전단력과 휨 모멘트: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 전단력과 휨 모멘트 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 집중 하중, 전 경간 분포 하중, 집중 하중 + 분포 하중.

무료 연습 문제쉬움
P = 60 kNAB2.5 m2.5 m

단순보에 집중 하중 P 하나가 작용한다. 하중 바로 오른쪽의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 60 kN 위치 2.5 m
kN
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전단력과 휨 모멘트 무료로 연습하기지금 전단력과 휨 모멘트 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움집중 하중
  2. 보통전 경간 분포 하중
  3. 어려움집중 하중 + 분포 하중

전단력과 휨 모멘트 문제 푸는 방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

흔한 실수

  • 절단면 양쪽의 하중을 모두 포함하는 것.
  • 정모멘트(아래로 처지는)와 부모멘트(위로 휘는)에 잘못된 부호 규약을 쓰는 것.
  • 굽힘 모멘트를 묻는데 전단력으로 답하는 것.

핵심 공식

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

전단력과 휨 모멘트 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 보의 지점 반력

1보 내부에서 일어나는 일

반력 수업에서는 보에 작용하는 외부의 힘을 구했습니다. 이제 내부를 살펴봅니다. 보의 한 점에서 재료는 무엇을 견뎌야 할까요?

보를 어느 지점에서 톱으로 둘로 자른다고 상상해 보세요. 두 조각 모두 떨어질 것입니다. 제자리에 두려면 다른 쪽 조각이 두 가지 내부 작용으로 붙잡아야 합니다:

  • 전단력 V: 한쪽이 다른 쪽에 대해 위나 아래로 미끄러지지 않게 합니다(단위 kN).
  • 굽힘 모멘트 M: 한쪽이 다른 쪽에 대해 회전하지 않게 합니다(단위 kN·m).
PAB2 m2 m2 m

웃는 모양으로 휘며 아래쪽이 늘어나는 보는 정(+)굽힘(sagging) 상태입니다. 발코니처럼 찡그린 모양으로 휘는 보는 부(−)굽힘(hogging) 상태입니다.

보의 굽힘 응력이 M에 따라 커지기 때문에 공학자는 M이 필요하고, 받침부 근처에서 보가 전단으로 끊어지면 안 되기 때문에 V가 필요합니다.

자가 점검 단순 지지보가 아래 방향 하중을 받습니다. 보의 어느 쪽이 늘어납니까?
  1. 아래쪽: 보가 정(+)굽힘 상태입니다
  2. 양쪽이 똑같이
  3. 어느 쪽도 아니며, 보는 줄어들기만 합니다
  4. 위쪽: 보가 부(−)굽힘 상태입니다

답: 아래쪽: 보가 정(+)굽힘 상태입니다. 두 받침 위의 보는 아래 방향 하중을 받으면 웃는 모양으로 휩니다. 아래쪽 섬유는 길어지고(인장), 위쪽 섬유는 짧아집니다(압축).

2단면법

A에서 거리 x인 곳의 V와 M을 구하려면 그곳에서 보를 자르고 절단면의 왼쪽 부분만 남깁니다. 그 부분은 그 자체로 평형 상태입니다.

RA​VMAx

일반적인 부호 규칙: 왼쪽 부분에 작용하는 위 방향 힘은 양(+)의 전단력이고, 정(+)굽힘 모멘트는 양입니다. 이로부터 두 가지 간단한 공식이 나옵니다:

  • 전단력: V = RA에서 절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중을 뺀 값.
  • 굽힘 모멘트: M = RA·x에서, 절단면 왼쪽의 각 하중마다 (하중 × 절단면까지의 거리)를 뺀 값.

절단면 왼쪽의 등분포하중 부분은 반력 수업에서와 같이 그 자체의 중앙에 작용하는 하나의 힘 w·ℓ로 취급합니다.

대신 오른쪽 부분을 남겨도 됩니다. 같은 V와 M을 얻으며, 좋은 검산이 됩니다.

자가 점검 RA = 10 kN입니다. 첫 번째 하중은 A에서 5 m 떨어져 있습니다. x = 3 m에서의 굽힘 모멘트는 얼마입니까?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3.3 kN·m
  4. 30 kN·m

답: 30 kN·m. 절단면 왼쪽에 하중이 없으므로 M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m입니다. 10 kN은 그 위치의 전단력이지 모멘트가 아닙니다.

