刚体转动：练习题及分步解答

1什么是刚体转动

刚体是保持形状的物体：飞轮、滑轮、门或滚动的轮子。在这个主题中，物体绕一根轴转动。

物体上的每个点在相同的时间内转过相同的角度。所以你用角量而不是距离来描述运动：

• θ：转过的角度，单位弧度（rad）。一转是 2π rad。
• ω：角速度，单位 rad/s。
• α：角加速度，单位 rad/s²。

机器以每分钟转数（rpm）给出转速。计算之前先换算：

距轴为 r 的点以速度 v = ω·r 运动，沿其轨迹的加速度为 a = α·r。

你对直线运动所知的一切都有对应的转动形式：力变成力矩，质量变成转动惯量，ΣF = m·a 变成 ΣM = I·α。

2转动惯量

质量告诉你使一个物体沿直线加速有多难。质量转动惯量 I 告诉你使它转动起来有多难。

远离轴的质量比靠近轴的质量重要得多，因为它按距离的平方计算：

你不必自己把各部分加起来。记住这些关于质心 G 的标准结果：

• 长度为 L 的细杆，轴通过中点：m·L²/12。
• 半径为 R 的实心圆盘或圆柱：½·m·R²。
• 细圆环或箍：m·R²。
• 实心球：(2/5)·m·R²。空心球：(2/3)·m·R²。
• 距离为 r 的质点：m·r²。

当轴 O 不通过 G 时，用平行轴定理。这里 d 是 O 与 G 之间的距离：

绕端点转动的杆 d = L/2，所以 I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3。

有些题目给出回转半径 k 而不是形状。这时 I = m·k²。对于由几部分组成的物体，求出每一部分对同一根轴的 I 再相加。

3力矩、能量和角动量

三种工具几乎能解决每个转动问题。选一个与题目匹配的。

1. 力矩。对轴的力矩之和等于 I·α。用于求加速度和力。

在恒定转矩下，角运动有恒定的 α，运动学方程有转动形式：ω = ω₀ + α·t 和 ω² = ω₀² + 2·α·θ。

2. 能量。转动的物体储存动能。转矩 T 转过角度 θ 会做功，转动轴的功率是转矩乘以角速度：

无滑动滚动的物体同时在移动和转动，v = ω·r。它具有两种动能：

数 c 只取决于形状：实心球为 0.4，实心圆柱为 0.5，空心球为 2/3，圆环为 1。在斜面上，a = g·sin θ / (1 + c)。

3. 角动量。L = I·ω。当没有外力矩作用于轴时，L 保持不变，即使物体粘在一起而动能有损失：

4分步方法

1. 画出物体并选择轴：固定的枢轴或转轴，或滚动物体的质心。
2. 求对该轴的转动惯量。用标准结果，轴平移时加上 m·d²。
3. 用 ω = 2π·n/60 把每个以 rpm 表示的转速换算成 rad/s。
4. 选择工具。求加速度和力：ΣM = I·α（对做直线运动的部分用 ΣF = m·a）。走过一段距离或角度之后的速度：能量。撞击、突然咬合以及收拢质量的物体：角动量。
5. 在绳子或滚动接触点连接直线运动和转动的地方，把它们联系起来：v = ω·r 和 a = α·r。
6. 求解，如果可能，再用第二种工具检验结果。

对于通过绳子绕过滑轮悬挂的物体，画两张受力图：一张是物块（力），一张是滑轮（力矩）。绳子的张力在两张图中都出现。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 在 ω、E = ½·I·ω² 或 P = T·ω 中仍用 rpm 表示转速。要先换算成 rad/s。
• 对绕端点转动的物体使用对质心的转动惯量。要加上 m·d²。
• 忘了滚动物体或滑轮的转动动能。
• 把杆端的球或圆盘当作质点。还要加上它对自身中心的 I。
• 以为物体咬合或粘在一起时动能守恒。应该改用角动量。
• 把圈数用弧度计：N = θ/(2π)。

7考试题是什么样的

• 简单：转动惯量。杆绕平移后的轴、由杆和球或圆盘组成的摆、飞轮的动能，或使飞轮转动起来所需的转矩或时间。
• 中等：ΣM = I·α、功和功率。从水平位置释放的杆、滑轮上的物块、制动的飞轮转过的圈数、轴的转矩或功率，或摆动的杆的速度。
• 困难：滚动与角动量。沿斜面滚下的球、圆柱或圆环，滚动所需的摩擦，转动能量的份额，落在转动圆盘上的圆环，收拢哑铃的人，或击中悬挂杆的子弹。

对于制动的飞轮，制动器做的功等于储存的能量：T·θ = ½·I·ω²。把 θ 除以 2π 得到圈数。

一根一端铰接、从水平位置释放的杆，在刚释放时 α = 3·g/(2·L)。它的自由端以 1.5·g 加速。

对于嵌在杆中的子弹，对枢轴的角动量保持不变：m·v·d = (I_rod + m·d²)·ω。