축의 비틀림

단계별 풀이가 있는 연습 문제.

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축의 비틀림: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 축의 비틀림 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 전단 응력, 비틀림각, 동력 전달.

무료 연습 문제쉬움
T = 250 N·md = 20 mm

속이 찬 원형 축이 토크 T를 받는다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

T = 250 N·md = 20 mm
MPa
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축의 비틀림 무료로 연습하기지금 축의 비틀림 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움전단 응력
  2. 보통비틀림각
  3. 어려움동력 전달

배우기

축의 비틀림 문제 푸는 방법

축의 비틀림 문제 푸는 방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

흔한 실수

  • τ = T·r/J에 반지름 대신 지름을 쓰는 것.
  • rpm을 rad/s로 바꾸는 것을 잊는 것.
  • 도(°)로 묻는데 비틀림각을 라디안으로 답하는 것.
핵심 공식

핵심 공식

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60
축의 비틀림 처음부터 배우기

축의 비틀림 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 축 응력과 변형률

1비틀림이란

축은 회전력을 전달하는 회전하는 막대입니다: 자동차의 구동축, 드릴의 스핀들, 펌프의 차축.

회전력이 토크 T입니다. 힘 곱하기 그것이 작용하는 팔의 길이이며 단위는 N·m입니다. 0.5 m 렌치 끝을 200 N으로 밀면 T = 200 · 0.5 = 100 N·m입니다.

토크를 받는 축은 비틀림 상태에 있습니다. 조금 비틀리고, 재료는 전단 응력 τ(타우)를 받습니다: 이웃한 축의 단면 조각들이 서로 미끄러지려 합니다.

Td

설계에서는 두 질문이 중요합니다: 전단 응력이 충분히 낮은가(강도), 비틀림이 충분히 작은가(강성)?

자가 점검 0.5 m 렌치 끝을 직각으로 200 N으로 밉니다. 가하는 토크는 얼마입니까?
  1. 100 N·m
  2. 200 N·m
  3. 400 N·m
  4. 50 N·m

답: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0.5 = 100 N·m입니다. 0.5로 나누면 400, 팔의 길이를 잊으면 200이 됩니다.

2전단 응력과 극관성 모멘트

축의 중심은 거의 변형되지 않습니다. 중심에서 멀수록 더 많이 전단됩니다. 그래서 전단 응력은 반지름에 비례해 커지며, 중심에서 0이고 표면에서 최대입니다.

τmax​r0
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J

여기서 ρ(로)는 중심으로부터의 거리, r = d/2는 바깥 반지름, J는 단면 극이차 모멘트입니다. J는 단면이 비틀림에 얼마나 잘 저항하는지를 측정합니다:

지름 d인 중실축과 바깥지름 do, 안지름 di인 중공축에 대해:

J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32

중실축에서는 두 공식이 하나의 짧은 식으로 합쳐집니다:

τmax = 16 · T / (π · d³)

N·mm와 mm로 계산하면 응력이 N/mm² = MPa로 나옵니다. 1 N·m = 1000 N·mm.

자가 점검 중실축에서 τmax = 60 MPa입니다. 중심과 표면의 한가운데에서 전단 응력은 얼마입니까?
  1. 0 MPa
  2. 15 MPa
  3. 30 MPa
  4. 60 MPa

답: 30 MPa. 응력은 ρ에 비례해 커지므로 ρ = r/2에서는 τmax의 절반인 30 MPa입니다. 어디서나 같지는 않고, 0인 곳은 중심뿐입니다.

3비틀림각과 동력

축의 자유단은 비틀림각 φ(파이)만큼 회전합니다. 더 길거나 더 가는 축은 더 많이 비틀리고, 더 단단한 재료는 덜 비틀립니다:

φ = T · L / (G · J)

G는 재료의 전단 탄성 계수입니다: 강철은 약 80 GPa, 알루미늄은 26 GPa입니다. 이 공식은 φ를 라디안으로 줍니다. 도로 바꾸려면 180/π를 곱하세요.

축은 흔히 전동기의 동력을 전달합니다. 동력은 토크 곱하기 각속도이며, rpm으로 된 속도는 먼저 rad/s로 바꾸어야 합니다:

P = T · ω ω = 2π · N / 60

그래서 kW와 rpm이 주어진 문제는 T = P/ω로 시작하며 P는 와트 단위입니다.

자가 점검 축이 ω = 100 rad/s로 돌며 5 kW를 전달합니다. 어느 토크를 받습니까?
  1. 0.05 N·m
  2. 20 N·m
  3. 50 N·m
  4. 500 000 N·m

답: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m입니다. 0.05는 5000 W 대신 5를 쓴 값이고, 20은 ω를 P로 나눈 값입니다.

4단계별 방법

  1. 동력과 속도가 주어지면 먼저 토크를 구하세요: ω = 2πN/60, 이어서 T = P/ω.
  2. N과 mm로 바꾸세요: T는 N·mm(N·m × 1000), L은 mm, G는 MPa(GPa × 1000).
  3. J를 구하세요: 중실축은 π·d⁴/32, 중공축은 π(do⁴ − di⁴)/32.
  4. 전단 응력: τmax = T·r/J이며 r은 바깥 반지름입니다.
  5. 비틀림: φ = TL/(GJ)는 라디안이고, 도를 물으면 × 180/π를 하세요.

