파동, 소리, 광학: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 파동, 소리, 광학: 무엇인가요?

파동은 물질을 운반하지 않고 에너지를 한 곳에서 다른 곳으로 운반합니다. 매질은 진동만 합니다. 줄이나 물 위에서는 운동이 횡파(진행 방향에 수직)이고, 공기 중의 소리는 종파(진행 방향과 나란함)입니다. 공기 중의 소리는 약 343 m/s로, 빛은 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행합니다. 속력은 진동수가 아니라 매질에 의존합니다.

Q: 파동, 소리, 광학에서 자주 하는 실수는?

각을 법선이 아니라 표면에서 재는 것. 세기에 20·log를 쓰거나 데시벨을 그대로 더하는 것. 도플러 공식의 분자에 음원의 속력을 넣는 것. 오목 렌즈와 볼록 거울의 부호 규약을 빠뜨리는 것. 회절 격자의 가장 높은 차수를 내림하지 않고 가장 가까운 정수로 반올림하는 것.

Q: 파동, 소리, 광학 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 굴절 보통: 정상파, 렌즈, 도플러 어려움: 간섭, 회절 격자, 거울, 광섬유 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 파동, 소리, 광학 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 굴절, 정상파, 렌즈, 도플러, 간섭, 회절 격자, 거울, 광섬유.

무료 연습 문제쉬움

진공에서 파장이 650 nm인 빛이 물(n = 1.33) 속으로 들어간다. 물질 속에서의 파장 λ을(를) 구하시오.

n = 1.33λ₀ = 650 nm

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파동, 소리, 광학 무료로 연습하기 지금 파동, 소리, 광학 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움파동의 속력, 음의 세기 수준, 굴절
보통정상파, 렌즈, 도플러
어려움간섭, 회절 격자, 거울, 광섬유

파동, 소리, 광학 문제 푸는 방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

흔한 실수

각을 법선이 아니라 표면에서 재는 것.
세기에 20·log를 쓰거나 데시벨을 그대로 더하는 것.
도플러 공식의 분자에 음원의 속력을 넣는 것.
오목 렌즈와 볼록 거울의 부호 규약을 빠뜨리는 것.
회절 격자의 가장 높은 차수를 내림하지 않고 가장 가까운 정수로 반올림하는 것.

핵심 공식

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

파동, 소리, 광학 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 용수철과 진자

1파동이란 무엇인가

파동은 물질을 운반하지 않고 에너지를 한 곳에서 다른 곳으로 운반합니다. 매질은 진동만 합니다. 줄이나 물 위에서는 운동이 횡파(진행 방향에 수직)이고, 공기 중의 소리는 종파(진행 방향과 나란함)입니다.

파장 λ는 한 주기 전체의 길이이고, 주기 T는 한 주기의 시간이며, 진동수는 f = 1/T입니다. 한 주기 동안 파동은 한 파장을 이동하므로 다음이 성립합니다.

v = fλ 줄: v = √(T/μ), μ = m/L

공기 중의 소리는 약 343 m/s로, 빛은 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행합니다. 속력은 진동수가 아니라 매질에 의존합니다.

자가 점검 686 Hz의 소리가 343 m/s로 진행한다. 파장은 얼마인가?

0.002 m
0.5 m
2 m
235 000 m

답: 0.5 m. λ = v/f = 343/686 = 0.5 m입니다. 반대로 나누면 2 m가 되고, 곱하면 매우 큰 수가 나옵니다.

2음의 세기 수준과 도플러 효과

우리 귀는 세기 I(W/m²)에 로그 눈금으로 반응하므로, 소리의 크기는 데시벨로 나타냅니다.

β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²

세기가 10배가 되면 10 dB가 늘고, 똑같은 음원 두 개는 약 3 dB를 더합니다. 작은 음원은 일률을 구면 위로 퍼뜨리므로 I = P/(4πr²)이고, 거리가 두 배가 되면 수준이 약 6 dB 낮아집니다.

