그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 일과 에너지 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 자유 낙하, 마찰이 있는 경사면, 경사로, 마찰, 스프링.
질량 5 kg인 공을 높이 38 m에서 가만히 떨어뜨린다. 공기 저항은 무시한다. 땅에 닿기 직전의 속력 v을(를) 구하시오.
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먼저 알아 둘 것: 뉴턴 법칙
에너지는 무언가를 움직이거나 바꿀 수 있는 능력입니다. 단위는 줄(J)입니다. 1줄은 1 N의 힘으로 1 m를 미는 데 필요한 에너지입니다.
에너지는 만들어지거나 없어지지 않습니다. 모양만 바뀝니다. 떨어지는 공은 높이를 속력으로 바꿉니다. 브레이크를 밟는 자동차는 속력을 브레이크의 열로 바꿉니다.
이것은 강력한 지름길을 줍니다. 힘으로 운동을 매초 따라가는 대신, 처음의 에너지와 끝의 에너지를 비교하면 됩니다.
이 주제에서는 세 가지 역학적 에너지를 만납니다. 운동의 에너지, 높이의 에너지, 스프링에 저장된 에너지. 마찰은 에너지를 빼내어 열로 바꿉니다.
답: 마찰이 열로 바꾸었다. 에너지는 사라질 수 없습니다. 평평한 바닥에서는 높이가 변하지 않으므로 모든 운동 에너지가 마찰을 통해 열이 되었습니다.
힘이 무언가를 움직이면 일을 합니다. 일은 힘 곱하기 힘의 방향으로 움직인 거리입니다.
여기서 α는 힘과 운동 방향 사이의 각도입니다. 운동 방향의 힘(α = 0)은 온전히 일을 합니다. 직각인 힘(α = 90°)은 전혀 일을 하지 않습니다.
운동의 에너지가 운동 에너지입니다. 속력의 제곱에 따라 커지므로 속력이 두 배가 되면 에너지는 네 배가 됩니다.
모든 힘이 한 일의 합은 운동 에너지의 변화와 같습니다. 이것이 일-에너지 정리입니다.
답: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J. cos α를 빼면 200 J이 되고, sin 60°를 쓰면 173 J이 됩니다.
더 높은 곳에 있는 물체는 떨어져 속력을 얻을 수 있습니다. 높이 때문에 가지는 에너지가 중력 위치 에너지입니다.
높이의 변화만 중요하므로 기준 높이는 스스로 정합니다. 운동의 가장 낮은 지점이 보통 가장 쉬운 선택입니다.
거리 x만큼 눌리거나 늘어난 스프링은 탄성 에너지를 저장합니다. 여기서 k는 N/m 단위의 스프링 상수입니다.
모든 것을 하나의 에너지 균형으로 모으세요. Wf는 마찰에 맞서 한 일로 열이 되어 나갑니다.
정지 상태에서의 자유 낙하에서 마찰이 없으면 m·g·h = ½·m·v²이므로 v = √(2gh)입니다. 질량은 소거됩니다.
답: 19.8 m/s. v = √(2 · 9.81 · 20) = √392.4 = 19.8 m/s. 392 m/s는 제곱근을 잊은 값이고, 14.0 m/s는 ½·m·v²의 ½에서 나온 인수 2를 잊은 값입니다.
에너지만 쓰더라도 힘도 그리세요. 그림은 어떤 힘이 일을 하고 어떤 힘이 하지 않는지 보여 줍니다.
수직항력 N은 운동 방향에 수직이므로 일을 하지 않습니다. 마찰이 그것에 달려 있기 때문에 중요할 뿐입니다.
모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.
2 kg의 블록이 수평면과 30°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려온다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 경사면을 따라 5 m 미끄러진 뒤의 속력을 구하시오.
점 1은 출발점이고 점 2는 경사면을 따라 5 m 더 내려간 곳입니다. 높이의 기준은 점 2에 두세요.
블록은 경사면을 따라 5 m 미끄러지지만, 높이는 그 수직 성분만큼만 내려갑니다.
경사면에서 수직항력은 무게보다 작습니다.
블록은 정지 상태에서 출발하므로 Ek1 = 0입니다. 점 2에서 높이는 0입니다.
마찰이 없다면 블록은 √(2 · 9.81 · 2.5) = 7.00 m/s에 이를 것입니다. 마찰이 있으면 더 느려야 하는데 5.66 m/s는 더 느립니다. 타당한 답입니다.
질량은 결국 소거됩니다: v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32.06이고, 같은 5.66 m/s가 나옵니다.
블록은 5 m 미끄러진 뒤 v ≈ 5.66 m/s에 이릅니다.
답: 8.50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0.5 · 1 · 9.81 · cos 30° · 2 = 8.50 J. m·g를 수직항력으로 쓰면 9.81 J이 되고, cos θ 대신 sin θ를 쓰면 4.91 J이 됩니다.
어려운 문제에서는 맨 처음부터 맨 끝까지 에너지 균형을 하나만 쓰세요. 거친 부분마다 마찰이 한 일을 더하세요.
최대 스프링 압축에서는 블록이 잠시 멈추므로 운동 에너지가 모두 스프링에 있습니다: ½·m·v² = ½·k·x².
질량 0.5 kg인 공을 높이 11 m에서 가만히 떨어뜨린다. 공기 저항은 무시한다. 땅에 닿기 직전의 속력 v을(를) 구하시오.
구하는 값: v (m/s)
일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).
높이 h에서 정지 상태로 시작해 지면에서 속력 v로 끝납니다.
블록이 수평과 45°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.35이다. 경사면을 따라 19 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.
구하는 값: v (m/s)
일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).
블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.
질량 2.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 4.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 4 m인 거친 수평 구간(μ = 0.15)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 500 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.
구하는 값: x (cm)
일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).
경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.
에너지는 만들어지거나 없어지지 않습니다. 모양만 바뀝니다. 떨어지는 공은 높이를 속력으로 바꿉니다. 브레이크를 밟는 자동차는 속력을 브레이크의 열로 바꿉니다.
이것은 강력한 지름길을 줍니다. 힘으로 운동을 매초 따라가는 대신, 처음의 에너지와 끝의 에너지를 비교하면 됩니다.
일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).
문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.