자기장과 유도: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 자기장과 유도: 무엇인가요?

모든 전류 주위에는 단위가 테슬라(T)인 자기장 B가 있습니다. 지구의 자기장은 약 50 µT이고, 냉장고 자석은 몇 mT입니다. 긴 직선 도선 주위의 자기력선은 원입니다. 오른손 엄지를 전류 방향으로 향하게 하면 나머지 손가락이 B의 방향으로 감깁니다(오른손 법칙). 그림에서 ⊗는 종이 속으로 들어가는 자기장, ⊙는 종이 밖으로 나오는 자기장을 뜻합니다.

Q: 자기장과 유도 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 전류의 자기장과 자기력 보통: 하전 입자, 패러데이, 렌츠 어려움: 발전기, 인덕턴스, 입자 빔 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 자기장과 유도 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 전류의 자기장과 자기력, 하전 입자, 패러데이, 렌츠, 발전기, 인덕턴스, 입자 빔.

무료 연습 문제쉬움

감은 수 100, 반지름 2 cm인 평평한 원형 코일에 0.5 A의 전류가 흐른다. 중심에서의 자기선속밀도 B을(를) 구하시오.

N = 100I = 0.5 AR = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

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자기장과 유도 무료로 연습하기 지금 자기장과 유도 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움전류의 자기장과 자기력
보통하전 입자, 패러데이, 렌츠
어려움발전기, 인덕턴스, 입자 빔

자기장과 유도 문제 푸는 방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

흔한 실수

길이를 cm로, 넓이를 cm²로 그대로 두는 것.
고리나 솔레노이드에 도선의 공식을 쓰는 것.
Φ = BA·cos θ에서 법선과의 각이 필요한데 평면과의 각을 쓰는 것.
음전하의 힘 방향을 반대로 바꾸는 것을 잊는 것.
발전기의 최댓값과 실횻값을 혼동하는 것.

핵심 공식

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

자기장과 유도 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 쿨롱 법칙과 전기장, 원운동

1전류는 자기장을 만든다

모든 전류 주위에는 단위가 테슬라(T)인 자기장 B가 있습니다. 지구의 자기장은 약 50 µT이고, 냉장고 자석은 몇 mT입니다.

긴 직선 도선 주위의 자기력선은 원입니다. 오른손 엄지를 전류 방향으로 향하게 하면 나머지 손가락이 B의 방향으로 감깁니다(오른손 법칙). 그림에서 ⊗는 종이 속으로 들어가는 자기장, ⊙는 종이 밖으로 나오는 자기장을 뜻합니다.

직선 도선: B = μ₀I/(2πr) 원형 코일 중심: B = μ₀NI/(2R) 솔레노이드: B = μ₀(N/L)·I

μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. 반드시 미터를 쓰세요. 5 cm는 0.05 m입니다. 긴 솔레노이드 안에서 자기장은 균일하며 반지름에 의존하지 않습니다.

자가 점검 긴 직선 도선으로부터의 거리가 두 배가 된다. B는 어떻게 되는가?

4분의 1로 줄어든다
그대로이다
두 배가 된다
절반이 된다

답: 절반이 된다. B = μ₀I/(2πr)는 1/r에 따라 줄어들므로 거리가 두 배이면 자기장은 절반입니다. 1/r² 법칙은 도선이 아니라 점전하에 해당합니다.

2자기력

자기장은 움직이는 전하에 힘을 가합니다. 전류 I가 흐르는 길이 L의 직선 도선과, 속도 v로 움직이는 전하 q 하나에 작용하는 힘은 다음과 같습니다.

F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ

θ는 전류(또는 속도)와 자기장 사이의 각도입니다. B와 평행한 도선은 힘을 받지 않습니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F의 방향입니다. 전자는 반대로 하세요.

힘은 항상 속도에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다. |q|vB = mv²/r로 놓으면 r = mv/(|q|B)입니다. 한 바퀴를 도는 시간 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다.

