연속 방정식과 베르누이: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 연속 방정식과 베르누이 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

Q: 연속 방정식과 베르누이 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 연속 방정식 보통: 수평 축소관 어려움: 오르막 관 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 연속 방정식과 베르누이 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 연속 방정식, 수평 축소관, 오르막 관.

무료 연습 문제쉬움

물이 지름 75 mm인 관의 넓은 부분을 0.75 m/s(으)로 흐른다. 체적 유량 Q을(를) 구하시오.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmv₁ = 0.75 m/s

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연습 내용

쉬움연속 방정식
보통수평 축소관
어려움오르막 관

핵심 공식

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

연속 방정식과 베르누이 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 정수압

1연속 방정식과 베르누이 방정식이란

정원 호스 끝을 엄지로 막으면 물이 더 빠르게 뿜어져 나옵니다. 같은 양의 물이 더 작은 구멍을 통과해야 하므로 더 빨리 움직여야 합니다.

이것이 연속의 개념입니다. 가득 찬 관에서는 물이 쌓이거나 사라질 수 없습니다. 매초 들어오는 양은 매초 나가야 합니다.

두 번째 개념인 베르누이 방정식은 속도, 압력, 높이를 연결합니다. 물이 빨라지는 곳에서는 압력이 내려갑니다. 물이 올라가는 곳에서도 압력이 내려갑니다.

이 두 개념을 함께 쓰면 관을 따라 어디서든 속도와 압력을 예측할 수 있습니다. 이 주제에서 유체는 (물처럼) 비압축성이며 마찰 손실은 무시합니다.

자가 점검 물이 점점 좁아지는 관을 흐릅니다. 좁은 부분에서 물의 속도는 어떻게 됩니까?

감소한다
그대로이다
물이 멈춘다
증가한다

답: 증가한다. 같은 체적이 매초 더 작은 면적을 지나야 하므로 물은 더 빠르게 움직여야 합니다.

2유량과 연속 방정식

체적 유량 Q는 매초 통과하는 유체의 체적으로, 단위는 m³/s입니다. 1리터/초(L/s)는 0.001 m³/s입니다.

유체가 면적 A인 단면을 평균 속도 v로 지날 때:

Q = A · v A = π · d² / 4

질량 유량은 ṁ = ρ · Q이며 단위는 kg/s입니다. 여기서 ρ는 밀도입니다(물은 1000 kg/m³).

연속 방정식은 Q가 관의 모든 단면에서 같다고 말합니다:

A₁ · v₁ = A₂ · v₂

원형 관에서는 π/4가 약분되므로 v₂ = v₁ · (d₁ / d₂)²입니다. 지름을 절반으로 줄이면 물은 네 배 빨라집니다.

자가 점검 관이 80 mm에서 40 mm로 좁아집니다. 넓은 부분에서 물은 1 m/s로 움직입니다. 좁은 부분에서는 얼마나 빠르게 움직입니까?

0.25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s

답: 4 m/s. v₂ = 1 · (80/40)² = 4 m/s입니다. 면적은 지름의 제곱에 따라 달라집니다. 지름비를 제곱하지 않고 쓰면 2 m/s가 됩니다.

3베르누이 방정식

손실이 없는 유선을 따라 유체 1 세제곱미터당 에너지는 일정하게 유지됩니다. 이는 압력, 운동, 높이의 세 부분으로 이루어집니다.

p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂

p: 압력, 단위 Pa.
½ρv²: m³당 운동 에너지로, 마찬가지로 Pa 단위입니다.
ρgz: m³당 위치 에너지로, z는 임의로 정한 기준면으로부터의 높이입니다.

따라서 한 부분이 커지면 다른 부분은 줄어야 합니다. 빠른 물은 압력이 낮습니다. 높은 곳의 물도 압력이 낮습니다.

유용한 특별한 경우는 열린 수면에서 깊이 h 아래의 작은 구멍으로 물이 빠져나가는 탱크입니다. 수면은 거의 움직이지 않고 두 지점 모두 대기압이므로 토리첼리의 법칙이 나옵니다:

v = √(2gh)

자가 점검 열린 물탱크가 수면 아래 5 m에 있는 작은 구멍으로 물이 빠져나갑니다. 손실을 무시하면 물줄기는 구멍에서 얼마나 빠르게 나옵니까? (g = 9.81 m/s²)

49.1 m/s
7.00 m/s
9.90 m/s
98.1 m/s

답: 9.90 m/s. v = √(2 · 9.81 · 5) = √98.1 = 9.90 m/s입니다. 2를 빠뜨리면 7.00 m/s, 제곱근을 빠뜨리면 98.1이 됩니다.

4단계별 방법

관을 스케치하고 두 단면에 번호를 붙이세요. 1은 가장 많이 아는 곳, 2는 미지수가 있는 곳입니다.
단위를 변환하세요: mm를 m로, kPa를 Pa로, L/s를 m³/s로.
면적 A = π·d²/4을 구하고 연속 방정식으로 빠진 속도를 구하세요.
단면 1과 2 사이에 베르누이 방정식을 세우세요. 수평 관에서는 z₁ = z₂이므로 높이 항이 약분됩니다.
미지수를 구한 뒤 필요하면 kPa로 다시 변환하세요.

