운동량과 충돌: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 운동량과 충돌 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 완전 비탄성 보통: 탄성 어려움: 충격량과 힘 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 운동량과 충돌 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 완전 비탄성, 탄성, 충격량과 힘.

무료 연습 문제쉬움

자유롭게 움직일 수 있는 4.5 kg 소총이 12 g 총알을 750 m/s로 발사한다. 둘 다 정지 상태에서 시작한다. 소총의 반동 속력 V을(를) 구하시오.

M = 4.5 kgm = 12 gv = 750 m/s

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운동량과 충돌 무료로 연습하기 지금 운동량과 충돌 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움완전 비탄성
보통탄성
어려움충격량과 힘

운동량과 충돌 문제 푸는 방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

흔한 실수

반대 방향 속도의 음의 부호를 잊는 것.
속도를 질량으로 가중하지 않고 단순 평균하는 것.
비탄성 충돌에서 운동 에너지가 보존된다고 가정하는 것.

핵심 공식

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

운동량과 충돌 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 뉴턴 법칙

1운동량이란 무엇인가

시속 10 km의 화물차는 같은 속력의 자전거보다 세우기 어렵습니다. 총알은 작지만 매우 빠르기 때문에 세우기 매우 어렵습니다. 운동량은 질량과 속도를 결합합니다.

p = m · v

운동량 p의 단위는 kg·m/s입니다. 방향이 있으며 속도와 같습니다. 양의 방향을 정하세요. 반대로 움직이는 물체는 속도와 운동량이 음수입니다.

운동량이 중요한 이유는 충돌과 폭발에서 보존되기 때문입니다. 충돌 중에 무슨 일이 있든 전체 운동량은 전과 후가 같습니다.

자가 점검 3 m/s로 움직이는 2 kg의 공의 운동량은 얼마인가?

1.5 kg·m/s
18 kg·m/s
6 kg·m/s
9 kg·m/s

답: 6 kg·m/s. p = m·v = 2 · 3 = 6 kg·m/s. 9는 ½·m·v²로 줄 단위의 운동 에너지이며, 다른 양입니다.

2운동량 보존

두 물체가 충돌하면 같은 짧은 시간 동안 서로 크기가 같고 방향이 반대인 힘으로 밉니다(뉴턴의 제3법칙). 한쪽이 얻는 운동량을 다른 쪽이 잃습니다.

따라서 충돌 중에 외부의 힘이 작용하지 않으면 전체 운동량은 그대로입니다.

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

프라임(′)은 충돌 후의 속도를 나타냅니다. 짧은 충돌 동안 도로의 마찰은 작으므로 무시할 수 있습니다.

충돌에는 두 종류가 있습니다.

완전 비탄성: 물체들이 붙어서 하나의 공통 속도 v′로 움직입니다. 운동 에너지는 열, 소리, 찌그러짐으로 사라집니다.
탄성: 물체들이 튕겨 나가며 운동 에너지 ½·m·v²도 보존됩니다.

완전 비탄성 충돌에서는 공통 속도가 곧바로 나옵니다.

v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)

폭발이나 총의 발사는 같은 아이디어를 거꾸로 한 것입니다. 전체 운동량이 전에 0이었으므로 후에도 0입니다.

자가 점검 6 m/s의 2 kg 수레가 정지해 있는 1 kg 수레와 부딪혀 붙는다. 공통 속도는 얼마인가?

12 m/s
2 m/s
3 m/s
4 m/s

답: 4 m/s. v′ = (2 · 6 + 1 · 0)/(2 + 1) = 12/3 = 4 m/s. 속도를 평균하면(3 m/s) 더 무거운 수레가 더 큰 운동량을 가진다는 것을 무시한 것입니다.

3충격량

힘이 시간 Δt 동안 작용하면 물체의 운동량이 바뀝니다. 곱 F·Δt를 충격량 J라고 하며 단위는 N·s(kg·m/s와 같음)입니다.

J = F · Δt = m · Δv = m · (v′ − v)

같은 운동량 변화를 더 긴 시간에 걸쳐 얻으면 더 작은 힘이 필요합니다. 에어백과 충격 흡수 구역이 생명을 구하는 이유입니다.

튕겨 돌아오는 공은 속도의 부호가 바뀝니다. 들어오는 방향을 양으로 하면, 10 m/s로 벽에 부딪혀 5 m/s로 돌아오는 공의 Δv = −5 − 10 = −15 m/s입니다.

4단계별 방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: m₁·v₁ + m₂·v₂.
충돌 후에 무슨 일이 일어나는지 정하세요. 공통 속도 하나(붙음), 속도 둘(튕김), 여러 조각(폭발).
충돌 전 운동량을 충돌 후 운동량과 같다고 놓고 모르는 값을 구하세요.
에너지를 묻는다면 전과 후의 ½·m·v²을 비교하세요.
답의 부호를 확인하세요. 음의 속도는 음의 방향으로 움직입니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

20 m/s로 움직이는 1000 kg의 자동차가 반대 방향으로 10 m/s로 움직이는 1500 kg의 자동차와 정면 충돌한다. 두 차는 맞물린다. 첫 번째 차의 방향을 양으로 하여 충돌 직후의 공통 속도 v′를 구하시오.

부호

첫 번째 차의 방향을 양으로 하세요. 그러면 v₁ = +20 m/s이고 v₂ = −10 m/s입니다.