평행한 두 도선은 전류가 같은 방향으로 흐르면 서로 끌어당기고 반대 방향으로 흐르면 밀어내며, F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)입니다.

자가 점검 양성자와 전자가 같은 속력으로 같은 자기장을 가로질러 움직인다. 어느 쪽이 더 큰 원을 그리는가?

두 원의 크기가 같다
둘 다 아니다: 직선으로 움직인다
양성자
전자

답: 양성자. r = mv/(|q|B). 두 입자의 전하 크기는 같지만 양성자가 약 1836배 무거우므로 원이 1836배 큽니다. 또한 서로 반대 방향으로 휩니다.

3자기선속과 패러데이 법칙

고리를 지나는 자기선속은 얼마나 많은 자기장이 고리를 통과하는지를 나타냅니다: Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 단위는 웨버(Wb = T·m²)입니다.

코일을 지나는 선속이 변하면 기전력이 유도됩니다(패러데이 법칙). 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하는 방향으로 흐릅니다(렌츠 법칙).

ε = −N·ΔΦ/Δt

선속은 B가 변하거나, 넓이가 변하거나, 코일이 회전해서 변할 수 있습니다. 자기장 속에서 코일을 뒤집으면 선속이 반대가 되므로 ΔΦ = 2BA입니다.

길이 L의 막대가 자기장을 가로질러 속력 v로 움직이면 넓이를 쓸고 지나가므로 ε = BLv입니다. 저항 R이 있으면 전류는 I = ε/R이고, 자기장은 그 전류를 F = BIL로 밀어내므로 막대를 계속 움직이려면 계속 당겨야 합니다.

자가 점검 고리를 통과해 종이 속으로 들어가는 자기장이 증가하고 있다. 앞에서 볼 때 유도 전류는 어느 방향으로 흐르는가?

고리의 크기에 따라 다르다
시계 반대 방향
시계 방향
전류가 흐르지 않는다

답: 시계 반대 방향. 유도 전류는 종이 속으로 들어가는 선속의 증가를 방해하므로, 고리 안에서 자신의 자기장이 종이 밖을 향합니다. 오른손 법칙에 따르면 시계 반대 방향 전류가 필요합니다.

4발전기와 인덕턴스

감은 수 N, 넓이 A인 코일이 자기장 B 속에서 각속도 ω로 회전하면 최댓값 E₀ = NBAω인 사인파 기전력이 생깁니다. 실횻값은 E₀/√2이고, n이 rpm일 때 ω = 2π·n/60입니다.

코일에 흐르는 전류가 변하면 자신의 선속이 변하고, 이것이 변화를 방해하는 기전력을 유도합니다. 이것이 헨리(H) 단위의 자체 인덕턴스 L입니다.

ε = L·ΔI/Δt 긴 솔레노이드: L = μ₀N²A/l 에너지: W = ½LI²

선속을 공유하는 두 코일은 상호 인덕턴스 M을 가집니다. 한 코일에서 전류가 변하면 다른 코일에 ε₂ = M·di₁/dt가 유도되며, M = k√(L₁L₂)이고 0 ≤ k ≤ 1입니다. 변압기가 이를 이용합니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

길이 40 cm의 금속 막대가 0.5 T의 자기장 속에서 레일 위를 5 m/s로 미끄러진다. 레일은 2 Ω 저항으로 연결되어 있다. 전류와, 막대를 일정한 속력으로 움직이는 데 필요한 힘을 구하시오.

유도 기전력

ε = BLv = 0.5 · 0.40 · 5 = 1.0 V

전류

I = ε/R = 1.0/2 = 0.5 A

제동력

막대의 전류는 자기장 안에 있으므로 막대는 운동과 반대 방향으로 F = BIL을 받습니다(렌츠).

F = 0.5 · 0.5 · 0.40 = 0.10 N

에너지로 검산

당기는 일률 F·v = 0.10 · 5 = 0.5 W는 저항에서 나오는 열 I²R = 0.25 · 2 = 0.5 W와 같습니다. 에너지가 보존됩니다.