음원과 청취자가 서로 가까워지면 음높이가 올라가고, 멀어지면 내려갑니다(도플러 효과).

f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)

서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 청취자의 속력은 분자에, 음원의 속력은 분모에 들어갑니다.

3정상파

줄의 양 끝에서 반사된 파동이 간섭하여 정상파가 됩니다. 양 끝이 고정된 줄은 양 끝이 마디이고 반파장의 정수 배가 들어맞습니다.

L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …

양 끝이 열린 관도 같은 규칙을 따릅니다. 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배이므로 홀수 배진동만 들어맞습니다: fₙ = n·v/(4L), n = 1, 3, 5, …

자가 점검 한쪽 끝이 닫힌 관의 기본 진동수가 100 Hz이다. 이 관이 낼 수 있는 진동수는 다음 중 무엇인가?

150 Hz
200 Hz
300 Hz
50 Hz

답: 300 Hz. 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다: 100, 300, 500 Hz, … 200 Hz는 n = 2가 필요한데 닫힌 관은 이를 담을 수 없습니다.

4굴절과 렌즈

빛은 유리나 물에서 n = c/v배로 느려집니다(굴절률). 경계에서 광선은 방향을 바꾸며(스넬의 법칙), 각은 법선에서 잽니다.

n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ 임계각: sin θ_c = n₂/n₁

밀한 매질에서 소한 매질로 갈 때 θ_c를 넘으면 빛이 모두 반사됩니다(전반사). 광섬유는 이렇게 빛을 안내합니다.

얇은 렌즈와 곡면 거울은 하나의 식을 따르며, 배율은 m = −dᵢ/d₀입니다.

1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ

부호: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0입니다. dᵢ가 양수이면 실상, 음수이면 허상이며 m < 0은 상이 거꾸로라는 뜻입니다.

5간섭과 회절

거리 d만큼 떨어진 좁은 틈 두 개를 지난 빛은 거리 L에 있는 스크린에서 겹칩니다. 경로차 d·sin θ가 파장의 정수 배인 곳에서 파동이 더해져 밝은 무늬가 생깁니다.

d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d

회절 격자에는 틈이 많습니다. 1 mm당 N개의 선이면 d = 1/N mm입니다. 극대는 날카롭고 멀리 떨어져 있으며, 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수 m입니다. 폭 a의 단일 틈은 a·sin θ = mλ에서 어두운 무늬가 생기므로 중앙 극대의 폭은 2λL/a입니다.

6풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

물체가 f = 10 cm인 볼록 렌즈 앞 30 cm에 서 있다. 상거리와 배율을 구하시오.

렌즈 공식

1/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30

따라서 dᵢ = 15 cm입니다.

상의 성질

dᵢ가 양수이므로 상은 실상입니다. 렌즈 반대쪽에 맺히고 스크린에 받을 수 있습니다.

배율

m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0.5

상은 거꾸로 서 있고 크기는 물체의 절반입니다.

스케치로 검산

축에 평행한 광선은 반대쪽에서 F를 지나도록 굽고, 중심을 지나는 광선은 직진합니다. 두 광선은 렌즈 뒤 15 cm, 축 아래에서 만납니다.

답

dᵢ = 15 cm, m = −0.5: 실상이고, 거꾸로이며, 크기는 절반입니다.

자가 점검 물체가 f = 10 cm인 볼록 렌즈 앞 5 cm에 있다. 어떤 상이 맺히는가?

상이 없다: 광선이 평행하게 나온다
실상이고 거꾸로이며 반대쪽에 생긴다
실상이고 바로 서 있으며 같은 쪽에 생긴다
허상이고 바로 서 있으며 물체와 같은 쪽에 생긴다

답: 허상이고 바로 서 있으며 물체와 같은 쪽에 생긴다. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10이므로 dᵢ = −10 cm입니다. 상거리가 음수이면 허상이며, m = +2는 바로 선 확대된 상을 뜻합니다. 돋보기가 이렇게 작동합니다.