3선도와 최대 모멘트

모든 x에서 V와 M을 계산하면 전단력 선도와 굽힘 모멘트 선도를 얻습니다. 그 모양은 간단한 규칙을 따릅니다:

  • 집중하중 사이에서 V는 일정하고 M은 직선입니다.
  • 등분포하중 아래에서 V는 직선으로 내려가고 M은 곡선(포물선)입니다.
  • 집중하중이 있으면 V는 그 하중의 크기만큼 갑자기 변합니다.
  • M은 V가 부호를 바꾸며 0을 지나는 곳에서 가장 큽니다.

두 가지 결과는 자주 나오므로 알아 둘 만합니다:

  • 경간 중앙의 집중하중 P: Mmax = P·L / 4
  • 전 경간에 걸친 등분포하중 w: Mmax = w·L² / 8
자가 점검 6 m의 단순 지지보가 전 경간에 4 kN/m의 등분포하중을 받습니다. 최대 굽힘 모멘트는 얼마입니까?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

답: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m이며 경간 중앙에서 생깁니다. 36은 /4를 쓴 값(집중하중 공식)이고, 12 kN은 반력 wL/2입니다.

4단계별 방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 단면 x에서 보를 자르고 왼쪽 부분을 남깁니다.
  3. 전단력: V = RA에서 왼쪽 부분의 모든 아래 방향 하중을 뺀 값.
  4. 굽힘 모멘트: M = RA·x에서 왼쪽 부분의 각 하중에 절단면까지의 거리를 곱한 값을 뺀 값.
  5. 최대 모멘트는 V = 0인 곳을 찾아 그곳에서 M을 계산합니다.

왼쪽 부분을 작은 별도 스케치로 그리세요. 어떤 하중을 포함해야 하는지 분명해집니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

경간 6 m의 단순 지지보가 전 길이에 4 kN/m의 등분포하중을 받습니다. A에서 x = 2 m 지점의 전단력 V와 굽힘 모멘트 M을 구하시오.

1

보를 살펴봅니다

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

지점 반력

전체 하중은 4 · 6 = 24 kN이며 중앙에 작용합니다. 대칭이므로 각 받침이 절반씩 받습니다:

RA = RB = 12 kN
3

왼쪽 부분을 남깁니다

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

왼쪽 부분의 등분포하중은 4 · 2 = 8 kN입니다. 그 자체의 중앙, 절단면에서 1 m 되는 곳에 작용합니다.

4

전단력

V = 12 − 8 = 4 kN
5

휨 모멘트

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

양(+)이므로 이 지점에서 보는 정(+)굽힘 상태입니다.

6

답 검산

대신 오른쪽 부분을 써 봅니다. 길이는 4 m이고, RB = 12 kN이며 절단면에서 2 m 지점에 등분포하중 16 kN이 작용합니다.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

전체 선도는 경간 중앙에서 최대값 wL²/8 = 18 kN·m인 포물선입니다. x = 2 m에서 16 kN·m는 이와 맞습니다.

1618 kN·mMx = 2x = 3
답

V = 4 kN, M = 16 kN·m (정(+)굽힘).

6흔한 실수

  • 절단면 양쪽의 하중을 모두 포함하기. 남긴 부분만 사용하세요.
  • 팔 길이를 절단면이 아니라 A에서 재기. M에서 각 거리는 하중에서 절단면까지입니다.
  • M을 물었는데 V로 답하거나 그 반대로 하기. 단위를 확인하세요: kN인지 kN·m인지.
  • 절단면 왼쪽 부분만이 아니라 등분포하중 전체를 취하기.
  • 부호 규칙을 섞어 쓰기. 일반적인 규칙에서는 아래 방향 하중을 받는 단순 지지보의 모멘트가 어디서나 양(+, 정굽힘)입니다.
자가 점검 4 m 단순 지지보가 경간 중앙에서 20 kN을 받으므로 RA = 10 kN입니다. x = 1 m에서 M은 얼마입니까?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

