圆周运动：练习题及分步解答

Q: 圆周运动题目如何一步步求解？

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

Q: 圆周运动练习包括哪些内容？

简单: 向心力 中等: 弯道上的摩擦 困难: 竖直圆周 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

免费的圆周运动练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：向心力, 弯道上的摩擦, 竖直圆周。

免费练习题简单

一辆 1600 kg 的汽车以恒定的 29 m/s 通过半径为 100 m 的水平弯道。求所需的指向圆心的力（向心力）F_c。

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m

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练习内容

简单向心力
中等弯道上的摩擦
困难竖直圆周

关键公式

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

从零开始学习圆周运动

学习本课之前：牛顿定律

1什么是圆周运动

弯道上的汽车、绳子上的石头和绕地球的卫星都在圆周上运动。即使速率不变，它们的方向也在不断变化。

方向的变化就是速度的变化，所以物体有加速度。这个加速度指向圆的圆心。它称为向心加速度 a_c。

速度总是沿切线方向，与半径成直角。如果向内的拉力突然消失，物体会沿切线飞出去，沿直线运动，而不是向外飞。

自测一辆汽车以恒定速率绕环形交叉路口行驶。它朝哪个方向加速？

向前，沿着它的速度方向
向外，远离圆心
它没有加速度
朝向圆心

答案: 朝向圆心. 速率恒定但方向在变，所以有加速度。它指向圆心。“向外”的感觉是你的身体想继续走直线。

2向心加速度和向心力

向心加速度取决于速率 v（m/s）和半径 r（m）：

a_c = v² / r

速率加倍，加速度变为四倍。弯得更急（r 更小），加速度更大。

根据牛顿第二定律，必须有一个这么大的向内的力：

F_c = m · v² / r

F_c 不是一种新的力。它是由真实的力产生的向内的合力：平路弯道上的摩擦力、绳子中的张力、卫星的重力，或者倾斜路面上的支持力。

转动的物体常用以 rad/s 为单位的角速度 ω 描述。一转是 2π rad，所以 60 rpm 就是 2π rad/s。

ω = v / r = 2π / T a_c = ω² · r

自测一名骑车人以 10 m/s 的速度通过半径为 50 m 的弯道。向心加速度是多少？

0.2 m/s²
2 m/s²
5 m/s²
5000 m/s²

答案: 2 m/s². a_c = v²/r = 100/50 = 2 m/s²。忘了对速率平方，会得到 10/50 = 0.2 m/s²。

3分步方法

把速度换算成 m/s，半径换算成 m，rpm 换算成 rad/s。
画出物体在所考虑的位置，并标出圆心的方向。
画出真实的力：重力、支持力、摩擦力、张力。
取“朝向圆心”为正方向，把这个方向上的各力分量相加。
令这个向内的合力等于 m·v²/r，然后求解。

在平路弯道上，只有摩擦力提供向内的力。打滑前的最大速度由 μ·m·g = m·v²/r 得出。质量被消去：

v_max = √(μ · g · r)

4例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一辆汽车通过半径为 40 m 的平路弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车能无打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

哪个力指向内侧？

在平路上，重力和支持力是竖直的。只有摩擦力沿侧向作用，指向弯道的圆心。

最大摩擦力

在水平路面上 N = m·g，所以摩擦力最大为：

F_f,max = μ · m · g

令它等于向心力

μ · m · g = m · v² / r

质量 m 出现在两边并被消去，所以小汽车和卡车的答案相同。

解出速度

v² = μ · g · r = 0.5 · 9.81 · 40 = 196.2 m²/s²

v_max = √196.2 ≈ 14.0 m/s

检验答案

14.0 m/s × 3.6 ≈ 50 km/h。对于 40 m 的急弯，这是合理的最高速度。路面湿滑（μ 更小）会给出更低的速度。

答案

v_max ≈ 14.0 m/s，约 50 km/h。

5竖直圆周运动

在竖直圆周中，重力有时指向圆心，有时背离圆心。要分别看最高点和最低点。

在最高点，张力（或支持力）和重力都向下，指向圆心。
在最低点，张力向上指向圆心，但重力背离圆心。绳子必须既承担重力，又提供向心力。

在最高点，当 T = 0 时绳子刚好保持拉紧。这时只有重力提供向内的力：m·g = m·v²/r，所以 v_min = √(g·r)。

如果知道一点的速度而需要另一点的速度，用能量：每千克上升 2r 消耗 v²/2 中的 2·g·r，所以 v_top² = v_bottom² − 4·g·r。

6常见错误

把向心力画成摩擦力或张力之外的一个额外的力。它是真实的力的合力。
忘了对 v²/r 中的速率平方。
直接使用 km/h 或 rpm。要先换算成 m/s 或 rad/s。
弄错竖直圆周中重力的符号：在最高点它起帮助作用，在最低点它与绳子的作用相反。
以为物体受到一个向外的力。在地面参考系中并没有这样的力。

自测一个 0.5 kg 的球系在 1 m 长的绳子上，在竖直圆周的最低点以 4 m/s 的速度运动。取 g = 9.81 m/s²，那里的张力是多少？

12.9 N
3.1 N
4.9 N
8 N

答案: 12.9 N. 在最低点 T − m·g = m·v²/r，所以 T = 0.5 · 9.81 + 0.5 · 16/1 = 4.9 + 8 = 12.9 N。8 N 忘了重力。3.1 N 是减去了重力而不是加上。

7考试题是什么样的

简单：向心力。求弯道上汽车、绳子上的石头或旋转圆盘上某一点的 a_c 或 F_c。
中等：弯道上的摩擦及相关情形：平路弯道上的最大速度、倾斜弯道、路上的拱起、圆锥摆或游乐场的转筒。
困难：竖直圆周运动。最高点或最低点的张力、最高点的最小速度，或用能量守恒求解的翻滚过山车回环。

在每种情形中，首先问：哪个真实的力，或哪几个力的组合，指向圆心？

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单

一辆 1700 kg 的汽车以恒定的 14 m/s 通过半径为 110 m 的水平弯道。求所需的指向圆心的力（向心力）F_c。

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

求： F_c (N)

显示提示

以恒定速率做圆周运动仍然有加速度，方向指向圆心。
a = v²/r，F = m·a。
v² = 196 m²/s².

显示答案和分步解答

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

向心加速度

a_c = v²/r = 14²/110 = 1.782 m/s²

向心力

F_c = m·a = 1700·1.782 = 3029 N

答案

F_c = 3029 N

例题 2中等

一辆汽车通过半径为 50 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 50 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

求： v_max (m/s)

显示提示

摩擦力是唯一指向圆心的力，最大为 μ·m·g。
令 m·v²/r = μ·m·g。质量可以约去。
v = √(μ·g·r)。

显示答案和分步解答

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·50) = 12.13 m/s

答案

v_max = 12.13 m/s (43.67 km/h)

例题 3困难

一辆 1 kg 的小车在无摩擦轨道上从 11.9 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 3.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 1 kgh = 11.9 mR = 3.5 mg = 9.81 m/s²

求： N_bottom (N)

显示提示

能量：在底部 v² = 2g·h。
在底部：N − m·g = m·v²/R。
v² = 233.5 m²/s².

显示答案和分步解答

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.