충돌 전 운동량

1000 · 20 + 1500 · (−10) = 20000 − 15000 = 5000 kg·m/s

충돌 후 운동량

두 차는 질량 2500 kg의 한 물체로서 속도 v′로 움직입니다.

p′ = 2500 · v′

풀기

2500 · v′ = 5000 ⇒ v′ = 2 m/s

답 검산

v′가 양수이므로 잔해는 첫 번째 차의 방향으로 움직입니다. 이는 맞습니다. 첫 번째 차의 운동량이 더 컸기 때문입니다(20 000 대 15 000 kg·m/s). 운동 에너지는 275 000 J에서 5000 J로 줄며, 차가 붙을 때 예상되는 대로입니다.

답

v′ = +2 m/s, 첫 번째 차가 움직이던 방향입니다.

6흔한 실수

반대 방향 속도의 음의 부호를 잊는 것.
속도를 질량으로 가중하지 않고 평균하는 것.
물체들이 붙을 때 운동 에너지가 보존된다고 가정하는 것. 보존되는 것은 운동량뿐입니다.
튕김에서 속도의 변화 대신 속력의 차를 쓰는 것. 공이 방향을 바꾸므로 속력이 더해집니다.
총알에서 그램과 킬로그램을 섞는 것: 12 g은 0.012 kg입니다.

자가 점검 0.2 kg의 공이 10 m/s로 벽에 부딪혀 5 m/s로 곧장 튕겨 돌아온다. 접촉은 0.01 s 지속된다. 벽이 가하는 평균 힘은 얼마인가?

100 N
200 N
3 N
300 N

답: 300 N. Δv = −5 − 10 = −15 m/s이므로 F = m·|Δv|/Δt = 0.2 · 15/0.01 = 300 N입니다. 10 − 5 = 5 m/s를 쓰면(100 N) 공이 방향을 바꾼다는 것을 잊은 것입니다. 3 N은 시간으로 나누지 않은 N·s 단위의 충격량입니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 완전 비탄성 충돌. 맞물리는 두 자동차, 다른 수레와 부딪히는 수레, 반동하는 소총.
보통: 궤도 위 글라이더의 탄성 충돌, 물체가 붙을 때 잃는 운동 에너지, 폭발, 매달린 블록에 발사된 총알.
어려움: 충격량과 힘. 벽에서 튕기는 공, 교차로에서 충돌하는 자동차(두 방향의 운동량), 또는 미끄러져 멈추는 잔해.

두 번째 물체가 정지해 있는 탄성 충돌에서는 v′₁ = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁이고 v′₂ = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁입니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

7.5 m/s로 움직이는 0.5 kg 수레가 정지해 있는 5 kg 수레와 충돌한다. 충돌 후 첫 번째 수레는 같은 방향으로 0.5 m/s로 계속 움직인다. 두 번째 수레의 속도 v′₂을(를) 구하시오.

m₁ = 0.5 kgv₁ = 7.5 m/sm₂ = 5 kgv′₁ = 0.5 m/s

구하는 값: v′₂ (m/s)

힌트 보기

충돌 전 전체 운동량 = 충돌 후 전체 운동량.
m₁·v₁ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂.
전달된 운동량 = 3.5 kg·m/s.

정답과 단계별 풀이 보기

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

운동량 수지

0.5·7.5 = 0.5·0.5 + 5·v′₂

v′₂ = 3.5/5 = 0.7 m/s

답

v′₂ = 0.7 m/s

예제 2보통

10 m/s로 움직이는 1400 kg 자동차가 정지해 있는 1500 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 1400 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

구하는 값: ΔK (J)

힌트 보기

먼저 운동량 보존으로 공통 속도를 구합니다.
그런 다음 충돌 전후의 ½·m·v²를 비교합니다.
v′ = 4.828 m/s.

정답과 단계별 풀이 보기

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·10/2900 = 4.828 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·1400·10² = 70000 J

K_after = ½·2900·4.828² = 33793 J

잃은 에너지

ΔK = 70000 − 33793 = 36207 J

답

ΔK = 36207 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

예제 3어려움

20 g 총알을 길이 0.7 m의 가벼운 줄에 매달린 5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 25°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 20 gM = 5 kgL = 0.7 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

구하는 값: v (m/s)

힌트 보기

얻은 높이: h = L·(1 − cos θ).
흔들림: V = √(2gh). 충돌: m·v = (m + M)·V.
h = 0.06558 m, V = 1.134 m/s.

정답과 단계별 풀이 보기

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 25°) = 0.06558 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.06558) = 1.134 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 5.02·1.134/0.02 = 284.7 m/s

답

v = 284.7 m/s

질문과 답변

운동량과 충돌: 무엇인가요?

운동량 p의 단위는 kg·m/s입니다. 방향이 있으며 속도와 같습니다. 양의 방향을 정하세요. 반대로 움직이는 물체는 속도와 운동량이 음수입니다.

운동량과 충돌 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

운동량과 충돌에서 자주 하는 실수는?

반대 방향 속도의 음의 부호를 잊는 것.
속도를 질량으로 가중하지 않고 단순 평균하는 것.
비탄성 충돌에서 운동 에너지가 보존된다고 가정하는 것.

운동량과 충돌 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 완전 비탄성
보통: 탄성
어려움: 충격량과 힘

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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