그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 용수철과 진자 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 용수철 진자, 단진자, 속력, 가속도, 에너지.
잘하셨어요. 다음 문제를 풀어 볼까요?다음 문제로 넘어갈까요? 모든 주제에서 매일 새 문제 5개.
먼저 알아 둘 것: 뉴턴 법칙
스프링에 매단 질량을 한쪽으로 당겼다가 놓으세요. 가운데를 지나 반대쪽까지 갔다가 다시 돌아옵니다. 그네를 탄 아이와 기타 줄도 같습니다.
이렇게 반복되는 운동이 진동입니다. 질량이 가만히 있을 가운데 지점이 평형 위치입니다.
답: 0.5 s. T = 시간 / 진동 횟수 = 10/20 = 0.5 s입니다. 2는 Hz 단위의 진동수(20/10), 즉 초당 진동 횟수입니다.
스프링은 늘어난 길이에 비례하는 힘으로 되돌려 당깁니다: F = −k·x. 강성 k의 단위는 N/m입니다. 마이너스 부호는 힘이 항상 평형을 향한다는 뜻입니다.
이런 복원력이 단순 조화 운동(SHM)을 만듭니다. 위치는 시간에 따라 코사인 곡선을 따릅니다:
rad/s 단위의 각진동수 ω(오메가)는 운동이 얼마나 빨리 반복되는지를 정합니다. 한 주기는 2π rad입니다.
진폭은 주기를 바꾸지 않습니다. 더 크게 흔들리면 더 먼 거리를 지나지만 더 빨리 움직이기도 합니다.
스프링에 매단 질량에서는 더 무거운 질량은 더 느리게 진동하고 더 단단한 스프링은 더 빠르게 진동합니다:
길이 L인 단진자가 작게 흔들릴 때는 질량이 전혀 상관없습니다:
스프링이 수직으로 매달려 있으면 무게가 스프링을 새 평형까지 늘입니다: k·x = m·g. 이것으로 측정한 늘어난 길이에서 k를 구하세요.
속력은 평형에서 가장 크고 양 끝에서 0입니다. 가속도는 스프링 힘이 가장 큰 양 끝에서 가장 큽니다:
전체 에너지는 일정합니다: E = ½·k·A². 위치 x에서는 ½·k·x² + ½·m·v²으로 나뉩니다.
답: √2 ≈ 1.41배 길어진다. T = 2π·√(m/k)이므로 T는 m의 제곱근에 따라 커집니다. m을 두 배로 하면 T는 √2배가 됩니다. 두 배가 된다고 하면 제곱근을 잊은 것입니다.
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
k = 200 N/m인 스프링에 매단 0.5 kg 질량을 평형에서 5 cm 당겼다가 놓습니다. 주기 T, 진동수 f, 최대 속력 vmax, 최대 가속도 amax를 구하시오.
질량은 평형을 지날 때 가장 빠릅니다.
가속도는 질량이 방향을 바꾸는 양 끝에서 가장 큽니다.
에너지 확인: ½·k·A² = ½ · 200 · 0.05² = 0.25 J이고 ½·m·vmax² = ½ · 0.5 · 1² = 0.25 J입니다. 스프링 에너지가 모두 평형에서 운동 에너지가 됩니다.
T ≈ 0.314 s, f ≈ 3.18 Hz, vmax = 1 m/s, amax = 20 m/s².
답: 10 m/s². amax = A·ω² = 0.1 · 100 = 10 m/s²입니다. A = 10(cm)을 쓰면 1000이 됩니다. 1 m/s는 A·ω, 즉 최대 속력이지 가속도가 아닙니다.
모든 진자에 쓰는 간단한 확인: 지구에서 1 m 진자의 주기는 약 2 s입니다.
답: 3.14 s. T = 2π·√(2.45/9.81) = 2π · 0.5 = 3.14 s입니다. √(g/L)로 뒤집으면 12.6 s, 제곱근을 잊으면 1.57 s, 2π를 잊으면 0.50 s가 됩니다.
용수철 상수 210 N/m인 용수철에 매달린 3.2 kg 물체가 마찰 없는 면 위에서 진동한다. 주기 T을(를) 구하시오.
구하는 값: T (s)
단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.
k = 120 N/m인 스프링에 매단 1.1 kg 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 7 cm로 진동한다. 평형점에서 6 cm 떨어져 있을 때의 속력 v을(를) 구하시오.
구하는 값: v (m/s)
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
k = 380 N/m인 용수철에 매단 1.7 kg 물체를 평형 위치에서 11 cm 당겼다가 놓는다. 최대 가속도 amax을(를) 구하시오.
구하는 값: amax (m/s²)
단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.
스프링에 매단 질량을 한쪽으로 당겼다가 놓으세요. 가운데를 지나 반대쪽까지 갔다가 다시 돌아옵니다. 그네를 탄 아이와 기타 줄도 같습니다.
이렇게 반복되는 운동이 진동입니다. 질량이 가만히 있을 가운데 지점이 평형 위치입니다.
단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.