강체의 회전: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 강체의 회전 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 관성 모멘트 보통: ΣM = Iα, 일과 일률 어려움: 구름과 각운동량 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 강체의 회전 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 관성 모멘트, ΣM = Iα, 일과 일률, 구름과 각운동량.

무료 연습 문제쉬움

질량 4 kg, 길이 2.1 m인 균일한 가는 막대가 막대에 수직인 축 O를 중심으로 회전한다. 축은 막대의 중심 G에서 0.5 m 떨어져 있다. 이 축에 대한 질량 관성 모멘트 I_O을(를) 구하시오.

m = 4 kgL = 2.1 md = 0.5 m

다음 문제 →

강체의 회전 무료로 연습하기 지금 강체의 회전 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움관성 모멘트
보통ΣM = Iα, 일과 일률
어려움구름과 각운동량

강체의 회전 문제 푸는 방법

축을 정하세요: 고정된 회전축, 또는 구르는 물체의 질량 중심.
그 축에 대한 관성 모멘트를 기본 결과에서 구하세요. 축을 옮긴 경우에는 I = I_G + m·d²을 쓰세요.
방법을 고르세요: 가속도와 힘에는 ΣM = I·α, 속력에는 에너지(½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), 충돌과 갑작스러운 변화에는 각운동량.
직선 운동과 회전 운동은 v = ω·r, a = α·r로 연결하고, rpm을 rad/s로 환산하세요.

흔한 실수

끝을 중심으로 도는 물체에 중심에 대한 관성 모멘트를 쓰는 것.
구르는 물체나 도르래의 회전 운동 에너지를 잊는 것.
ω, E, P 공식에 속도를 rpm 그대로 쓰는 것.
물체들이 맞물리거나 달라붙을 때 운동 에너지가 보존된다고 가정하는 것.

핵심 공식

G에 대한 관성 모멘트: 막대 mL²/12, 원판 ½mR², 고리 mR², 균일한 구 (2/5)mR², 속 빈 구 (2/3)mR²
평행축 정리: I = I_G + m·d²
회전 반지름: I = m·k²
끝에 대한 막대: I = mL²/3
운동 방정식: ΣM = I·α
rad/s 단위의 속도: ω = 2π·n/60
운동 에너지: E = ½·I·ω²
일과 일률: W = T·θ, P = T·ω
미끄러짐 없는 구름: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
각운동량: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
회전축에 대한 충돌: m·v·d = I·ω

강체의 회전 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 뉴턴 법칙, 일과 에너지

1강체 회전이란 무엇인가

강체는 모양을 유지하는 물체입니다: 플라이휠, 도르래, 문, 구르는 바퀴. 이 주제에서 물체는 축을 중심으로 돕니다.

물체의 모든 점이 같은 시간에 같은 각도만큼 돕니다. 그래서 운동을 거리 대신 각 관련 양으로 설명합니다.

θ: 회전한 각도, 라디안(rad). 1회전은 2π rad입니다.
ω: 각속도, rad/s.
α: 각가속도, rad/s².

기계는 속도를 분당 회전수(rpm)로 줍니다. 계산하기 전에 바꾸세요.

ω = 2π·n / 60

축에서 거리 r에 있는 점은 속력 v = ω·r로 움직이고 경로를 따라 가속도 a = α·r을 가집니다.

직선 운동에 대해 아는 모든 것에는 회전하는 짝이 있습니다: 힘은 모멘트가 되고, 질량은 관성 모멘트가 되며, ΣF = m·a는 ΣM = I·α가 됩니다.

자가 점검 바퀴가 600 rpm으로 돈다. 각속도는 rad/s로 얼마인가?

10 rad/s
3770 rad/s
600 rad/s
62.8 rad/s

답: 62.8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62.8 rad/s. 10은 초당 회전수(2π가 빠짐)이고, 3770은 60으로 나누는 것을 잊은 값이며, 600은 아직 rpm입니다.

2관성 모멘트

질량은 물체를 직선으로 빠르게 하기가 얼마나 어려운지 알려 줍니다. 질량 관성 모멘트 I는 물체를 회전시키기가 얼마나 어려운지 알려 줍니다.

축에서 먼 질량은 가까운 질량보다 훨씬 더 크게 기여합니다. 거리의 제곱으로 기여하기 때문입니다.

I = Σ m·r² (단위: kg·m²)

조각들을 직접 더할 필요는 없습니다. 질량 중심 G에 대한 다음 기본 결과를 익히세요.

