가스 동력 사이클: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 가스 동력 사이클 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

오토 사이클(불꽃 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정적 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂일 때 T₂ = T₁·rk−1, η = 1 − 1/rk−1입니다. 공급 열량: qin = cv·(T₃ − T₂), 순일 w = η·qin.

Q: 가스 동력 사이클 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 오토 사이클 보통: 디젤 사이클 어려움: 브레이턴 사이클 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 가스 동력 사이클 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 오토 사이클, 디젤 사이클, 브레이턴 사이클.

무료 연습 문제쉬움

이상적인 오토 사이클의 압축비는 10.5이다. 압축 시작 시 공기는 295 K이고, 사이클의 최고 온도는 1800 K이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 순일 출력 w을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r = 10.5T₁ = 295 KT₃ = 1800 Kk = 1.4c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

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가스 동력 사이클 무료로 연습하기 지금 가스 동력 사이클 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움오토 사이클
보통디젤 사이클
어려움브레이턴 사이클

핵심 공식

등엔트로피 과정, 부피비: T₂/T₁ = r^k−1
등엔트로피 과정, 압력비: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
오토 사이클 효율: η = 1 − 1/r^k−1
디젤 사이클 효율: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
브레이턴 사이클 효율: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
공급 열량: 오토: c_v(T₃ − T₂) 디젤, 브레이턴: c_p(T₃ − T₂)
브레이턴 사이클 순일: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
등엔트로피 효율: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
냉공기 표준: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

가스 동력 사이클 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 열기관과 냉동기, 이상 기체 법칙

1가스 동력 사이클이란

자동차 엔진과 가스터빈은 공기를 작동 기체로 쓰는 열기관입니다. 공기는 압축되고, 연료를 태워 가열되고, 피스톤이나 터빈을 밀며 팽창한 뒤, 배출됩니다.

실제 엔진은 복잡합니다. 계산하기 위해 공학자들은 공기 표준 모델을 씁니다: 일정한 양의 공기가 네 개의 간단한 단계로 이루어진 닫힌 사이클을 돌며, 연료의 연소는 열의 공급으로 대체됩니다.

냉공기 표준 가정에서는 공기를 성질이 일정한 이상 기체로 봅니다: k = c_p/c_v = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K).

세 가지 사이클을 만나게 됩니다:

오토: 가솔린 엔진. 불꽃이 연료를 거의 순간적으로 태우는 것처럼 열이 정적 상태에서 공급됩니다.
디젤: 디젤 엔진. 피스톤이 움직이는 동안 열이 정압 상태에서 공급됩니다.
브레이턴: 가스터빈. 공기가 압축기, 연소실, 터빈을 차례로 지나 흐릅니다.

피스톤 엔진에서 가장 중요한 수는 압축비 r = v₁/v₂입니다: 가장 큰 부피를 가장 작은 부피로 나눈 값입니다.

자가 점검 실린더는 피스톤이 맨 아래에 있을 때 0.5 L이고 맨 위에 있을 때 0.05 L입니다. 압축비는 얼마입니까?

0.1
0.45
10
9

답: 10. r = 가장 큰 부피 / 가장 작은 부피 = 0.5/0.05 = 10입니다. 반대로 나누면 0.1이고, 부피의 차(0.45 L)는 비가 아닙니다.

2등엔트로피 단계와 오토 사이클

이상 사이클에서는 압축과 팽창이 마찰이나 열 교환 없이 일어납니다. 이런 단계를 등엔트로피라고 합니다. 이상 기체에서는 온도가 부피비를 따릅니다:

T₂ / T₁ = r^k−1 = r^0.4

공기를 부피의 8분의 1로 압축하면 300 K에서 약 689 K로 뜨거워집니다. 그래서 디젤 엔진에는 불꽃이 필요 없습니다.