답: 10 kN·m. 절단면 왼쪽에는 RA만 있으므로 M = 10·1 = 10 kN·m입니다. 0은 절단면 오른쪽에 있는 하중을 잘못 뺀 값입니다. 20 kN·m는 경간 중앙의 최대값 PL/4이고, 10 kN은 전단력입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 집중하중 하나. 하중 위치의 M 또는 바로 옆의 V를 구합니다. 변형 문제에서는 외팔보를 쓰며, M은 벽에서 가장 큽니다.
  • 보통: 예제와 같이 전 경간에 걸친 등분포하중. 주어진 x에서의 V 또는 M, 또는 최대 모멘트를 구합니다.
  • 어려움: 집중하중과 등분포하중이 함께 있거나 부분 등분포하중. 단면에서의 M 또는 V = 0인 곳의 최대 모멘트를 구합니다.

일부 문제는 받침 밖으로 내민 보를 사용합니다. 내민 부분은 부(−)굽힘이므로 그곳의 M은 음수입니다.

항상 반력부터 구하고 스케치에 적어 두세요.

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예제 풀이

예제 1쉬움
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
힌트 보기
  1. 굽힘 모멘트의 최댓값은 전단력의 부호가 바뀌는 곳, 고정 벽, 또는 내민 부분 옆의 지점 위에 있습니다.
  2. 먼저 지점 반력을 구하세요: R1 = 33.33 kN.
  3. 후보 표시점의 모멘트를 비교하세요; 가장 큰 크기는 66.67 kN·m입니다.
정답과 설명 보기

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 33.33 kN, R2 = 6.667 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 66.67 kN·m, MC = 53.33, MD = 40, ME = 26.67, MF = 13.33, MG = 0

답

표시점 B: MB = 66.67 kN·m
예제 2보통
w = 5 kN/mAB단면0.5 m5.5 m

지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 5 kN/m, 0부터 6 m까지x = 0.5 m

구하는 값: Mx (kN·m)

힌트 보기
  1. 먼저 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구합니다.
  2. 그다음 x = 0.5 m에서 보를 자르고 절단면 왼쪽 부분만 봅니다. 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트를 합합니다.
  3. RA = 15 kN.
정답과 단계별 풀이 보기

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15단면0.5 m5.5 m

x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 15·0.5 − 5·0.5·0.25 = 6.875 kN·m

답

Mx = 6.875 kN·m
예제 3어려움
w = 6 kN/mP = 45 kNAB단면1.5 m3.5 m1 m

지점 A에서 x = 5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 45 kN 위치 1.5 mw = 6 kN/m, 0부터 6 m까지x = 5 m

구하는 값: Mx (kN·m)

힌트 보기
  1. 먼저 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구합니다.
  2. 그다음 x = 5 m에서 보를 자르고 절단면 왼쪽 부분만 봅니다. 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트를 합합니다.
  3. RA = 51.75 kN.
정답과 단계별 풀이 보기

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1.5 + 6·6·3
RB = 175.5/6 = 29.25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29.25 = 51.75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51.75RB​ = 29.25단면1.5 m3.5 m1 m

x = 5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 51.75·5 − 45·(5 − 1.5) − 6·5·2.5 = 26.25 kN·m

답

Mx = 26.25 kN·m

질문과 답변

전단력과 휨 모멘트: 무엇인가요?

반력 수업에서는 보에 작용하는 외부의 힘을 구했습니다. 이제 내부를 살펴봅니다. 보의 한 점에서 재료는 무엇을 견뎌야 할까요?

보를 어느 지점에서 톱으로 둘로 자른다고 상상해 보세요. 두 조각 모두 떨어질 것입니다. 제자리에 두려면 다른 쪽 조각이 두 가지 내부 작용으로 붙잡아야 합니다:

전단력과 휨 모멘트 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?
  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
전단력과 휨 모멘트에서 자주 하는 실수는?
  • 절단면 양쪽의 하중을 모두 포함하는 것.
  • 정모멘트(아래로 처지는)와 부모멘트(위로 휘는)에 잘못된 부호 규약을 쓰는 것.
  • 굽힘 모멘트를 묻는데 전단력으로 답하는 것.
전단력과 휨 모멘트 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 집중 하중
  • 보통: 전 경간 분포 하중
  • 어려움: 집중 하중 + 분포 하중

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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보의 지점 반력

다음 단계

보의 처짐

계산기

전단력도·휨 모멘트도 계산기굽힘 응력 계산기(σ = My/I)

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