관 마찰과 손실 수두: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 관 마찰과 손실 수두 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 hf = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 hm = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = hf + hm을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

Q: 관 마찰과 손실 수두 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 레이놀즈 수 보통: 다르시–바이스바흐 손실 수두 어려움: 부차 손실과 전양정 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 관 마찰과 손실 수두 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 레이놀즈 수, 다르시–바이스바흐 손실 수두, 부차 손실과 전양정.

무료 연습 문제쉬움

10 °C의 물(ν = 1.31 × 10⁻⁶ m²/s)이 안지름 50 mm인 관을 평균 유속 0.8 m/s로 흐른다. 레이놀즈 수 Re을(를) 구하시오.

V = 0.8 m/sD = 50 mmν = 1.31 × 10⁻⁶ m²/s

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관 마찰과 손실 수두 무료로 연습하기 지금 관 마찰과 손실 수두 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움레이놀즈 수
보통다르시–바이스바흐 손실 수두
어려움부차 손실과 전양정

핵심 공식

레이놀즈 수: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
유동 영역: Re ≈ 2000 미만은 층류, Re ≈ 4000 초과는 난류
평균 유속: V = Q/A, A = π·D²/4
다르시–바이스바흐 식: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
부차 손실: h_m = ΣK·V²/(2g)
대표적인 K 값: 입구 0.5, 출구 1.0, 90° 엘보 ≈ 0.3
압력 강하: Δp = ρ·g·h_f
두 개의 개방 저수지: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
자유 유출: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

관 마찰과 손실 수두 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 연속 방정식과 베르누이

1수두 손실이란

베르누이 방정식은 유체가 마찰 없이 흐른다고 가정합니다. 실제 관에서는 물이 벽과 자기 자신에게 마찰하며 에너지의 일부가 열로 바뀝니다.

공학자들은 이렇게 잃은 에너지를 유체의 높이, 즉 미터 단위의 수두 손실로 측정합니다. 수두 손실 3 m는 물이 3 m 올라가는 데 필요한 만큼의 에너지를 잃었다는 뜻입니다.

수평 관에 가는 관(스탠드파이프) 두 개를 세우면 볼 수 있습니다. 하류 쪽 관에서 물이 덜 높이 올라갑니다. 그 차이가 둘 사이의 수두 손실입니다.

수두 손실 때문에 긴 송수관에는 펌프가 필요하고, 정원 호스가 매우 길면 물줄기가 약해집니다.

수두 손실은 Δp = ρ · g · h_f로 압력 강하로 환산됩니다. 물의 경우 수두 1 m는 약 9.81 kPa입니다.

자가 점검 물이 수평 관을 따라 마찰로 수두 2 m를 잃습니다. 압력 강하는 얼마입니까? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9.81 m/s²)

19.6 kPa
196 kPa
2 kPa
9.81 kPa

답: 19.6 kPa. Δp = ρ · g · h_f = 1000 · 9.81 · 2 = 19 620 Pa = 19.6 kPa입니다. 물의 수두 1 m마다 약 9.81 kPa입니다.

2레이놀즈 수: 층류인가 난류인가

가는 관을 천천히 흐르는 유동은 매끄러운 층을 이루어 움직입니다. 이것이 층류입니다. 넓은 관을 빠르게 흐르는 유동은 소용돌이치며 섞입니다. 이것이 난류입니다.

레이놀즈 수는 어느 쪽인지 알려 줍니다. 움직이는 유체의 밀어내는 힘을 끈적임(점성)과 비교합니다:

Re = V · D / ν = ρ · V · D / μ

V: m/s 단위의 평균 속도, V = Q/A.
D: m 단위의 안지름.
ν: m²/s 단위의 동점성 계수(20 °C 물에서 약 1.0 × 10⁻⁶ m²/s), 또는 μ: 밀도 ρ와 함께 쓰는 Pa·s 단위의 점성 계수.

Re에는 단위가 없습니다. 약 2000보다 작으면 층류이고 약 4000보다 크면 난류입니다. 대부분의 수도관은 난류입니다.

자가 점검 물(ν = 1.0 × 10⁻⁶ m²/s)이 안지름 20 mm인 관을 0.5 m/s로 흐릅니다. 레이놀즈 수는 얼마입니까?

