축 응력과 변형률: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 축 응력과 변형률 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

Q: 축 응력과 변형률 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 수직 응력 보통: 변형률과 늘음량 어려움: 계단형 봉 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 축 응력과 변형률 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 수직 응력, 변형률과 늘음량, 계단형 봉.

무료 연습 문제쉬움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 봉의 압축응력 σ_r을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

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축 응력과 변형률 무료로 연습하기 지금 축 응력과 변형률 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움수직 응력
보통변형률과 늘음량
어려움계단형 봉

핵심 공식

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축 응력과 변형률 처음부터 배우기

1응력이란 무엇인가

강철 막대를 당기면 막대는 버팁니다. 부러지는지는 힘만으로 정해지지 않고, 그 힘을 얼마나 많은 재료가 나누어 받는지에 달려 있습니다.

가는 철사와 굵은 케이블이 같은 하중을 지탱할 수 있습니다. 가는 철사가 훨씬 더 파손되기 쉬운데, 1제곱밀리미터마다 더 많은 힘을 받기 때문입니다.

수직응력 σ(시그마)는 단면의 단위 면적당 힘입니다. 힘 P가 막대의 축 방향으로 작용하므로 축하중이라고 합니다.

σ = P / A

공학에서는 뉴턴과 밀리미터를 씁니다. 1 N/mm²는 1 메가파스칼입니다.

1 N/mm² = 1 MPa

따라서 먼저 kN을 N으로 바꾸세요(× 1000). 지름이 d인 둥근 막대의 단면적은 원의 넓이입니다.

A = π · d² / 4

자가 점검 단면적이 100 mm²인 막대가 10 kN을 지탱한다. 응력은 얼마인가?

0.1 MPa
10 MPa
100 MPa
1000 MPa

답: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0.1 MPa는 kN을 N으로 바꾸는 것을 잊은 값입니다.

2변형률과 훅의 법칙

하중을 받으면 막대의 길이도 조금 늘어납니다. 이 길이의 변화가 늘어난 길이 δ(델타)입니다.

변형률 ε(엡실론)은 늘어난 길이를 원래 길이로 나눈 것입니다. mm당 mm이므로 단위가 없습니다.

ε = δ / L

금속의 변형률은 매우 작아서 흔히 마이크로 변형률로 나타냅니다: 1 µε = 10⁻⁶. 0.0008의 변형률은 800 µε입니다.

대부분의 재료는 하중이 너무 크지 않은 한 응력과 변형률이 비례합니다. 이것이 훅의 법칙입니다.

σ = E · ε

E는 재료의 강성인 영률(탄성 계수)입니다. 강철은 E ≈ 200 GPa, 알루미늄은 약 70 GPa입니다. 1 GPa = 1000 MPa이므로 강철의 E = 200 000 MPa입니다.

세 공식을 합치면 늘어난 길이를 바로 구할 수 있습니다.

δ = P · L / (A · E)

자가 점검 강철 막대(E = 200 GPa)의 응력이 200 MPa이다. 변형률은 얼마인가?

0.001
0.1
1000
1

답: 0.001. E를 MPa로 바꾸세요: 200 GPa = 200 000 MPa. 그러면 ε = 200/200 000 = 0.001 = 1000 µε입니다. 단위를 바꾸지 않고 200을 200으로 나누면 1이 되는데, 이는 터무니없이 큽니다.

3단계별 방법

모든 값을 N과 mm로 쓰세요. P는 N(kN × 1000), 길이는 mm(m × 1000), E는 MPa(GPa × 1000).
단면적을 구하세요: 둥근 막대는 A = π·d²/4.
응력을 구하세요: σ = P/A, 단위는 MPa.
변형률을 구하세요: ε = σ/E. 답을 µε로 원하면 10⁶을 곱하세요.
늘어난 길이를 구하세요: δ = ε·L, 단위는 mm.

문제가 묻는 단계에서 멈추세요. 대부분의 문제는 처음 두세 단계만 씁니다.

4풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

강철 막대(E = 200 GPa)의 지름은 20 mm, 길이는 2 m이다. 막대는 50 kN의 축 방향 인장 하중을 지탱한다. 응력, 변형률, 늘어난 길이를 구하시오.

막대를 살펴보고 단위 바꾸기

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm, E = 200 GPa = 200 000 MPa.

면적

A = π · 20² / 4 = 314.2 mm²

응력

σ = P / A = 50 000 / 314.2 = 159.2 MPa

이것은 보통 강철의 강도(약 250 MPa)보다 훨씬 낮으므로 훅의 법칙이 적용됩니다.

변형률

ε = σ / E = 159.2 / 200 000 = 0.000796 = 796 µε

늘음량

δ = ε · L = 0.000796 · 2000 = 1.59 mm

답 검산

두 번째 방법으로 합친 공식을 쓰세요.

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314.2 · 200 000) = 1.59 mm

2 m 강철 막대가 약 1.6 mm 늘어나는 것은 현실적입니다. 강철의 변형률은 0.2 %보다 훨씬 작게 유지됩니다.