오토 사이클은 압력–부피 선도로 나타내는 네 단계로 이루어집니다:

1 → 2: 등엔트로피 압축. T는 r^0.4배로 오릅니다.
2 → 3: 정적 가열: q_in = c_v·(T₃ − T₂).
3 → 4: 등엔트로피 팽창. T는 같은 r^0.4배로 떨어집니다.
4 → 1: 정적 방열: q_out = c_v·(T₄ − T₁).

kg당 정미 일은 w = q_in − q_out이며, 효율은 압축비에만 의존합니다:

η_Otto = 1 − 1 / r^k−1

자가 점검 압축비가 10인 이상 오토 사이클의 열효율은 얼마입니까? (k = 1.4)

39.8%
60.2%
90%
96.0%

답: 60.2%. 10^0.4 = 2.512이므로 η = 1 − 1/2.512 = 60.2%입니다. 지수를 빠뜨리면 1 − 1/10 = 90%가 되고, 39.8%는 1/r^0.4, 즉 잃는 부분입니다.

3디젤 사이클과 브레이턴 사이클

디젤 사이클은 열을 정압에서 공급합니다. 가열 중 부피는 단절비 r_c = v₃/v₂만큼 커집니다. 정압에서는 온도도 같은 배율로 커집니다:

T₃ = r_c · T₂ q_in = c_p · (T₃ − T₂)

η_Diesel = 1 − (1 / r^k−1) · (r_c^k − 1) / (k · (r_c − 1))

가스터빈의 브레이턴 사이클은 부피비 대신 압력비 r_p = p₂/p₁로 나타냅니다. 그러면 등엔트로피 규칙의 지수가 달라집니다:

T₂ / T₁ = r_p^(k−1)/k = r_p^0.2857

η_Brayton = 1 − 1 / r_p^(k−1)/k

압축기는 일을 소비하고 터빈은 일을 냅니다. kg당 정미 일은 남는 값입니다:

w_net = c_p · [(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]

자가 점검 압력비가 8인 이상 브레이턴 사이클의 효율은 얼마입니까? (k = 1.4)

44.8%
55.2%
56.5%
87.5%

답: 44.8%. 8^0.2857 = 1.811이므로 η = 1 − 1/1.811 = 44.8%입니다. 부피 지수 0.4(오토 공식)를 쓰면 56.5%가 되는데, 압력비에는 틀린 값입니다.

4단계별 방법

사이클(오토, 디젤, 브레이턴)을 판별하고 압축 전부터 시작하여 네 상태에 1에서 4까지 번호를 붙이세요.
모든 온도를 켈빈으로 바꾸세요.
압축 1 → 2: 부피비에는 T₂ = T₁·r^0.4, 압력비에는 T₁·r_p^0.2857.
가열 2 → 3: 오토(정적)는 c_v, 디젤과 브레이턴(정압)은 c_p를 쓰세요.
팽창 3 → 4: T₃를 같은 종류의 배율로 나누세요(디젤은 v₄/v₃ = r/r_c를 쓰세요).
q_out을 구한 뒤 w = q_in − q_out, η = w/q_in입니다. 검산으로 η를 그 사이클의 공식과 비교하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

이상 오토 사이클의 압축비는 8입니다. 압축 시작 때 공기는 300 K이고 사이클의 최고 온도는 1800 K입니다. 냉공기 표준 가정(k = 1.4, c_v = 0.718 kJ/(kg·K))을 사용합니다. 효율과 공기 1 kg당 정미 일을 구하시오.

사이클을 그립니다

상태 1은 300 K입니다. 최고 온도는 상태 3에 있으므로 T₃ = 1800 K입니다. T₂와 T₄가 필요합니다.

압축 1 → 2

r^0.4 = 8^0.4 = 2.297

T₂ = 300 · 2.297 = 689.2 K

가열 2 → 3

열은 정적에서 들어오므로 c_v를 씁니다:

q_in = 0.718 · (1800 − 689.2) = 797.5 kJ/kg

팽창과 방열

T₄ = 1800 / 2.297 = 783.5 K

q_out = 0.718 · (783.5 − 300) = 347.1 kJ/kg

정미 일과 효율

w = 797.5 − 347.1 = 450.4 kJ/kg

η = 450.4 / 797.5 = 0.565 = 56.5%

답 검산

오토 공식은 η = 1 − 1/2.297 = 56.5%를 줍니다. 같으므로 온도가 맞습니다.

답

η ≈ 56.5%, w ≈ 450 kJ/kg.