0.01
10 000 000
10 000
5000

답: 10 000. Re = 0.5 · 0.020 / 10⁻⁶ = 10 000이므로 난류입니다. 지름을 mm로 쓰면 10 000 000이고, 반지름을 쓰면 5000이 됩니다.

3마찰 손실과 부차 손실

직선 관을 따른 마찰 손실은 다르시–바이스바흐 식으로 주어집니다:

h_f = f · (L / D) · V² / (2g)

여기서 f는 다르시 마찰 계수(문제에 주어지며 보통 0.015에서 0.03)이고 L은 관의 길이입니다. V²/(2g) 항은 속도 수두입니다.

손실은 속도의 제곱에 따라 커집니다. 같은 관에 유량을 두 배로 하면 마찰 손실은 네 배가 됩니다.

굽이, 밸브, 탱크에서의 입구와 탱크로의 출구 같은 관 부속은 추가적인 부차 손실을 일으킵니다. 각각 손실 계수 K를 가집니다:

h_m = ΣK · V² / (2g)

대표적인 값: 모서리가 각진 입구 K = 0.5, 90° 굽이 약 0.3, 탱크로의 출구 K = 1.0. 총 손실은 h_L = h_f + h_m입니다.

자가 점검 관을 흐르는 유량이 두 배가 됩니다. f가 그대로라면 마찰 수두 손실은 몇 배가 됩니까?

답: 4. 유량이 두 배면 속도가 두 배이고, h_f는 V²에 따라 달라집니다. 따라서 손실은 2² = 4배가 됩니다.

4단계별 방법

단위를 변환하세요: 지름은 m로, 유량은 m³/s로(L/s ÷ 1000).
면적 A = π·D²/4과 평균 속도 V = Q/A를 구하세요.
속도 수두 V²/(2g)를 계산하세요. 이 주제의 거의 모든 공식이 이것을 씁니다.
유동 상태는 Re = V·D/ν로 구합니다. 마찰 손실은 h_f = f·(L/D)·V²/(2g).
부차 손실은 ΣK·V²/(2g)로 더하세요. 요구되면 Δp = ρ·g·h로 압력 강하로 환산하세요.

L/D는 흔히 큰 수(1000 이상)입니다. 합리적인 값인지 볼 수 있도록 먼저 따로 계산하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

물이 길이 200 m, 안지름 100 mm인 관을 10 L/s로 흐릅니다. 다르시 마찰 계수 f = 0.02와 g = 9.81 m/s²를 사용합니다. 마찰 수두 손실과 압력 강하를 구하시오.

그리고 변환합니다

Q = 10 L/s = 0.010 m³/s, D = 0.100 m.

평균 유속

A = π · 0.1² / 4 = 0.007854 m²

V = Q / A = 0.010 / 0.007854 = 1.273 m/s

속도 수두와 L/D

V² / (2g) = 1.273² / 19.62 = 0.0826 m

L / D = 200 / 0.1 = 2000

다르시–바이스바흐 식

h_f = 0.02 · 2000 · 0.0826 = 3.31 m

압력 강하

수평 관에서 손실된 수두는 압력 강하로 나타납니다:

Δp = 1000 · 9.81 · 3.305 = 32 400 Pa ≈ 32.4 kPa

답 검산

Re = 1.273 · 0.1 / 10⁻⁶ ≈ 127 000이므로 난류이고, 일정한 마찰 계수 0.02는 타당합니다.

관 100 m당 약 1.7 m의 손실은 약 1 m/s의 물에서 보통의 크기입니다.

답

h_f ≈ 3.31 m이며, 이는 약 32.4 kPa의 압력 강하입니다.

6흔한 실수

속도 수두 V²/(2g)에서 2g나 V의 제곱을 잊기.
지름을 mm로 두기. 그러면 L/D가 천 배 작아집니다.
속도 V 대신 유량 Q를 쓰기. 먼저 V = Q/A로 변환하세요.
출구 손실(K = 1.0)을 두 번 세기: 한 번은 부차 손실로, 한 번은 탱크로 들어가는 분류의 속도 수두로.
압력을 물었는데 수두를 미터로 답하거나 그 반대로 하기.

