정수압: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

1정수압이란 무엇인가

정지한 물은 닿는 모든 면을 밉니다: 수조의 벽, 댐, 수문. 그 힘이 정수압력(정수력)입니다.

깊이 내려갈수록 물이 더 세게 밉니다. 수영장 바닥까지 잠수하면 귀로 느낍니다.

자유 표면 아래 깊이 h에서의 압력은 1제곱미터 위의 물기둥의 무게입니다.

ρ는 밀도(담수는 1000 kg/m³)이고 g = 9.81 m/s²입니다. h를 미터로 쓰면 p는 Pa(N/m²)로 나옵니다. kPa로 하려면 1000으로 나누세요.

압력은 면에 수직으로 작용합니다. 수조의 모양이나 너비와 무관하고 깊이에만 달려 있습니다.

2수직 벽에 작용하는 힘

수직 벽에서 압력은 표면의 0에서 바닥의 ρgh까지 직선으로 커집니다. 벽에 가해지는 하중은 삼각형입니다.

전체 힘은 그 삼각형의 넓이에 벽의 너비 b를 곱한 것입니다.

힘은 삼각형의 도심, 즉 밑변 위 높이의 3분의 1을 지나 작용합니다.

그래서 힘은 벽의 중간보다 아래에 작용합니다. 이치에 맞습니다. 아래쪽이 가장 세게 밀립니다.

3잠긴 수문과 압력 중심

수조 벽 깊숙이 있는 수문은 표면에서 시작하지 않습니다. 평평한 면에서는 힘이 그 도심에서의 압력에 면적을 곱한 것과 같습니다.

y_c는 도심의 깊이입니다. 높이 H이고 윗변이 표면 아래 d에 있는 직사각형 수문에서는 y_c = d + H/2, A = H·b입니다.

힘은 도심에 작용하지 않습니다. 수문의 아랫부분이 더 세게 밀리므로 조금 아래의 압력 중심에 작용합니다.

I_c는 수문 자신의 도심에 대한 단면 2차 모멘트입니다. 수문이 깊을수록 y_cp는 y_c에 가까워집니다.

표면에서 시작하는 벽(d = 0)에서는 y_cp = 표면 아래 2h/3이며, 이는 바닥 위 h/3과 같습니다.

4단계별 방법

1. 면을 그리고 자유 표면 아래의 깊이를 표시하세요. 윗변 d와 높이 H(벽이면 깊이 h).
2. 도심의 깊이 y_c와 면적 A를 구하세요.
3. 문제에 나온 액체의 밀도를 쓰세요: 물 1000, 바닷물 1025, 기름 880 kg/m³.
4. 힘: F = ρ·g·y_c·A. kN으로 하려면 1000으로 나누세요.
5. 작용선을 묻는다면 y_cp = y_c + I_c/(y_c·A)이며, 자유 표면에서 아래로 잽니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

6흔한 실수

• 힘을 도심에 두는 것. 힘은 더 아래에 작용합니다. 벽에서는 바닥 위 h/3에, 수문에서는 y_cp에 작용합니다.
• 바닥 위 높이를 물었는데 ȳ를 표면에서 재거나 그 반대로 하는 것.
• 도심의 깊이 대신 윗변이나 아랫변의 깊이를 쓰는 것.
• 표면에서 시작하는 벽에서 ½를 잊는 것.
• g를 빼거나 기름이나 바닷물에 물의 밀도를 쓰는 것.

7시험 문제의 유형

• 쉬움: 표면에서 아래로 내려가는 수직 벽에 닿은 물. F = ½ρgh²b 또는 바닥 위 높이 ȳ = h/3을 구합니다.
• 보통: 물속에 잠긴 직사각형 수문. 예제처럼 F = ρg·y_c·A를 구합니다.
• 어려움: 기름, 바닷물, 글리세린 속의 같은 수문, 그리고 때때로 압력 중심의 깊이 y_cp.

예제의 수문에서 I_c = 2 · 2³/12 = 1.333 m⁴이므로 y_cp = 2 + 1.333/(2 · 4) = 표면 아래 2.167 m입니다. 도심보다 0.167 m 아래입니다.