6흔한 실수

등엔트로피 관계에 °C를 쓰기. T₂/T₁ = r^0.4은 켈빈에서만 성립합니다.
압력비에 지수 k − 1 = 0.4를 쓰기. 압력비에는 (k − 1)/k = 0.2857이 필요합니다.
오토 사이클에 c_p를, 디젤과 브레이턴에 c_v를 쓰기. 정적에는 c_v, 정압에는 c_p가 짝입니다.
브레이턴 사이클에서 압축기 일을 잊기: 정미 일은 터빈 일에서 압축기 일을 뺀 값입니다.
k − 1 대신 지수 k를 쓰기.

자가 점검 27 °C의 공기를 압축비 8로 등엔트로피 압축합니다(k = 1.4). 압축 후의 온도는 얼마입니까?

2401 K
5514 K
62.0 K
689.6 K

답: 689.6 K. T₁ = 300.15 K이므로 T₂ = 300.15 · 8^0.4 = 689.6 K입니다. 27을 쓰면 62.0, 지수를 빠뜨리면 2401 K, 지수 1.4를 쓰면 5514 K가 됩니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 오토 사이클. r로 효율, 압축 후 온도 T₂, 또는 최고 온도가 주어졌을 때 kg당 정미 일을 구합니다.
보통: 압축비와 단절비가 있는 디젤 사이클. 가열이 끝날 때의 T₃, 공급 열 q_in 또는 효율을 구합니다.
어려움: 가스터빈의 브레이턴 사이클. 압력비로 효율을 구하거나, 압축기와 터빈 입구 온도로 kg당 정미 일을 구합니다.

모든 문제는 냉공기 표준 값을 다시 알려 줍니다. k = 1.4와 c_v 또는 c_p만 있으면 됩니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

이상적인 오토 사이클의 압축비는 6이다. 압축 시작 시 공기는 305 K이고, 사이클의 최고 온도는 2000 K이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 순일 출력 w을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r = 6T₁ = 305 KT₃ = 2000 Kk = 1.4c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

구하는 값: w (kJ/kg)

힌트 보기

등엔트로피 압축 후의 T₂를 구하세요.
q_in = c_v·(T₃ − T₂), η = 1 − 1/r^k−1.
T₂ = 624.5 K.

정답과 단계별 풀이 보기

오토 사이클(불꽃 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정적 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂일 때 T₂ = T₁·r^k−1, η = 1 − 1/r^k−1입니다. 공급 열량: q_in = c_v·(T₃ − T₂), 순일 w = η·q_in.

압축 종료 시

T₂ = 305·6^0.4 = 624.5 K

정적 공급 열량

q_in = 0.718·(2000 − 624.5) = 987.6 kJ/kg

순일

η = 1 − 1/6^0.4 = 0.5116

w = η·q_in = 0.5116·987.6 = 505.3 kJ/kg

답

w = 505.3 kJ/kg

예제 2보통

이상적인 디젤 사이클의 압축비는 r = 16, 단절비는 r_c = v₃/v₂ = 2.2이다. 압축 시작 시 공기는 310 K이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 공급 열량 q_in을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r = 16r_c = 2.2T₁ = 310 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

구하는 값: q_in (kJ/kg)

힌트 보기

T₂(등엔트로피 압축)와 T₃ = r_c·T₂를 구하세요.
q_in = c_p·(T₃ − T₂).
T₂ = 939.7 K, T₃ = 2067 K.

정답과 단계별 풀이 보기

디젤 사이클(압축 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂, 단절비 r_c = v₃/v₂일 때 T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂), η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))입니다.

온도

T₂ = 310·16^0.4 = 939.7 K

T₃ = 2.2·939.7 = 2067 K

정압 공급 열량

q_in = 1.005·(2067 − 939.7) = 1133 kJ/kg

답

q_in = 1133 kJ/kg

예제 3어려움

이상적인 브레이턴 사이클이 압축기 압력비 20으로 운전된다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 열효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.

r_p = 20k = 1.4

구하는 값: η (%)

힌트 보기

이상적인 브레이턴 사이클 효율은 압력비와 k에만 의존합니다.
η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k.
(k − 1)/k = 0.2857, r_p^0.2857 = 2.354.

정답과 단계별 풀이 보기

브레이턴 사이클(가스 터빈): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 터빈에서의 등엔트로피 팽창, 4→1 정압 방열. 압력비 r_p = P₂/P₁일 때 T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k, η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k입니다. 순일 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. 등엔트로피 효율을 고려하면 압축기는 w_s/η_c가 필요하고 터빈은 η_t·w_s를 냅니다.