7자주 하는 실수와 시험 문제

각을 법선이 아니라 표면에서 재는 것.
진폭에 10·log를, 세기에 20·log를 쓰는 것: 세기에는 10·log를 씁니다.
닫힌 관에 짝수 배진동을 주는 것.
허상이나 오목 렌즈의 마이너스 부호를 빠뜨리는 것.
간섭 문제에서 nm, mm, cm를 미터로 바꾸는 것을 잊는 것.

쉬움: v = fλ, 줄 위의 파동, 소리의 세기 수준, 스넬의 법칙, 물질 속 빛의 속력.
보통: 줄과 관의 정상파, 임계각, 얇은 렌즈, 도플러 효과, 역제곱 법칙.
어려움: 이중 슬릿, 회절 격자, 단일 슬릿, 거울, 두 렌즈 계, 움직이는 물체의 반향, 광섬유.

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예제 풀이

예제 1쉬움

공기 중의 음파의 진동수는 1 kHz이고 파장은 0.343 m이다. 속력 v을(를) 구하시오.

f = 1 kHzλ = 0.343 m

구하는 값: v (m/s)

힌트 보기

파동은 한 주기 T = 1/f 동안 한 파장을 이동합니다.
v = fλ.
f = 1000 Hz.

정답과 단계별 풀이 보기

파동: 주기적인 파동은 한 주기에 한 파장을 이동하므로 v = fλ이고 T = 1/f입니다. 팽팽한 줄에서는 v = √(T/μ)이며, T는 장력, μ = m/L은 1미터당 질량입니다. 공기 중의 소리는 20 °C에서 약 343 m/s로, 진공 중의 빛은 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행합니다. 소리의 크기는 로그 눈금으로 측정합니다: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, I₀ = 10⁻¹² W/m²이므로 세기가 10배가 되면 10 dB가 늘어납니다. 점음원은 일률 P를 구면 위로 퍼뜨립니다: I = P/(4πr²).

파동의 속력

v = fλ = 1000·0.343 = 343 m/s

답

v = 343 m/s

예제 2보통

양 끝이 열린 관의 3번째 배진동이(가) 686 Hz가 되어야 한다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관의 길이 L을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 686 Hz

구하는 값: L (m)

힌트 보기

f = n·v/(2L).
L에 대해 푸세요.
λ = v/f = 0.5 m.

정답과 단계별 풀이 보기

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

파장

λ = v/f = 343/686 = 0.5 m

길이

L = nλ/2 = 3·0.5/2 = 0.75 m

답

L = 0.75 m

예제 3어려움

광섬유의 코어는 n₁ = 1.52이고 클래딩은 n₂ = 1.49이다. 공기 중의 빛이 섬유의 끝면으로 들어가 전반사로 계속 안내될 수 있는 섬유 축에 대한 최대 각 θ_a을(를) 구하시오.

n₁ = 1.52n₂ = 1.49n₀ = 1.00

구하는 값: θ_a (°)

힌트 보기

코어 안에서 광선은 클래딩에 적어도 임계각으로 닿아야 합니다: sin θc = n₂/n₁.
입사면에서 sin θ_a = n₁·cos θc = √(n₁² − n₂²) = NA입니다.
n₁² − n₂² = 0.0903.

정답과 단계별 풀이 보기

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.49/1.52 = 0.9803 → θc = 78.6°

개구수

NA = √(1.52² − 1.49²) = 0.3005

수광각

θ_a = arcsin(0.3005) = 17.49°

답

θ_a = 17.49°

질문과 답변

파동, 소리, 광학: 무엇인가요?

공기 중의 소리는 약 343 m/s로, 빛은 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행합니다. 속력은 진동수가 아니라 매질에 의존합니다.

파동, 소리, 광학 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

파동, 소리, 광학에서 자주 하는 실수는?