그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 원운동 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 구심력, 커브에서의 마찰, 연직 원운동.
질량 1600 kg인 자동차가 반지름 100 m인 평평한 커브를 일정한 속력 29 m/s로 돈다. 필요한 중심 방향의 힘(구심력) Fc을(를) 구하시오.
잘하셨어요. 다음 문제를 풀어 볼까요?다음 문제로 넘어갈까요? 모든 주제에서 매일 새 문제 5개.
먼저 알아 둘 것: 뉴턴 법칙
커브길의 자동차, 줄에 매단 돌, 지구 둘레의 위성은 모두 원을 따라 움직입니다. 속력이 일정해도 방향은 계속 바뀝니다.
방향이 바뀌는 것은 속도가 바뀌는 것이므로 물체는 가속합니다. 이 가속도는 원의 중심을 향합니다. 이것을 구심 가속도 ac라고 합니다.
속도는 항상 접선 방향이며 반지름에 수직입니다. 안쪽으로 당기는 힘이 갑자기 사라지면 물체는 바깥쪽이 아니라 접선을 따라 직선으로 날아갑니다.
답: 원의 중심을 향해. 속력은 일정하지만 방향이 바뀌므로 가속도가 있습니다. 가속도는 중심을 향합니다. “바깥쪽”으로 느껴지는 것은 몸이 계속 직진하려는 것입니다.
구심 가속도는 속력 v(m/s)와 반지름 r(m)에 따라 달라집니다.
속력이 두 배이면 가속도는 네 배가 됩니다. 곡선이 더 급하면(r이 작으면) 가속도가 더 큽니다.
뉴턴의 제2법칙에 따라 그 크기의 안쪽 방향 힘이 어딘가에서 나와야 합니다.
Fc는 새로운 힘이 아닙니다. 실제 힘들이 만드는 안쪽 방향의 합력입니다. 평평한 커브에서는 마찰, 줄에서는 장력, 위성에서는 중력, 경사진 도로에서는 수직항력입니다.
회전하는 물체는 흔히 rad/s 단위의 각속도 ω로 나타냅니다. 1회전은 2π rad이므로 60 rpm은 2π rad/s입니다.
답: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s². 속력을 제곱하는 것을 잊으면 10/50 = 0.2 m/s²가 됩니다.
평평한 커브에서는 마찰만이 안쪽 방향의 힘을 줍니다. 미끄러지기 전의 최고 속력은 μ·m·g = m·v²/r에서 나옵니다. 질량은 소거됩니다.
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
자동차가 반지름 40 m의 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.5이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 자동차가 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최고 속력 vmax을(를) 구하시오.
평평한 도로에서 중력과 수직항력은 수직 방향입니다. 옆으로, 커브의 중심을 향해 작용하는 것은 마찰뿐입니다.
수평 도로에서 N = m·g이므로 마찰력은 최대 다음과 같습니다.
질량 m이 양변에 있어 소거되므로 작은 자동차와 화물차의 답이 같습니다.
14.0 m/s × 3.6 ≈ 50 km/h. 반지름 40 m의 급한 커브에서 타당한 최고 속력입니다. 미끄러운 도로(작은 μ)에서는 속력이 더 낮아집니다.
vmax ≈ 14.0 m/s, 약 50 km/h.
수직 원에서는 무게가 어떤 때는 중심을 향하고 어떤 때는 중심에서 멀어지는 쪽을 향합니다. 맨 위와 맨 아래를 따로 살펴보세요.
맨 위에서 줄이 겨우 팽팽하게 유지되는 것은 T = 0일 때입니다. 그때는 무게만으로 안쪽 방향의 힘이 됩니다: m·g = m·v²/r, 따라서 vmin = √(g·r)입니다.
한 지점의 속력을 알고 다른 지점의 속력이 필요하면 에너지를 쓰세요. 2r만큼 올라가면 kg당 v²/2에서 2·g·r이 줄어들므로 vtop² = vbottom² − 4·g·r입니다.
답: 12.9 N. 맨 아래에서 T − m·g = m·v²/r이므로 T = 0.5 · 9.81 + 0.5 · 16/1 = 4.9 + 8 = 12.9 N입니다. 8 N은 무게를 잊은 값입니다. 3.1 N은 무게를 더하지 않고 뺀 값입니다.
어느 경우에나 먼저 물으세요. 어떤 실제 힘, 또는 어떤 힘들의 조합이 중심을 향하는가?
질량 1700 kg인 자동차가 반지름 110 m인 평평한 커브를 일정한 속력 14 m/s로 돈다. 필요한 중심 방향의 힘(구심력) Fc을(를) 구하시오.
구하는 값: Fc (N)
등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.
자동차가 반지름 50 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 vmax을(를) 구하시오.
구하는 값: vmax (m/s)
등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.
1 kg 수레가 마찰 없는 트랙 위 높이 11.9 m에서 정지 상태로 놓여 반지름 3.5 m의 연직 루프를 지난다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 루프 바닥에서 트랙이 수레에 작용하는 수직항력 Nbottom을(를) 구하시오.
구하는 값: Nbottom (N)
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
중심 방향을 양으로.
커브길의 자동차, 줄에 매단 돌, 지구 둘레의 위성은 모두 원을 따라 움직입니다. 속력이 일정해도 방향은 계속 바뀝니다.
방향이 바뀌는 것은 속도가 바뀌는 것이므로 물체는 가속합니다. 이 가속도는 원의 중심을 향합니다. 이것을 구심 가속도 ac라고 합니다.
등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.