답

σ = 159.2 MPa, ε = 796 µε, δ = 1.59 mm.

5구간이 여러 개인 막대

계단 막대는 지름이 다른 구간으로 이루어지며, 재료가 다를 때도 있습니다.

막대를 어디서든 자르고 자른 곳 오른쪽 부분을 보세요. 그것을 당기는 힘은 P뿐이므로 모든 구간이 같은 힘 P를 받습니다.

단면적이 다르므로 응력이 다릅니다. 가장 가는 구간의 응력이 가장 큽니다.

각 구간은 자신의 A, L, E에 따라 따로 늘어납니다. 전체 늘어난 길이는 그 합입니다.

δ = P·L₁ / (A₁·E₁) + P·L₂ / (A₂·E₂)

자가 점검 계단 막대가 20 kN을 지탱한다. 구간 1의 A = 400 mm², 구간 2의 A = 100 mm²이다. 막대에서 가장 큰 응력은 얼마인가?

200 MPa
250 MPa
40 MPa
50 MPa

답: 200 MPa. 두 구간 모두 20 kN을 받습니다. 가는 구간은 20 000/100 = 200 MPa입니다. 50 MPa는 굵은 구간의 값이고, 40 MPa는 단면적을 잘못 더한 값이며, 250 MPa는 두 응력을 잘못 더한 값입니다.

6흔한 실수

kN을 N으로 바꾸는 것을 잊는 것. 응력이 1000배 작아집니다.
MPa 단위 응력 옆에 GPa 단위 E를 쓰는 것. E를 MPa(GPa × 1000)로 쓰세요.
원의 넓이에 π·d²/4 대신 π·d² 또는 π·d를 쓰는 것.
δ를 밀리미터로 얻어야 하는데 L을 미터로 두는 것.
계단 막대의 구간들 사이에 P를 나누는 것. 각 구간은 P 전체를 받습니다.

자가 점검 A = 30 mm²인 막대가 P = 6 kN을 지탱한다. 응력은 얼마인가?

0.2 MPa
180 MPa
200 MPa
5 MPa

답: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0.2 MPa는 6000 N 대신 6을 쓴 것이고, 5 MPa는 힘으로 단면적을 나눈 것이며, 180은 두 값을 곱한 것입니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 수직응력. 지름 d의 둥근 막대가 P를 받습니다. σ = P/A를 구합니다.
보통: 변형률과 늘어난 길이. L과 재료의 E도 주어집니다. ε(µε)이나 δ(mm)를 구합니다.
어려움: 구간이 둘인 계단 막대로, 재료가 다를 수도 있습니다. 전체 늘어난 길이나 가장 큰 응력을 구합니다.

모든 수 옆에 단위를 쓰세요. 이 주제에서 틀린 답은 거의 모두 1000배 차이가 납니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 봉의 압축응력 σ_r을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

구하는 값: σ_r (MPa)

힌트 보기

강체 판: 봉과 관이 같은 양만큼 줄어들므로 두 곳의 ε이 같습니다.
ε = P/ΣEA.
σ = E·ε.

정답과 단계별 풀이 보기

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5890 = 8.482 × 10⁸ N

공통 변형률

ε = 300000/8.482 × 10⁸ = 0.0003537

봉의 응력

σ_r = 200·10³·0.0003537 = 70.74 MPa

답

σ_r = 70.74 MPa

예제 2보통

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 10 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

구하는 값: ε (µε)

힌트 보기

세 관계식을 연결합니다: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
E를 MPa (GPa × 1000)로 바꿔 MPa 응력과 맞추고, L은 mm로 바꿉니다.
σ = 31.83 MPa.

정답과 단계별 풀이 보기

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31.83/100000 = 0.0003183 = 318.3 µε

답

ε = 318.3 µε

예제 3어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 40 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

구하는 값: σ₂ (MPa)

힌트 보기

이음부는 두 구간에 대해 같은 양만큼 움직입니다: 한쪽은 늘어나고 다른 쪽은 줄어듭니다.
k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.

정답과 단계별 풀이 보기

강성

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 40000·98960/570199 = 6942 N

응력

σ₂ = 6942/706.9 = 9.821 MPa (압축)

답

σ₂ = 9.821 MPa

질문과 답변

축 응력과 변형률: 무엇인가요?

강철 막대를 당기면 막대는 버팁니다. 부러지는지는 힘만으로 정해지지 않고, 그 힘을 얼마나 많은 재료가 나누어 받는지에 달려 있습니다.

축 응력과 변형률 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

축 응력과 변형률에서 자주 하는 실수는?

두 재료는 응력을 똑같이 나누지 않고 변형률을 똑같이 나눕니다. 더 강한 재료가 더 큰 응력을 받습니다.
관도 하중의 일부를 받습니다.
그것은 관의 응력입니다.

축 응력과 변형률 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 수직 응력
보통: 변형률과 늘음량
어려움: 계단형 봉

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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