설계 문제(d를 구함)에서는 τmax = 16T/(πd³)을 허용 응력과 같다고 놓고 d에 대해 푸세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

지름 40 mm, 길이 1 m인 중실 강철 축(G = 80 GPa)의 한쪽 끝이 고정되어 있습니다. 자유단에 500 N·m의 토크가 작용합니다. τmax와 비틀림각 φ를 도 단위로 구하시오.

1

축을 보고 단위를 바꾸세요

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mφ

T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.

2

극관성 모멘트

J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3

최대 전단 응력

τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39.8 MPa

짧은 공식도 같은 값을 줍니다: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39.8 MPa.

4

라디안 단위의 비틀림각

φ = T·L / (G·J) = 500 000 · 1000 / (80 000 · 251 327) = 0.0249 rad
5

도로 바꾸기

φ = 0.0249 · 180 / π = 1.42°

강철 축 1 m에 1.5도가 조금 안 되는 비틀림은 알맞은 크기입니다.

답

τmax = 39.8 MPa, φ = 1.42°.

6흔한 실수

  • τ = T·r/J에서 반지름 대신 지름을 쓰기. 응력이 두 배가 됩니다.
  • N·m을 N·mm로 바꾸는 것을 잊기. 응력이 1000배 너무 작아집니다.
  • P = T·ω에 rpm을 그대로 쓰기. 먼저 ω = 2πN/60으로 rad/s로 바꾸세요.
  • 도를 물었는데 φ를 라디안으로 주거나 그 반대로 하기.
  • 중공축에서 지름을 먼저 빼고 4제곱하기. do⁴ − di⁴를 쓰세요.
자가 점검 바깥지름 40 mm인 중공축의 J = 200 000 mm⁴입니다. T = 1000 N·m를 전달합니다. τmax는 얼마입니까?
  1. 0.1 MPa
  2. 100 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

답: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa입니다. r = 40 mm(지름)를 쓰면 200 MPa, T를 N·m로 두면 0.1 MPa, r을 잊으면 5가 됩니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 전단 응력. 지름 d인 중실축이 T를 전달합니다; τmax를 구합니다. 변형 문제는 주어진 반지름에서의 응력이나 허용 토크를 묻습니다.
  • 보통: 비틀림각. L과 G도 주어집니다; φ를 도 단위로 구합니다. 변형 문제는 중공축이나 단이 있는 축을 씁니다.
  • 어려움: 동력 전달. kW 단위의 동력과 rpm 단위의 속도가 주어집니다; 토크를 구하고, 이어서 중공축의 τmax나 허용 응력에 대한 가장 작은 지름을 구합니다.

무엇보다 먼저 문제 옆에 토크를 N·mm로 적어 두세요. 이후 모든 단계가 쓰는 수입니다.

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예제 풀이

예제 풀이

예제 1쉬움
d = 40 mmT = 750 N·m

지름 40 mm인 속이 찬 축이 토크 750 N·m을(를) 받는다. 중심에서 반지름 15 mm인 곳의 전단 응력 τρ을(를) 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm

구하는 값: τρ (MPa)

힌트 보기
  1. 원형 축의 전단 응력은 중심으로부터의 거리에 비례합니다: τ = T·ρ/J.
  2. 모두 N과 mm로 계산합니다: T는 N·mm, L은 mm, G는 MPa (GPa × 1000), J는 mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
정답과 단계별 풀이 보기

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ρ에서의 전단 응력

비교하면, 표면에서는 τmax = 59.68 MPa입니다.

T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44.76 MPa

답

τρ = 44.76 MPa
예제 2보통
T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

구하는 값: φ (°)

힌트 보기
  1. 라디안을 주는 φ = TL/(GJ)를 사용합니다.
  2. 모두 N과 mm로 계산합니다: T는 N·mm, L은 mm, G는 MPa (GPa × 1000), J는 mm⁴.
  3. J = 251327 mm⁴.
정답과 단계별 풀이 보기

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0.1148 rad
φ = 0.1148·180/π = 6.576°

답

φ = 6.576°
예제 3어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1000 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa

구하는 값: d (mm)

힌트 보기
  1. 동력에서 토크: T = P/ω, ω = 2πN/60 (rad/s).
  2. τmax = 16T/(πd³)를 허용 응력과 같게 놓고 d에 대해 풉니다.
  3. T = 143.2 N·m.
정답과 단계별 풀이 보기

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21.35 mm

답

d = 21.35 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

질문과 답변

질문과 답변

축의 비틀림: 무엇인가요?

회전력이 토크 T입니다. 힘 곱하기 그것이 작용하는 팔의 길이이며 단위는 N·m입니다. 0.5 m 렌치 끝을 200 N으로 밀면 T = 200 · 0.5 = 100 N·m입니다.

토크를 받는 축은 비틀림 상태에 있습니다. 조금 비틀리고, 재료는 전단 응력 τ(타우)를 받습니다: 이웃한 축의 단면 조각들이 서로 미끄러지려 합니다.

축의 비틀림 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
축의 비틀림에서 자주 하는 실수는?
  • τ = T·r/J에 반지름 대신 지름을 쓰는 것.
  • rpm을 rad/s로 바꾸는 것을 잊는 것.
  • 도(°)로 묻는데 비틀림각을 라디안으로 답하는 것.
축의 비틀림 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 전단 응력
  • 보통: 비틀림각
  • 어려움: 동력 전달

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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