길이 L의 가는 막대, 중간을 지나는 축: m·L²/12.
반지름 R의 균일한 원판 또는 원기둥: ½·m·R².
얇은 고리 또는 후프: m·R².
균일한 구: (2/5)·m·R². 속 빈 구: (2/3)·m·R².
거리 r에 있는 질점: m·r².

축 O가 G를 지나지 않으면 평행축 정리를 쓰세요. 여기서 d는 O와 G 사이의 거리입니다.

I_O = I_G + m·d²

끝을 중심으로 도는 막대는 d = L/2이므로 I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3입니다.

어떤 문제는 모양 대신 회전 반지름 k를 줍니다. 그러면 I = m·k²입니다. 여러 부분으로 이루어진 물체는 같은 축에 대한 각 부분의 I를 구해서 더하세요.

자가 점검 질량 3 kg, 길이 2 m의 균일한 막대가 한쪽 끝을 중심으로 돈다. 관성 모멘트는 얼마인가?

1 kg·m²
12 kg·m²
3 kg·m²
4 kg·m²

답: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², 또는 I_G + m·d² = 1 + 3·1² = 4입니다. 1 kg·m²는 중심에 대한 값이고, 3 kg·m²는 m·d² 부분만이며, 12 kg·m²는 인수 없는 m·L²입니다.

3모멘트, 에너지, 각운동량

세 가지 도구로 거의 모든 회전 문제를 풉니다. 문제에 맞는 것을 고르세요.

1. 모멘트. 축에 대한 모멘트의 합은 I·α와 같습니다. 가속도와 힘에 쓰세요.

ΣM = I·α

일정한 토크에서는 각가속도 α가 일정하며, 운동학 식에는 회전하는 짝이 있습니다: ω = ω₀ + α·t, ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. 에너지. 회전하는 물체는 운동 에너지를 저장합니다. 각 θ만큼 도는 토크 T는 일을 하고, 회전축의 일률은 토크 곱하기 각속도입니다.

E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω

미끄러짐 없이 구르는 물체는 움직이면서 동시에 돌며 v = ω·r입니다. 두 종류의 운동 에너지를 모두 가집니다.

E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)

수 c는 모양에만 달려 있습니다: 균일한 구 0.4, 균일한 원기둥 0.5, 속 빈 구 2/3, 후프 1. 경사면에서는 a = g·sin θ / (1 + c)입니다.

3. 각운동량. L = I·ω. 축에 대해 외부 모멘트가 작용하지 않으면, 물체들이 붙어 운동 에너지가 사라져도 L은 일정합니다.

I₁·ω₁ = I₂·ω₂

자가 점검 모터가 600 rpm에서 100 N·m의 토크를 낸다. 일률은 얼마인가?

1 kW
377 kW
6.28 kW
60 kW

답: 6.28 kW. ω = 2π·600/60 = 62.8 rad/s이므로 P = T·ω = 100·62.8 ≈ 6283 W = 6.28 kW입니다. 60 kW는 rpm을 ω로 쓴 것이고, 1 kW는 초당 회전수를 쓴 것이며, 377 kW는 60으로 나누는 것을 잊은 값입니다.

4단계별 방법

물체를 그리고 축을 고르세요: 고정된 회전축이나 샤프트, 구르는 물체는 중심.
그 축에 대한 관성 모멘트를 구하세요. 기본 결과를 쓰고 축을 옮긴 경우에는 m·d²을 더하세요.
rpm으로 된 모든 속도를 ω = 2π·n/60으로 rad/s로 바꾸세요.
도구를 고르세요. 가속도와 힘: ΣM = I·α(직선으로 움직이는 부분에는 ΣF = m·a). 일정 거리나 각 뒤의 속력: 에너지. 충돌, 갑작스러운 맞물림, 질량을 끌어당기는 물체: 각운동량.
줄이나 구름 접촉이 직선 운동과 회전 운동을 잇는 곳에서 연결하세요: v = ω·r, a = α·r.
풀고, 가능하면 두 번째 도구로 결과를 확인하세요.

도르래에 감긴 줄에 매달린 물체는 자유물체도를 두 개 그리세요. 블록(힘)과 도르래(모멘트)입니다. 줄의 장력은 둘 다에 나타납니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

2 kg의 블록이 도르래에 감긴 가벼운 줄에 매달려 있다. 도르래는 질량 4 kg, 반지름 0.2 m의 균일한 원판이며 마찰 없는 축에 달려 있다. 블록을 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록의 가속도, 줄의 장력, 블록이 1 m 떨어진 뒤의 속력을 구하시오.

도르래의 관성 모멘트

도르래는 중심을 중심으로 도는 균일한 원판입니다.

