热传导：练习题及分步解答

1什么是热传导

热总是从热的地方流向冷的地方。在固体内部，热以传导方式传递：温度高的一侧快速振动的粒子把能量传给相邻的粒子。

在冬天，热量就是这样通过墙壁从温暖的房间散失出去的。漏出多少，取决于温差、墙的面积、厚度和材料。

不同材料差别极大。热导率 k，单位 W/(m·K)，表示热量通过的难易程度：

• 混凝土：约 1.4 W/(m·K)。砖：约 0.72。
• 木材：约 0.17。
• 矿棉：约 0.04。发泡聚苯乙烯：约 0.035。

k 低意味着隔热性好。这就是房子的墙内会有一层矿棉或泡沫的原因。

在本主题中，温度不随时间变化。这称为稳态传导。

2傅里叶定律与热阻

对于厚度为 L、面积为 A 的平壁，两侧表面温度为 T₁ 和 T₂，以瓦为单位的热流率由傅里叶定律给出：

温度在墙内沿直线下降。热流密度是每平方米的热流：q″ = Q̇ / A，单位 W/m²。

把墙想成电阻会有帮助，就像在电路中一样。温差驱动热量，墙阻碍它：

热阻 R 的单位是 K/W。墙越厚或 k 越低，热阻越大，热损失越少。以 °C 表示的温差与以 K 表示的数值相同。

3多层墙

实际的墙有多层：砖、保温层、石膏板。同样的热量依次通过每一层，所以各层是串联的热阻。把它们相加：

每一层按其热阻的比例分担总温降：ΔT₁ = Q̇ · R₁。保温层的温降最大。

墙边的空气同样阻碍热量。这种对流热阻为 R = 1/(h · A)，其中 h 是对流换热系数，单位 W/(m²·K)。像一层墙那样把它串联相加。

U 值概括整面墙（包括空气膜），表示每平方米每开尔文的热流：

4分步方法

1. 画出墙及其各层。写下每层的厚度（以米为单位）和旁边对应的 k。
2. 计算每一层的热阻：R = L/(k·A)。某一侧有空气时，对该侧加上 R = 1/(h·A)。
3. 把所有串联的热阻相加。
4. 求热流：Q̇ = (总温差) / R_total。
5. 要求墙内某处的温度，从已知温度出发，每穿过一层就减去 Q̇ · R。

一个好的检验：各层的温降之和必须等于总温差。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 把厚度留在 mm。k 值是每米的，所以 L 必须以米为单位。
• 对两层的 k 值取平均或相加。应当把热阻 L/(k·A) 相加。
• 忘了面积：整面墙的 R = L/(k·A)，每平方米的 R = L/k。
• 求交界面温度时从错误的一侧开始。温度总是沿热流方向下降。
• 在给出室内外空气温度时，漏掉空气膜（1/(h·A)）。

7考试题是什么样的

• 简单：单层墙。用傅里叶定律求热流 Q̇ 或热流密度 q″。
• 中等：两层的复合墙。求热流，或两层交界面处的温度 T_i。
• 困难：两侧都有对流的墙，介于室内空气和室外空气之间。求 U 值、热损失，或内表面温度 T_s。

求内表面温度时，从室内空气出发，只穿过内侧的空气膜：T_s = T_room − Q̇ / (h_i · A)。

例如：上面的墙，室内 h = 8 W/(m²·K)，室外 h = 25 W/(m²·K)，则 R_total = 0.0125 + 0.1528 + 0.004 = 0.1693 K/W，所以 U = 1/(0.1693 · 10) = 0.59 W/(m²·K)。