포물선 운동: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1포물선 운동이란 무엇인가

투사체는 중력만 작용하는 채 공중을 날아가는 물체입니다. 찬 공, 다리에서 던진 돌, 호스에서 나오는 물이 모두 투사체입니다.

이 주제에서는 공기 저항을 무시합니다. 그러면 경로는 항상 포물선이라는 매끄러운 곡선입니다.

핵심 아이디어: 운동이 두 개의 독립된 부분으로 나뉩니다. 옆으로는 아무것도 물체를 밀거나 늦추지 않습니다. 위아래로는 중력이 g = 9.81 m/s²로 당깁니다.

그래서 수평 속력은 내내 같고 수직 속력은 매초 변합니다. 두 부분이 공유하는 것은 시간 하나뿐입니다.

2운동 둘, 시계 하나

원점을 발사점에 두고 x는 수평, y는 수직(위가 양)으로 하세요. 시간 t 뒤에는 다음과 같습니다.

여기서 h는 지면 위 발사 높이, v_x는 수평 속도, v_y는 처음 수직 속도입니다.

공은 y = 0일 때 땅에 닿습니다. 수직 방정식을 풀어 그 시간을 구한 다음 같은 시간을 수평 방정식에 넣으세요.

수평 발사에서는 v_y = 0입니다. 수직 방정식은 h = ½ · g · t²이 되고 낙하 시간은 다음과 같습니다.

이 낙하 시간은 수평 속력과 전혀 무관합니다.

3각도를 두고 발사하기

공을 속력 v₀와 수평 위 각도 θ로 발사하면, 먼저 속도를 두 부분인 성분으로 나누세요.

평평한 지면에서 공은 수직 속도가 0이 될 때까지 올라간 뒤 다시 떨어집니다. 올라가는 시간과 내려가는 시간은 같습니다. 여기서 유용한 결과 세 가지가 나옵니다.

R에 대한 수평 도달 거리 공식은 공이 발사한 높이와 같은 높이에 떨어질 때만 성립합니다.

4단계별 방법

1. 경로를 그리세요. 발사 높이 h, 발사 속력 v₀, 각도 θ, 구할 것을 표시하세요.
2. 발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀ · cos θ, v_y = v₀ · sin θ. 수평 발사에서는 v_y = 0입니다.
3. 수직 운동으로 비행 시간을 구하세요: y = h + v_y·t − ½·g·t²에서 y = 0으로 놓고 t를 구하세요.
4. 그 시간을 수평 운동에 쓰세요: x = v_x · t.
5. 임의의 순간의 속력은 성분을 합쳐 구하세요: v = √(v_x² + (v_y − g·t)²).

도 단위의 각도로 sin이나 cos을 취하기 전에 계산기가 도 모드인지 확인하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

6흔한 실수

• 성분이 맞는 곳에 전체 속력 v₀를 쓰는 것. 비행 시간은 v_y만으로, 도달 거리는 v_x만으로 구합니다.
• sin과 cos을 혼동하는 것. θ를 수평에서 잴 때 수평 성분은 cos θ와 짝입니다.
• 각도가 도 단위인데 계산기를 라디안으로 두는 것.
• 공이 출발할 때보다 낮거나 높은 곳에 떨어질 때 R = v₀² · sin 2θ / g를 쓰는 것. 그때는 수직 방정식을 풀어야 합니다.
• 수평 운동에 가속도를 주는 것. 옆으로는 속력이 일정합니다.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 절벽이나 벽에서의 수평 발사. 비행 시간, 낙하 거리, 주어진 낙하 거리에서 발사 속력, 또는 충돌 속력을 구합니다. 일부 쉬운 문제는 지면에서의 발사에서 가장 높은 점까지의 시간을 묻습니다.
• 보통: 평평한 지면에서 각도를 두고 발사. 비행 시간, 최대 높이, 도달 거리를 구합니다. 변형으로 어떤 도달 거리를 주는 발사 속력이나 각도, 공이 벽을 지나는 높이를 묻기도 합니다.
• 어려움: 절벽 꼭대기에서 각도를 두고 발사하거나 지붕에 떨어짐. y = 0(또는 지붕의 높이)으로 놓으면 t에 대한 이차방정식이 되고, 양의 근을 취합니다.

어려운 경우에 수평 아래로의 착지 각은 최종 성분에서 나옵니다: tan α = |v_y − g·t| / v_x.