모어 원과 응력 변환: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 모어 원과 응력 변환 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 주응력 보통: 최대 전단 응력과 주방향 어려움: 경사면의 응력 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 모어 원과 응력 변환 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 주응력, 최대 전단 응력과 주방향, 경사면의 응력.

무료 연습 문제쉬움

하중을 받는 부재의 한 점에서 면내 주응력은 σ₁ = 90 MPa, σ₂ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 면내 최대 전단 응력이 작용하는 면의 수직 응력 σ_avg을(를) 구하시오.

σ₁ = 90 MPaσ₂ = −20 MPa

다음 문제 →

모어 원과 응력 변환 무료로 연습하기 지금 모어 원과 응력 변환 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움주응력
보통최대 전단 응력과 주방향
어려움경사면의 응력

모어 원과 응력 변환 문제 푸는 방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

흔한 실수

변환 식에 2θ 대신 θ를 쓰는 것.
(σx − σy)/2와 τxy를 피타고라스로 합성하지 않고 그냥 더하는 것.
전단 응력의 부호 규약을 잘못 쓰는 것.

핵심 공식

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

모어 원과 응력 변환 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 축 응력과 변형률

1응력이 방향에 달려 있는 이유

축 하중 수업에서 응력은 하나의 수, 즉 힘을 면적으로 나눈 값이었습니다. 하지만 한 점의 응력은 살펴보는 절단면의 방향에 달려 있습니다.

분필을 비틀어 부러뜨려 보세요. 가로로 곧게 부러지지 않고 45°의 나선을 따라 부러집니다. 그 45° 면에서 인장이 가장 크고, 분필은 인장에 약합니다.

한 점의 응력을 나타내기 위해 공학자들은 면에 작용하는 응력과 함께 작은 정사각형, 즉 응력 요소를 그립니다:

σ_x와 σ_y는 면에 수직인 수직 응력입니다. 양(+)은 인장(화살표가 바깥을 향함), 음(−)은 압축입니다.
τ_xy는 면을 따라 작용하는 전단 응력입니다. 정사각형을 마름모로 바꾸려 합니다.

정사각형을 회전시키면 그 면의 응력이 바뀝니다. 이 수업은 모든 방향의 응력을 구하는 방법과 어느 방향이 가장 위험한지를 보여 줍니다.

자가 점검 한 점에서 σ_x = −40 MPa입니다. 무엇을 뜻합니까?

40 MPa의 전단 응력
x 방향의 40 MPa 압축
x 방향의 40 MPa 인장
y 방향의 40 MPa 압축

답: x 방향의 40 MPa 압축. 일반적인 부호 규칙에서 인장이 양이므로 음의 σ_x는 압축이며, x에 수직인 면에 작용합니다.

2모어 원

모어 원은 모든 방향을 한꺼번에 나타낸 그림입니다. 원 위의 모든 점은 부재 안의 그 점을 지나는 하나의 가능한 절단면입니다.

수직 응력 σ를 오른쪽으로, 전단 응력 τ를 위쪽으로 그리세요. 그런 다음 두 점을 찍습니다:

점 x는 (σ_x, τ_xy): x에 수직인 면의 응력,
점 y는 (σ_y, −τ_xy): y에 수직인 면의 응력.

원은 두 점을 모두 지납니다. 중심 C는 σ축 위에서 두 점의 한가운데에 있습니다. 반지름 R은 피타고라스로 구합니다:

C = (σ_x + σ_y) / 2 R = √( ((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² )

원이 σ축과 만나는 곳에서는 전단 응력이 0입니다. 이 두 값이 그 점의 가장 큰 수직 응력과 가장 작은 수직 응력인 주응력입니다. 원의 꼭대기는 가장 큰 면내 전단 응력입니다:

σ₁ = C + R σ₂ = C − R τ_max = R

자가 점검 σ_x = 50 MPa, σ_y = 10 MPa, τ_xy = 15 MPa입니다. σ₁은 얼마입니까?

45 MPa
50 MPa
55 MPa
65 MPa

답: 55 MPa. C = 30 MPa, R = √(20² + 15²) = 25 MPa이므로 σ₁ = 55 MPa입니다. 65는 피타고라스 대신 20 + 15를 더한 값이고, 50은 전단 응력을 무시한 값입니다.

3각도: 원에서는 두 배

요소를 각 θ만큼 회전시키면 모어 원 위의 점은 같은 방향으로 2θ만큼 움직입니다. 반시계 방향이 양입니다.

σ₁의 방향은 x축에서 잰 각 θ_p이며 다음으로 구합니다:

tan 2θ_p = 2τ_xy / (σ_x − σ_y)

사분면에 주의하세요. σ_x − σ_y가 음수이면 τ_xy > 0일 때 2θ_p에 180°를 더하고, τ_xy < 0일 때는 180°를 뺍니다. 그런 다음 절반으로 나눕니다.

최대 전단 면은 주응력 방향에서 45°(원에서는 90°) 떨어져 있습니다.

법선이 x축에서 θ만큼 회전한 면의 응력은 다음과 같습니다:

σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy · sin 2θ

τ_θ = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy · cos 2θ

자가 점검 한 점에서 tan 2θ_p = 1이고 σ_x − σ_y는 양수입니다. θ_p는 얼마입니까?

22.5°
45°
90°
−67.5°

답: 22.5°. 2θ_p = 45°이므로 θ_p = 22.5°입니다. 45°라고 답하면 원에서 읽은 각을 절반으로 나누는 것을 잊은 것입니다. −67.5°는 90° 떨어진 σ₂의 방향입니다.

