기계 진동: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1진동이란

스프링에 질량을 매달고 조금 당겼다가 놓으세요. 정지 위치를 중심으로 위아래로 튑니다. 이렇게 반복되는 운동이 진동입니다.

이런 계는 모두 자기만의 선호하는 리듬, 고유 진동수를 가집니다. 이것은 스프링이 얼마나 단단한지와 질량이 얼마나 무거운지에만 달려 있고, 얼마나 당겼는지에는 달려 있지 않습니다.

기계가 고유 진동수로 흔들리면 격렬하게 진동할 수 있기 때문에 공학자들이 이것을 중요하게 봅니다. 이를 공진이라 합니다. 엔진 마운트, 세탁기, 다리는 모두 이를 염두에 두고 설계됩니다.

더 단단한 스프링은 진동을 더 빠르게 합니다. 더 무거운 질량은 더 느리게 합니다.

2고유 진동수와 스프링의 조합

스프링 상수 k(N/m)인 스프링에 매단 질량 m(kg)의 rad/s 단위 고유 각진동수는 다음과 같습니다:

한 주기는 2π 라디안입니다. 그래서 헤르츠(초당 주기 수) 단위의 고유 진동수와 (주기당 초) 주기는 다음과 같습니다:

때로는 무게에 스프링이 처지는 정도, 즉 정적 처짐 δ_st = m·g/k만 알려져 있습니다. 그러면 ω_n = √(g / δ_st)이며 δ_st는 미터 단위입니다.

스프링이 여럿이면 먼저 하나의 등가 스프링으로 바꾸세요:

• 나란히(병렬) 있으면 스프링이 하중을 나누어 받고 강성이 더해집니다.
• 끝과 끝으로(직렬) 이으면 각 스프링이 전체 하중을 받고, 등가 스프링은 어느 하나보다 유연합니다.

3감쇠

실제 진동은 잦아듭니다. 댐퍼(자동차의 완충기처럼 기름 속을 움직이는 피스톤)가 에너지를 빼앗습니다. 그 세기는 N·s/m 단위의 감쇠 계수 c입니다.

임계 감쇠는 질량이 전혀 튀지 않게 막는 딱 그만큼의 감쇠입니다:

감쇠비는 실제 감쇠를 그 임계값과 비교합니다:

• ζ < 1: 부족 감쇠. 질량은 여전히 진동하지만 흔들림이 줄어듭니다.
• ζ = 1: 임계 감쇠. 넘치지 않고 가능한 한 빨리 정지 상태로 돌아옵니다.
• ζ > 1: 과감쇠. 진동하지 않고 천천히 기어서 돌아옵니다.

부족 감쇠계는 감쇠가 없는 계보다 조금 느리게, 감쇠 고유 진동수로 진동합니다:

4단계별 방법

1. 모두 SI 단위로 바꾸세요: kN/m은 N/m로(× 1000), mm는 m로, 그램은 kg로.
2. 스프링이 여럿이면 하나의 k로 합치세요: 병렬이면 더하고, 직렬이면 역수를 더합니다.
3. rad/s 단위의 ω_n = √(k/m)을 구하세요.
4. 헤르츠를 물으면 2π로 나누세요: f_n = ω_n/(2π). 주기는 T = 1/f_n입니다.
5. 감쇠가 있으면 c_c = 2·√(k·m)을 구하고, ζ = c/c_c, 물으면 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)을 구하세요.

ω(rad/s)와 f(Hz)를 구분하세요. 둘은 2π ≈ 6.28배 차이가 나며, 이 둘을 혼동하는 것이 점수를 잃는 가장 흔한 방법입니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

6흔한 실수

• f_n(Hz)을 물었는데 ω_n을 rad/s로 주거나 그 반대로 하기.
• 강성을 kN/m로 두기. 공식은 N/m가 필요합니다.
• 직렬 스프링을 병렬인 것처럼 더하기.
• c_c = 2·√(k·m)에서 2를 잊기.
• ω_n = √(k/m)에서 질량 m 대신 무게 m·g를 쓰기.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 고유 진동수. 스프링에 매단 질량: rad/s의 ω_n 또는 Hz의 f_n을 구합니다. 일부 문제는 마운트 위 기계의 정적 처짐만 줍니다.
• 보통: 감쇠비. m, k, c로 ζ를 구하거나 주어진 ζ로 감쇠 진동수 f_d를 구합니다. 자유 진동 시험에서 얻은 두 봉우리를 주는 문제도 있습니다.
• 어려움: 직렬과 병렬 스프링, 때로는 둘 다(막대를 받치는 나란한 스프링 둘과 그 아래의 세 번째 스프링). 먼저 k_eq를 구한 다음 f_n을 구합니다.

n주기 떨어진 두 봉우리 x₀와 x_n에는 대수 감쇠율을 쓰세요: