기어와 기어열: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 기어와 기어열 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

Q: 기어와 기어열 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 속도비 보통: 토크와 동력 어려움: 복합 기어열 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 기어와 기어열 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 속도비, 토크와 동력, 복합 기어열.

무료 연습 문제쉬움

잇수 30개인 구동 기어가 1500 rpm으로 돌며 잇수 48개인 기어와 맞물려 있다. 피동 기어의 회전 속도 n₂을(를) 구하시오.

N₁ = 30N₂ = 48n₁ = 1500 rpm

다음 문제 →

기어와 기어열 무료로 연습하기 지금 기어와 기어열 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움속도비
보통토크와 동력
어려움복합 기어열

핵심 공식

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

기어와 기어열 처음부터 배우기

1기어가 하는 일

기어는 한 축에서 다른 축으로 회전을 전달합니다. 이가 서로 맞물려 있으므로 미끄러지지 않습니다.

기어박스는 두 가지 일을 동시에 합니다. 회전 속도를 바꾸고, 축을 돌리는 힘인 토크를 바꿉니다. 느려지면 강해집니다.

전동기는 빠르게 돌지만 토크는 작습니다. 기어 쌍이 속도를 줄여서 무거운 컨베이어나 윈치를 돌릴 수 있게 합니다. 낮은 기어에 놓은 자전거도 같은 방식으로 작동합니다.

전동기가 구동하는 기어는 구동 기어(흔히 피니언이라 불리는 작은 기어)입니다. 그것이 돌리는 기어는 피동 기어입니다.

맞물린 두 기어는 서로 반대 방향으로 돕니다.

자가 점검 작은 기어가 큰 기어를 구동합니다. 작은 기어에 비해 큰 기어는…

같은 속도로 같은 방향으로 돈다
더 느리고 토크가 더 작다
더 느리고 토크가 더 크다
더 빠르고 토크가 더 크다

답: 더 느리고 토크가 더 크다. 큰 기어가 한 바퀴 돌려면 작은 기어가 더 많이 돌아야 하므로 더 느립니다. 동력은 거의 같으므로 느린 축이 더 큰 토크를 전달합니다.

2속도비

두 기어가 닿는 점에서 이가 같은 속도로 지나갑니다. 20개의 이를 가진 피니언이 한 바퀴 돌면 큰 기어의 이 20개를 밀어 보냅니다. 그러면 이가 60개인 기어는 3분의 1바퀴만 돕니다.

따라서 속도 n(rpm)과 이의 수 N은 다음 관계가 있습니다:

n₁ · N₁ = n₂ · N₂

기어비는 i = N₂ / N₁ = n₁ / n₂입니다. 기어비 3은 출력이 세 배 느리게 돈다는 뜻입니다.

복합 기어 열에서는 두 기어가 같은 중간 축에 있으므로 같은 속도로 돕니다. 전체 기어비는 각 단의 기어비의 곱입니다:

i_total = (N_B / N_A) · (N_D / N_C)

다른 두 기어(각각 자기 축에 있는) 사이의 아이들러 기어는 회전 방향만 바꿉니다. 마지막 기어의 속도는 첫 기어와 마지막 기어만으로 정해집니다.

자가 점검 900 rpm으로 도는 20개 이의 기어가 60개 이의 기어를 구동합니다. 60개 이의 기어는 얼마나 빠르게 돕니까?

1.33 rpm
2700 rpm
300 rpm
900 rpm

답: 300 rpm. n₂ = n₁ · N₁/N₂ = 900 · 20/60 = 300 rpm입니다. 60/20을 곱하면 2700 rpm이 되는데, 그러면 큰 기어가 더 빠르게 돌게 되어 거꾸로입니다.

3토크와 동력

동력은 토크 곱하기 각속도입니다. 각속도는 rad/s여야 하므로 먼저 rpm에서 바꿉니다:

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

기어 쌍은 동력의 거의 전부를 전달합니다. 마찰로 몇 퍼센트만 손실되며, 효율 η(보통 0.95에서 0.98)로 나타냅니다:

P₂ = η · P₁

동력은 거의 그대로인데 속도는 기어비만큼 내려가므로, 토크는 그 비만큼 올라갑니다:

T₂ = T₁ · (N₂ / N₁) · η

자가 점검 3 kW 전동기가 955 rpm으로 돕니다. 전달하는 토크는 얼마입니까?

0.03 N·m
188 N·m
3.14 N·m
30 N·m

답: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s이므로 T = 3000/100 = 30 N·m입니다. rpm으로 바로 나누면 3.14, 동력을 kW로 두면 0.03, 2π를 잊으면 188이 됩니다.

4단계별 방법

기어를 스케치하고 각각의 이의 수를 적으세요. 입력축과 출력축을 표시하세요.
각 단의 기어비, 즉 피동 기어 이 수 / 구동 기어 이 수를 구하고, 복합 열이면 각 단을 곱하세요.
출력 속도: n_out = n_in / i_total.
전동기의 입력 토크: ω = 2π·n/60으로 rpm을 rad/s로 바꾼 다음 T = P/ω.
출력 토크: 기어비와 모든 기어 맞물림의 효율을 곱하세요.

답의 방향을 확인하세요: 감속은 출력을 더 느리게 하고 토크를 더 크게 합니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

1200 rpm으로 도는 4 kW 전동기가 이 20개인 피니언을 구동하고, 피니언은 이 60개인 기어와 맞물립니다. 기어 쌍의 효율은 96%입니다. 기어의 속도와 그 축의 출력 토크를 구하시오.

기어 쌍을 그립니다

피니언이 구동 기어입니다. 기어비는 i = 60/20 = 3입니다.

출력 회전 속도

n₂ = n₁ · N₁ / N₂ = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm

입력 토크

먼저 전동기 속도를 rad/s로 바꿉니다:

ω₁ = 2π · 1200 / 60 = 125.7 rad/s

T₁ = P / ω₁ = 4000 / 125.7 = 31.83 N·m

출력 토크

T₂ = T₁ · (N₂ / N₁) · η = 31.83 · 3 · 0.96 = 91.7 N·m

답 검산

출력 동력: P₂ = 0.96 · 4000 = 3840 W이고 ω₂ = 2π · 400/60 = 41.89 rad/s입니다.

T₂ = 3840 / 41.89 = 91.7 N·m

동력으로 구한 같은 토크입니다. 답이 맞습니다.

답

기어는 n₂ = 400 rpm으로 돌고 출력 토크는 T₂ ≈ 91.7 N·m입니다.

6흔한 실수

이의 수의 비를 뒤집기. 더 큰 피동 기어는 더 느리게 돌아야 합니다.
P = T·ω에 rpm을 쓰기. ω = 2π·n/60으로 rad/s로 바꾸세요.
토크를 기어비로 곱하지 않고 나누기. 감속은 토크를 늘립니다.
효율로 나누기. 마찰 때문에 출력 토크는 작아지므로 η를 곱하세요.
아이들러 기어를 기어비에 넣거나, 같은 축에 있는 두 기어의 이 수를 곱하기.

자가 점검 이가 20개인 피니언이 10 N·m를 전달하며 이가 60개인 기어를 구동합니다. 효율은 95%입니다. 출력 토크는 얼마입니까?

28.5 N·m
3.17 N·m
30 N·m
31.6 N·m

답: 28.5 N·m. T₂ = 10 · (60/20) · 0.95 = 28.5 N·m입니다. 기어비로 나누면 3.17, 효율을 무시하면 30, η로 나누면 31.6이 됩니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 속도비. 피동 기어의 속도, 또는 주어진 속도에 필요한 이의 수를 구합니다. 변형 문제에는 아이들러 기어와 모듈 m으로 구하는 기어 크기가 있습니다: 피치원 지름 d = m·N, 중심 거리 a = m·(N₁ + N₂)/2.
보통: 토크와 동력. 동력과 속도가 주어진 전동기가 기어 쌍을 구동합니다: 입력 또는 출력 토크를 구합니다. 다른 문제는 이에 작용하는 접선 방향 힘 F_t = 2T/d를 묻거나 웜 구동(기어비 = 웜휠 이 수 / 웜 줄 수)을 포함합니다.
어려움: 복합 기어 열. 출력 속도, 마지막 기어에 필요한 이의 수, 또는 모든 맞물림의 효율을 고려한 출력 토크를 구합니다. 일부 문제는 유성 기어 세트를 사용합니다.

A (20) → B (60), 그다음 C (15) → D (45)와 같은 복합 열에서는: i = 3 · 3 = 9이므로 입력 900 rpm은 출력에서 100 rpm이 됩니다.

앱에서 단계별로 배우기 앱에서 단계별로 배우기

예제 풀이

예제 1쉬움

1500 rpm으로 도는 모터가 160 mm 풀리를 구동합니다. 벨트가 이것을 400 mm 풀리에 연결합니다. 미끄러짐이 없다고 가정하고 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mm

구하는 값: n₂ (rpm)

힌트 보기

벨트는 하나의 속도로 움직이므로 두 림의 속도가 같습니다.
π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
n₂ = 1500·160/400.

정답과 단계별 풀이 보기

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

같은 림 속도

n₁·d₁ = n₂·d₂

종동 속도

n₂ = 1500·160/400 = 600 rpm

답

n₂ = 600 rpm

예제 2보통

1450 rpm으로 도는 7.5 kW 모터가 잇수 16개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 80개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 7.5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 80η = 98%

구하는 값: T₂ (N·m)

힌트 보기

동력에서 모터 토크: T = P/ω, ω = 2π·n/60 (rad/s).
ω₁ = 151.8 rad/s.
기어는 토크에 N₂/N₁을 곱합니다(그리고 마찰로 조금 잃습니다).

정답과 단계별 풀이 보기

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151.8 = 49.39 N·m

출력 토크

T₂ = 49.39·80/16·0.98 = 242 N·m

답

T₂ = 242 N·m

예제 3어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 32개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 60개)를 구동한다. 기어 C(잇수 50개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 320 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 N_D은(는) 몇 개여야 하는가?

n_in = 960 rpmA = 32B = 60C = 50n_out = 320 rpm

구하는 값: N_D

힌트 보기

먼저 중간축의 속도를 구합니다: n_B = n_in·A/B.
그런 다음 C가 D를 구동합니다: N_D = C·n_B/n_out.
n_B = 512 rpm.

정답과 단계별 풀이 보기

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.