자가 점검 물이 길이 100 m, 안지름 100 mm인 관을 1 m/s로 흐르고 f = 0.02입니다. 마찰 수두 손실은 얼마입니까? (g = 9.81 m/s²)

0.00102 m
1.02 m
2.04 m
20 m

답: 1.02 m. h_f = 0.02 · (100/0.1) · 1²/19.62 = 1.02 m입니다. 2g 대신 g로 나누면 2.04 m, 2g를 빼면 20 m, D를 mm로 쓰면 0.00102 m가 됩니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 레이놀즈 수. 속도 또는 유량, 지름, 점성(ν, 또는 ρ와 μ)으로 Re를 구하고 유동이 층류인지 난류인지 말합니다.
보통: 다르시–바이스바흐. 주어진 관, 유량, 마찰 계수에서 마찰 수두 손실 h_f 또는 압력 강하 Δp를 구합니다.
어려움: 부차 손실과 전체 수두. 저수지에서 나온 관에 입구, 굽이, 밸브가 있습니다. 주어진 유량에 필요한 저수지 높이, 또는 두 저수지 사이의 유량을 구합니다.

저수지에서 나와 자유 분류로 끝나는 관에서는 분류가 여전히 자신의 속도 수두를 가집니다: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g).

열린 두 저수지 사이에서는 높이 차가 손실로만 소모됩니다: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)이며 ΣK에 출구 K = 1.0이 포함됩니다. V를 구한 뒤 Q = A·V입니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움

10 °C의 물(ν = 1.31 × 10⁻⁶ m²/s)이 안지름 50 mm인 관을 5 L/s로 흐른다. 레이놀즈 수 Re을(를) 구하시오.

Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1.31 × 10⁻⁶ m²/s

구하는 값: Re

힌트 보기

먼저 평균 유속을 구하세요: V = Q/A, A = π·D²/4.
그다음 Re = V·D/ν.
A = 0.001963 m², V = 2.546 m/s.

정답과 단계별 풀이 보기

관로 유동: 레이놀즈 수 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ로 층류(Re 약 2000 미만)와 난류(약 4000 초과)를 구분합니다. 관을 따라 생기는 마찰은 다르시–바이스바흐 손실 수두 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)를 일으킵니다. 이음쇠, 밸브, 입구, 출구는 부차 손실 h_m = ΣK·V²/(2g)를 더합니다. 두 개방 저수지 수면 사이에서는 에너지 방정식이 Δz = h_f + h_m을 주며, 여기에는 출구 손실 K = 1이 포함됩니다.

평균 유속

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.005/0.001963 = 2.546 m/s

레이놀즈 수

Re = V·D/ν = 2.546·0.05/(1.31 × 10⁻⁶) = 97194

답

Re = 97194

Re가 4000보다 크므로 난류입니다.

예제 2보통

물이 길이 400 m, 안지름 100 mm인 관을 평균 유속 1.1 m/s로 흐른다. 다르시 마찰 계수 f = 0.015, g = 9.81 m/s²를 쓴다. 마찰 손실 수두 h_f을(를) 구하시오.

V = 1.1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

구하는 값: h_f (m)

힌트 보기

다르시–바이스바흐: h_f = f·(L/D)·V²/(2g).
D를 미터로 넣으세요: D = 0.1 m.
L/D = 4000, V²/(2g) = 0.06167 m.

정답과 단계별 풀이 보기

속도 수두

V²/(2g) = 1.1²/(2·9.81) = 0.06167 m

다르시–바이스바흐 식

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(400/0.1)·1.1²/(2·9.81) = 3.7 m

답

h_f = 3.7 m

예제 3어려움

길이 150 m, 안지름 300 mm(다르시 마찰 계수 f = 0.022)인 관이 개방 저수지에서 나와 대기 중으로 자유 분류로 유출된다. 부차 손실 요소는 직각 입구(K = 0.5), 엘보 3개(각각 K = 0.3), 밸브(K = 2)이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 유량 200 L/s를 얻으려면 저수지 수면이 관 출구보다 얼마나 높아야 하는가(H)?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

구하는 값: H (m)

힌트 보기