I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0.2² = 0.08 kg·m²

블록의 방정식

블록은 아래 방향을 양으로 하세요. 중력이 아래로, 줄의 장력 T가 위로 당깁니다.

m·g − T = m·a ⇒ 19.62 − T = 2·a

도르래의 방정식

장력만이 축에 대해 팔 R로 모멘트를 가집니다. 줄이 미끄러지지 않으므로 α = a/R입니다.

T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0.08·a/0.04 = 2·a

a와 T 구하기

T = 2·a를 블록 방정식에 넣으세요.

19.62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19.62/4 = 4.905 m/s²

T = 2 · 4.905 = 9.81 N

도르래는 α = a/R = 4.905/0.2 ≈ 24.5 rad/s²로 돕니다.

1 m 뒤의 속력

가속도가 일정하고 블록이 정지 상태에서 출발하므로 v² = 2·a·s를 쓰세요.

v = √(2 · 4.905 · 1) = √9.81 ≈ 3.13 m/s

답 검산

대신 에너지를 쓰세요. 잃은 위치 에너지는 블록과 도르래의 운동 에너지가 되며, ω = v/R입니다.

m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19.62 = v² + v²

따라서 v² = 9.81이고 v ≈ 3.13 m/s로 앞과 같습니다.

답

1 m 뒤에 a ≈ 4.91 m/s², T ≈ 9.81 N, v ≈ 3.13 m/s입니다.

6흔한 실수

ω, E = ½·I·ω², P = T·ω에 속도를 rpm 그대로 쓰는 것. 먼저 rad/s로 바꾸세요.
끝을 중심으로 도는 물체에 중심에 대한 관성 모멘트를 쓰는 것. m·d²을 더하세요.
구르는 물체나 도르래의 회전 운동 에너지를 잊는 것.
막대 끝의 구나 원판을 질점으로 취급하는 것. 자기 중심에 대한 자신의 I도 더하세요.
물체들이 맞물리거나 달라붙을 때 운동 에너지가 보존된다고 가정하는 것. 대신 각운동량을 쓰세요.
회전수를 라디안으로 세는 것: N = θ/(2π).

자가 점검 질량 2 kg의 균일한 원기둥이 3 m/s로 미끄러짐 없이 구른다. 전체 운동 에너지는 얼마인가?

13.5 J
18 J
4.5 J
9 J

답: 13.5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1.5 = 13.5 J이며, 균일한 원기둥은 c = 0.5입니다. 9 J은 움직이는 부분만, 4.5 J은 회전하는 부분만이며, 18 J은 후프의 값인 c = 1을 쓴 것입니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 관성 모멘트. 옮긴 축에 대한 막대, 막대와 구 또는 원판으로 된 진자, 플라이휠의 운동 에너지, 플라이휠을 돌리는 데 필요한 토크나 시간.
보통: ΣM = I·α, 일과 일률. 수평에서 놓은 막대, 도르래의 블록, 제동한 플라이휠의 회전수, 축의 토크나 일률, 흔들리는 막대의 속력.
어려움: 구름과 각운동량. 경사면을 구르는 구, 원기둥, 후프, 구르는 데 필요한 마찰, 회전 에너지의 비율, 돌아가는 원판에 떨어뜨린 고리, 아령을 끌어당기는 사람, 매달린 막대에 맞는 총알.

제동한 플라이휠에서는 브레이크가 한 일이 저장된 에너지와 같습니다: T·θ = ½·I·ω². θ를 2π로 나누면 회전수가 됩니다.

한쪽 끝이 핀으로 고정되어 수평에서 놓은 막대는 놓은 직후 α = 3·g/(2·L)입니다. 자유단은 1.5·g로 가속합니다.

막대에 박히는 총알에서는 회전축에 대한 각운동량이 보존됩니다: m·v·d = (I_rod + m·d²)·ω.

앱에서 단계별로 배우기 앱에서 단계별로 배우기

예제 풀이

예제 1쉬움

진자는 위쪽 끝 O에서 회전하는 균일한 가는 막대(0.5 kg, 길이 1.5 m)와, 그 아래쪽 끝에 고정된 질량 4.5 kg, 반지름 0.05 m의 균일한 구로 이루어져 있다. 구의 중심은 O보다 1.55 m 아래에 있다. O에 대한 진자의 질량 관성 모멘트 I_O을(를) 구하시오.

m_rod = 0.5 kgL = 1.5 mm_sphere = 4.5 kgr = 0.05 md = 1.55 m

구하는 값: I_O (kg·m²)

힌트 보기

각 부분의 관성 모멘트를 같은 축 O에 대해 더하세요.
끝에 대한 막대: m·L²/3. 물체: 중심에 대한 자신의 I에 m·d²을 더합니다(평행축 정리).
막대: 0.375 kg·m², 물체: 10.82 kg·m².