4단계별 방법

σ_x, σ_y, τ_xy를 부호와 함께 적으세요: 인장은 양, 압축은 음.
중심 C = (σ_x + σ_y)/2를 구하세요.
반지름 R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)를 구하세요.
주응력: σ₁ = C + R, σ₂ = C − R. 가장 큰 면내 전단: τ_max = R.
방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)이고 사분면을 확인한 뒤 절반으로 나눕니다.
주어진 면 θ에 대해서는: 2θ로 σ_θ와 τ_θ 식을 쓰세요.

원을 대략이라도 빠르게 스케치하면 부호와 어느 점이 σ₁인지 알 수 있습니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

한 점에서 σ_x = 80 MPa, σ_y = 20 MPa, τ_xy = 40 MPa입니다. 주응력, τ_max, σ₁의 방향 θ_p, 그리고 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력을 구하시오.

요소를 살펴봅니다

두 수직 응력은 모두 인장입니다. 전단 응력은 양입니다.

중심과 반지름

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa

R = √(30² + 40²) = 50 MPa

주응력과 최대 전단

σ₁ = 50 + 50 = 100 MPa σ₂ = 50 − 50 = 0 MPa

τ_max = R = 50 MPa

주방향

tan 2θ_p = 2 · 40 / (80 − 20) = 1.333

σ_x − σ_y가 양수이므로 보정이 필요 없습니다: 2θ_p = 53.1°, θ_p = x에서 반시계 방향으로 26.6°.

45° 회전한 면

θ = 45°이면 2θ = 90°: cos 2θ = 0, sin 2θ = 1.

σ_θ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa

답 검산

합 σ_x + σ_y = 100 MPa은 σ₁ + σ₂ = 100 MPa과 같습니다. 이 합은 어떤 회전에서도 같으므로 빠른 검산이 됩니다.

또한 90 MPa은 모든 수직 응력이 그래야 하듯 σ₂ = 0과 σ₁ = 100 MPa 사이에 있습니다.

답

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 0, τ_max = 50 MPa, θ_p = 26.6°, σ_45° = 90 MPa.

6흔한 실수

(σ_x − σ_y)/2와 τ_xy를 그냥 더하기. 반지름은 이 둘을 피타고라스로 결합합니다.
변환식에서 2θ 대신 θ를 쓰거나, 원에서 읽은 각을 절반으로 나누는 것을 잊기.
음의 부호를 빠뜨리기: 압축 응력은 음수로 넣어야 합니다.
점 y를 (σ_y, +τ_xy)에 찍기. 그 점은 −τ_xy에 있으며 x와 중심의 반대쪽입니다.
σ_x < σ_y일 때 2θ_p의 사분면을 놓치기.

자가 점검 σ_x = 60 MPa, σ_y = 0, τ_xy = 40 MPa입니다. 최대 면내 전단 응력은 얼마입니까?

30 MPa
40 MPa
50 MPa
70 MPa

답: 50 MPa. τ_max = R = √(30² + 40²) = 50 MPa입니다. 70은 30 + 40을 더한 값이고, 30은 전단 응력을 무시한 값이며, 40은 τ_xy일 뿐입니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 주응력. σ_x, σ_y, τ_xy가 주어지면 σ₁ 또는 σ₂를 구합니다. 변형 문제: 순수 전단, 또는 비스듬히 자른 축 하중 봉.
보통: 최대 전단과 주응력 방향. τ_max = R 또는 −90°에서 90° 사이의 각 θ_p를 구합니다.
어려움: 경사면의 응력. 2θ로 σ_θ 또는 τ_θ 식을 씁니다. 변형 문제는 축 하중과 비틀림을 결합하거나, 폰 미제스나 트레스카 같은 파손 검토에서 주응력을 씁니다.

C와 R을 먼저 적으세요. 이 주제의 거의 모든 문제는 이 두 수로 답할 수 있습니다.

앱에서 단계별로 배우기 앱에서 단계별로 배우기

예제 풀이

예제 1쉬움

한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 50 MPa이고 약간의 전단 응력도 있다. 30° 회전한 요소에서 회전된 x′ 방향의 수직 응력은 87 MPa이다. 회전된 y′ 방향의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 30 MPaσ_y = 50 MPaσ_x′ = 87 MPaθ = 30°

구하는 값: σ_y′ (MPa)

힌트 보기

τₓᵧ나 변환 공식은 필요 없습니다.
서로 수직인 두 면의 수직 응력의 합은 모든 방향에서 같습니다(모어 원의 중심은 움직이지 않음).
σₓ + σᵧ = 80 MPa.

정답과 단계별 풀이 보기

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

제1 응력 불변량

점 x′와 y′는 지름의 양 끝에 있으므로 그 평균은 항상 중심 C입니다.

σ_x′ + σ_y′ = σ_x + σ_y

σ_y′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

답

σ_y′ = −7 MPa

예제 2보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPa

구하는 값: θ_p (°)

힌트 보기

모어 원을 그리세요: 점 x는 (σₓ, τₓᵧ), 점 y는 (σᵧ, −τₓᵧ), 중심 C는 그 중간입니다.
tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). 사분면에 주의하세요.
C = 10 MPa, R = 31.62 MPa.

정답과 단계별 풀이 보기

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108.4°

요소에서의 각도

θ_p = −54.22°

답

θ_p = −54.22°

반시계 방향 각도가 양입니다.

예제 3어려움

안지름 500 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 60°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2.5 MPaα = 60°

구하는 값: |τ_n| (MPa)

힌트 보기

원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 축방향 면과 원주 방향 면에는 전단 응력이 없습니다.
이음매를 따른 전단 응력: |τ_n| = (σ_h − σ_a)·sin α·cos α.
σ_h = 125 MPa, σ_a = 62.5 MPa.

정답과 단계별 풀이 보기

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.