답

I = 0.5 A, F = 0.10 N.

6흔한 실수

거리를 cm로, 넓이를 cm²로 그대로 두는 것. 1 cm² = 10⁻⁴ m².
공식을 혼동하는 것: 도선은 μ₀I/(2πr), 고리의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드는 μ₀nI.
Φ = BA·cos θ에서 법선과의 각이 아니라 평면과의 각을 쓰는 것.
패러데이 법칙에서 자기장의 변화량이 아니라 나중 자기장을 쓰는 것.
음전하의 힘 방향을 반대로 바꾸는 것을 잊는 것.
발전기에서 최댓값과 실횻값을 혼동하는 것.

7시험 문제의 유형

쉬움: 도선, 고리, 솔레노이드의 B, 도선이나 움직이는 전하에 작용하는 힘, 고리를 지나는 선속.
보통: 자기장 속 전하의 반지름과 주기, 코일에 대한 패러데이 법칙, 레일 위의 막대, 평행한 도선, 힘이나 유도 전류의 방향.
어려움: 발전기, 자체 인덕턴스와 저장된 에너지, 상호 인덕턴스, 질량 분석기와 속도 선택기.

방향은 자기장 기호를 스케치하고 매번 오른손을 쓰세요. 크기는 공식을 먼저 쓰고 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요.

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예제 풀이

예제 1쉬움

긴 직선 도선에 8 A가 흐른다. 도선에서 어떤 거리 r에서 자기선속밀도가 32 µT인가?

I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

구하는 값: r (cm)

힌트 보기

B = μ₀I/(2πr)을 r에 대해 정리하세요.
r = μ₀I/(2πB).
결과를 미터에서 센티미터로 바꾸세요.

정답과 단계별 풀이 보기

전류의 자기장: 긴 직선 도선 주위의 자기력선은 원이며(오른손 법칙) B = μ₀I/(2πr)입니다. 감은 수 N인 평평한 원형 코일의 중심에서는 B = μ₀NI/(2R)입니다. 긴 솔레노이드 안에서는 자기장이 균일하며, 반지름과 관계없이 B = μ₀nI이고 n = N/L은 1미터당 감은 수입니다. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. SI 단위(미터와 암페어)로 계산하고, 여러 전원의 자기장은 벡터로 더하세요.

자기장으로 구하는 거리

r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0.05 m = 5 cm

답

r = 5 cm

예제 2보통

감은 수 50, 넓이 80 cm²인 코일이 있다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 100 ms 동안 0.2 T에서 1 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 50A = 80 cm²B: 0.2 T → 1 TΔt = 100 ms

구하는 값: ε (V)

힌트 보기

패러데이 법칙: ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0.008 m²이고 Δt = 0.1 s입니다.

정답과 단계별 풀이 보기

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (1 − 0.2)·0.008 = 0.0064 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.0064/0.1 = 3.2 V

답

ε = 3.2 V

예제 3어려움

자체 인덕턴스가 50 mH와 50 mH인 두 코일의 결합 계수가 0.3이다. 첫 번째 코일의 전류가 1000 A/s로 변한다. 두 번째 코일에 유도되는 기전력 ε을(를) 구하시오.

L₁ = 50 mHL₂ = 50 mHk = 0.3di/dt = 1000 A/s

구하는 값: ε (V)

힌트 보기

M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
M을 헨리로 바꾸세요.

정답과 단계별 풀이 보기

상호 인덕턴스

M = 0.3·√(50·50) = 15 mH

유도 기전력

ε = M·di/dt = 0.015·1000 = 15 V

답

ε = 15 V

질문과 답변

자기장과 유도: 무엇인가요?

모든 전류 주위에는 단위가 테슬라(T)인 자기장 B가 있습니다. 지구의 자기장은 약 50 µT이고, 냉장고 자석은 몇 mT입니다.

자기장과 유도 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

자기장과 유도에서 자주 하는 실수는?