정답과 단계별 풀이 보기

Mass moment of inertia: I = Σm·r² measures how hard a body is to set spinning. Standard results about the centre of mass G: slender rod m·L²/12, solid disc or cylinder ½·m·R², thin ring m·R², solid sphere (2/5)·m·R². The parallel-axis theorem moves the axis a distance d away from G: I = I_G + m·d². With a radius of gyration k, I = m·k². A spinning body has kinetic energy ½·I·ω², and a constant torque gives T = I·α. Convert speeds with ω = 2π·n/60 for n in rpm.

끝에 대한 막대

I_rod = m·L²/3 = 0.5·1.5²/3 = 0.375 kg·m²

회전축에 대한 물체

중심에 대한 자신의 관성 모멘트를 평행축 정리로 O로 옮긴 것입니다.

I_c = (2/5)·m·r² = (2/5)·4.5·0.05² = 0.0045 kg·m²

I_body = 0.0045 + 4.5·1.55² = 10.82 kg·m²

합계

I_O = 0.375 + 10.82 = 11.19 kg·m²

답

I_O = 11.19 kg·m²

예제 2보통

질량 9.5 kg의 물체가 도르래에 감긴 가벼운 줄에 매달려 있다. 도르래는 질량 12.5 kg, 반지름 0.45 m의 균일한 원판이며 마찰 없는 수평 축에서 돈다. 물체를 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 물체가 3.5 m 떨어진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 9.5 kgM = 12.5 kgR = 0.45 mg = 9.81 m/s²h = 3.5 m

구하는 값: v (m/s)

힌트 보기

자유물체도를 두 개 그리세요: 물체(m·g − T = m·a)와 도르래(T·R = I·α).
줄이 미끄러지지 않으므로 a = α·R입니다. I = ½·M·R²이면 반지름이 소거됩니다: a = m·g/(m + M/2).
a = 5.917 m/s².

정답과 단계별 풀이 보기

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

물체와 도르래

블록: m·g − T = m·a

도르래: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

가속도

a = m·g/(m + M/2) = 9.5·9.81/(9.5 + 6.25) = 5.917 m/s²

떨어진 뒤의 속력

v = √(2·a·h) = √(2·5.917·3.5) = 6.436 m/s

답

v = 6.436 m/s

예제 3어려움

얇은 후프이(가) 정지 상태에서 출발하여 수평면과 35°를 이루는 경사면을 미끄러지지 않고 굴러 내려간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 반지름은 0.15 m이다. 경사면을 따라 6.5 m 구른 뒤의 각속도 ω을(를) 구하시오.

θ = 35°s = 6.5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.15 m

구하는 값: ω (rad/s)

힌트 보기

에너지: m·g·h = ½·m·v² + ½·I·ω², 미끄러짐 없는 구름에서는 ω = v/r.
I = c·m·r²이면 v = √(2·g·h/(1 + c))이며, 질량과 반지름은 소거됩니다.
h = s·sin θ = 3.728 m, c = 1.

정답과 단계별 풀이 보기

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

내려간 높이

h = s·sin θ = 6.5·sin 35° = 3.728 m

구름을 포함한 에너지 균형

미끄러짐 없는 구름: ω = v/r이며, 접촉점에서 마찰은 일을 하지 않습니다.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·3.728/2) = 6.048 m/s

ω = v/r = 6.048/0.15 = 40.32 rad/s

답

ω = 40.32 rad/s

질문과 답변

강체의 회전: 무엇인가요?

물체의 모든 점이 같은 시간에 같은 각도만큼 돕니다. 그래서 운동을 거리 대신 각 관련 양으로 설명합니다.

기계는 속도를 분당 회전수(rpm)로 줍니다. 계산하기 전에 바꾸세요.

강체의 회전 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

축을 정하세요: 고정된 회전축, 또는 구르는 물체의 질량 중심.
그 축에 대한 관성 모멘트를 기본 결과에서 구하세요. 축을 옮긴 경우에는 I = I_G + m·d²을 쓰세요.
방법을 고르세요: 가속도와 힘에는 ΣM = I·α, 속력에는 에너지(½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), 충돌과 갑작스러운 변화에는 각운동량.
직선 운동과 회전 운동은 v = ω·r, a = α·r로 연결하고, rpm을 rad/s로 환산하세요.

강체의 회전에서 자주 하는 실수는?