단위를 일관되게 유지하세요. ρ를 kg/m³, v를 m/s로 쓰면 ½ρv² 항은 kPa가 아니라 Pa로 나옵니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

물(ρ = 1000 kg/m³)이 100 mm에서 50 mm로 좁아지는 수평 관을 흐릅니다. 넓은 단면에서 압력은 200 kPa, 속도는 1.5 m/s입니다. 손실을 무시하고 좁은 단면의 압력을 구하시오.

관을 그립니다

단면 1은 모든 값을 아는 넓은 부분이고, 단면 2는 좁은 부분입니다.

좁은 부분의 속도

지름이 절반이 되므로 속도는 (100/50)² = 4배가 됩니다:

v₂ = 1.5 · (100 / 50)² = 6 m/s

베르누이 방정식을 세웁니다

관이 수평이므로 높이 항이 약분됩니다:

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²)

파스칼 단위로 대입합니다

½ · 1000 · (1.5² − 6²) = 500 · (2.25 − 36) = −16 875 Pa

p₂ = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183.1 kPa

답 검산

좁은 부분에서는 물이 더 빠르므로 압력은 더 낮아야 합니다. 183.1 kPa은 200 kPa보다 낮으므로 예상대로입니다.

유량은 두 단면 모두에서 Q = 0.007854 · 1.5 = 11.8 L/s입니다.

답

좁은 단면에서 p₂ ≈ 183.1 kPa (v₂ = 6 m/s).

6흔한 실수

면적비 대신 지름비를 쓰기: 속도는 지름의 제곱에 따라 변합니다.
A = π·d²/4에서 반지름을 지름처럼 쓰거나 /4를 빠뜨리기.
kPa와 Pa를 섞어 쓰기. 베르누이 방정식에서는 Pa로 계산하고 마지막에 변환하세요.
m³/s를 L/s로 잘못 표기하기. m³/s에 1000을 곱하면 L/s가 됩니다.
관이 올라가거나 내려갈 때 높이 항 ρ·g·Δz를 빠뜨리기.

자가 점검 물이 안지름 100 mm인 관을 2 m/s로 흐릅니다. 체적 유량은 얼마입니까?

0.0157 L/s
15.7 L/s
20 L/s
62.8 L/s

답: 15.7 L/s. A = π · 0.1²/4 = 0.007854 m²이므로 Q = 0.007854 · 2 = 0.0157 m³/s = 15.7 L/s입니다. /4를 빠뜨리면 62.8, π/4를 빠뜨리면 20이 됩니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 연속 방정식. 유량, 질량 유량, 더 좁은 단면의 속도, 주어진 유량에 필요한 관 지름을 구합니다. 일부 문제는 물이 빠지는 탱크에 토리첼리의 법칙을 사용합니다.
보통: 수평 축소관. 한 단면의 압력으로 다른 단면의 압력을 구합니다. 변형 문제에는 벤투리 미터, 피토관(v = √(2Δp/ρ)), 유량 계수가 있는 오리피스가 있습니다.
어려움: 올라가는 관. 높이 항이 중요합니다. 물의 경우 1 m 올라갈 때마다 압력이 ρ·g·1 = 9.81 kPa씩 내려갑니다. 변형 문제에는 사이펀, 가압 탱크, 분수가 있습니다.

위의 예제에서 단면 사이에 5 m 상승이 있다면 p₂는 1000 · 9.81 · 5 = 49 050 Pa 더 낮아져 134.1 kPa이 됩니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

물이 지름이 100 mm에서 50 mm(으)로 줄어드는 관을 흐른다. 넓은 부분의 유속은 2.75 m/s이다. 좁은 부분의 유속 v₂을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmv₁ = 2.75 m/s

구하는 값: v₂ (m/s)

힌트 보기

매초 모든 단면을 같은 부피의 물이 지나갑니다: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂이고 면적은 d²에 비례하므로 v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A₁ = 0.007854 m².

정답과 단계별 풀이 보기

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식

두 단면의 유량은 같습니다.

A₁v₁ = A₂v₂

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(100/50)² = 11 m/s

답

v₂ = 11 m/s

예제 2보통

물이 150 mm에서 50 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 250 kPa, 유속은 0.5 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

구하는 값: p₂ (kPa)

힌트 보기

먼저 연속 방정식으로 좁은 부분의 유속을 구합니다.
수평관의 베르누이 식: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
v₂ = 4.5 m/s.

정답과 단계별 풀이 보기

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−10) = 240 kPa

답

p₂ = 240 kPa

예제 3어려움

밀폐된 물탱크의 수면 위에 계기 압력 190 kPa의 압축 공기가 있다. 물은 수면보다 4 m 아래에 있는 지름 25 mm의 구멍을 통해 대기 중으로 나간다. 손실을 무시하고 다음을 구하시오: 유량 Q. g = 9.81 m/s²를 쓴다.

p_air = 190 kPa (게이지압)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

구하는 값: Q (L/s)

힌트 보기

수면(계기 압력 p, 정지)에서 분류(대기압)까지의 베르누이 식.
p/ρ + gh = ½v²이므로 v = √(2(p/ρ + gh))이며, p는 Pa 단위입니다.
p/ρ + gh = 229.2 m²/s².

정답과 단계별 풀이 보기

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.