变旋转的转速，也改变转矩，即轴上的转动力。转得越慢，力越大。

电动机转得快，但转矩小。一对齿轮使它减速，这样才能带动沉重的输送带或绞车。自行车用低挡位的道理也一样。

由电动机驱动的齿轮是主动轮（通常是称为小齿轮的小齿轮）。被它带动旋转的齿轮是从动轮。

啮合的两个齿轮旋转方向相反。

2速比

在两个齿轮接触的地方，它们的轮齿以相同的速率通过。如果小齿轮有 20 个齿，转一圈就推过大齿轮的 20 个齿。60 齿的齿轮于是只转三分之一圈。

所以转速 n（以 rpm 计）与齿数 N 的关系为：

传动比为 i = N₂ / N₁ = n₁ / n₂。传动比为 3 表示输出转得慢三倍。

在复合轮系中，两个齿轮装在同一根中间轴上，所以它们转速相同。总传动比是各级传动比的乘积：

位于另外两个齿轮之间（各在自己的轴上）的惰轮只改变旋转方向。最后一个齿轮的转速只由第一个和最后一个齿轮决定。

3转矩与功率

功率等于转矩乘以角速度。角速度必须以 rad/s 为单位，所以先从 rpm 换算：

一对齿轮传递了几乎全部功率。只有百分之几因摩擦而损失，用效率 η 来描述（通常为 0.95 到 0.98）：

由于转速按传动比下降而功率几乎不变，转矩就按该比值增大：

4分步方法

1. 画出齿轮草图，并在每个齿轮上写出齿数。标出输入轴和输出轴。
2. 求每一级的传动比，即从动轮齿数 / 主动轮齿数，复合轮系把各级相乘。
3. 输出转速：n_out = n_in / i_total。
4. 电动机的输入转矩：用 ω = 2π·n/60 把 rpm 换算成 rad/s，然后 T = P/ω。
5. 输出转矩：乘以传动比，再乘以每对啮合齿轮的效率。

检查答案的方向：减速使输出变慢，转矩变大。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 把齿数比颠倒。较大的从动轮必须转得更慢。
• 在 P = T·ω 中使用 rpm。用 ω = 2π·n/60 换算成 rad/s。
• 用传动比去除转矩而不是乘。减速使转矩增大。
• 除以效率。摩擦使输出转矩变小，所以要乘以 η。
• 把惰轮算进传动比，或者把同一根轴上两个齿轮的齿数相乘。

7考试题是什么样的

• 简单：速比。求从动轮的转速，或给定转速所需的齿数。变式包括惰轮，以及由模数 m 求齿轮尺寸：分度圆直径 d = m·N，中心距 a = m·(N₁ + N₂)/2。
• 中等：转矩与功率。给定功率和转速的电动机驱动一对齿轮：求输入或输出转矩。其他题目要求轮齿上的切向力 F_t = 2T/d，或涉及蜗杆传动（传动比 = 蜗轮齿数 / 蜗杆头数）。
• 困难：复合轮系。求输出转速、最后一个齿轮所需的齿数，或考虑每对啮合效率的输出转矩。有些题目使用行星齿轮组。

对于像 A (20) → B (60)，然后 C (15) → D (45) 这样的复合轮系：i = 3 · 3 = 9，所以输入 900 rpm 时输出为 100 rpm。