도심과 단면 2차 모멘트: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 도심과 단면 2차 모멘트 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 도심, 단면 2차 모멘트, 휨 응력.

무료 연습 문제쉬움
1002516012ȳ = ?치수 단위: mm

T형 단면의 아래 가장자리에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
mm
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도심과 단면 2차 모멘트 무료로 연습하기지금 도심과 단면 2차 모멘트 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움도심
  2. 보통단면 2차 모멘트
  3. 어려움휨 응력

핵심 공식

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

도심과 단면 2차 모멘트 처음부터 배우기

1단면의 모양이 중요한 이유

보를 곧게 가로로 자르고 절단면을 보세요. 그 모양이 단면, 또는 그냥 절단면입니다.

100 × 20 mm 나무 널빤지를 생각해 보세요. 틈 위에 납작하게 걸치면 크게 처집니다. 같은 널빤지를 모서리로 세우면 면적이 똑같은데도 훨씬 뻣뻣합니다.

1002020100ab

중요한 것은 재료가 보가 휘는 축에서 얼마나 멀리 있는가입니다. 그 축에서 멀리 있는 재료가 훨씬 더 열심히 일합니다.

두 성질이 이를 설명합니다. 도심은 단면의 기하학적 중심으로, 보는 그것을 지나는 축을 중심으로 휩니다. 단면 이차 모멘트 I는 면적이 그 축에서 얼마나 멀리 퍼져 있는지를 측정합니다.

자가 점검 같은 널빤지를 수평 축을 중심으로 휘게 하면서 납작하게(a) 또는 모서리로 세워(b) 씁니다. 어느 쪽이 더 뻣뻣합니까?
  1. 납작한 쪽(a)
  2. 면적이 같으므로 둘이 같다
  3. 세운 쪽(b)
  4. 재료에만 달려 있다

답: 세운 쪽(b). 세우면 재료가 휨 축에서 더 멀리 놓입니다. 면적은 같지만 중요한 것은 축으로부터의 거리입니다.

2복합 단면의 도심

직사각형의 도심은 가운데에 있습니다. T형 같은 많은 보 단면은 직사각형들로 이루어져 있습니다.

단면을 직사각형들로 나누세요. 각각에 대해 면적 Ai와 자기 도심의 높이 yi를 하나의 기준선, 보통 아래 모서리에서 재어 구하세요.

전체 단면의 도심은 그 높이들의 면적 가중 평균입니다:

ȳ = Σ Ai·yi / Σ Ai

큰 부분이 도심을 자기 쪽으로 끌어당깁니다. 플랜지가 위에 있는 T형 단면에서는 도심이 중간 높이보다 위에 있습니다.

자가 점검 부분 1은 y = 20 mm에서 A = 3000 mm²이고, 부분 2는 y = 100 mm에서 A = 1000 mm²입니다. 도심은 어디에 있습니까?
  1. ȳ = 160 mm
  2. ȳ = 40 mm
  3. ȳ = 60 mm
  4. ȳ = 80 mm

답: ȳ = 40 mm. ȳ = (3000·20 + 1000·100)/4000 = 160 000/4000 = 40 mm입니다. 60 mm는 면적을 무시한 높이의 단순 평균입니다. 80 mm는 면적을 바꿔 쓴 값입니다.

3단면 이차 모멘트

폭 b, 높이 h인 직사각형을 자기 도심을 지나는 수평 축을 중심으로 휘게 할 때:

Ic = b · h³ / 12

높이를 세제곱하므로 모서리로 세운 널빤지가 25배 뻣뻣합니다: 20·100³ / (100·20³) = 25.

복합 단면에서는 각 부분이 전체 도심을 지나는 축에서 어느 거리 d만큼 떨어져 있습니다. 평행축 정리는 그 어긋남에 대한 항을 더합니다:

I = Σ ( Ic,i + Ai · di² )

단위는 mm⁴입니다. 숫자가 커지므로 답을 흔히 “× 10⁶ mm⁴”로 줍니다.

I를 구하면 도심축에서 거리 y인 곳의 굽힘 응력이 굽힘 모멘트 M으로부터 나옵니다:

σ = M · y / I
자가 점검 폭 100 mm, 높이 20 mm인 직사각형: 자기 수평 도심축에 대한 I는 얼마입니까?
  1. 1 666 667 mm⁴
  2. 400 000 mm⁴
  3. 66 667 mm⁴
  4. 800 000 mm⁴

답: 66 667 mm⁴. I = bh³/12 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴입니다. 1 666 667은 b와 h를 바꾼 값(모서리로 세운 널빤지)이고, 800 000은 12로 나누는 것을 잊은 값입니다.

4단계별 방법

  1. 단면을 직사각형들로 나누고 번호를 붙이세요.
  2. 각 부분마다: 면적 Ai와 도심 높이 yi를 모두 아래 모서리에서 재세요.
  3. 도심: ȳ = ΣAiyi / ΣAi.
  4. 각 부분마다: 자기 Ic = bh³/12과 거리 di = yi − ȳ.
  5. 더하세요: I = Σ(Ic,i + Aidi²).
  6. 응력을 물으면: σ = M·y/I이며 y는 축에서 필요한 모서리까지의 거리입니다.

A, y, A·y, Ic, d, A·d² 열이 있는 작은 표를 만들면 모든 것이 정돈됩니다.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

T형 단면은 100 × 20 mm 플랜지가 20 × 100 mm 웨브 위에 얹혀 있습니다. 도심 높이 ȳ, 단면 이차 모멘트 Ix, 그리고 정(+)굽힘 모멘트 4 kN·m에서 위쪽과 아래쪽 모서리의 굽힘 응력을 구하시오.

1

두 직사각형으로 나누기

100201002012

플랜지(1): A1 = 100·20 = 2000 mm², 도심은 y1 = 100 + 10 = 110 mm.

웨브(2): A2 = 20·100 = 2000 mm², 도심은 y2 = 50 mm.

2

도심

ȳ = (2000·110 + 2000·50) / 4000 = 80 mm

두 면적이 같으므로 ȳ는 110과 50 mm의 한가운데입니다.

3

각자의 단면 이차 모멘트

Ic,1 = 100·20³/12 = 66 667 mm⁴
Ic,2 = 20·100³/12 = 1 666 667 mm⁴
4

평행축 항

1002010020xȳ = 80

각 도심은 축 x에서 30 mm 떨어져 있습니다: d1 = 110 − 80 = 30 mm, d2 = 50 − 80 = −30 mm.

각 부분에 대해:

A·d² = 2000·30² = 1 800 000 mm⁴
5

전체 단면 이차 모멘트

Ix = 66 667 + 1 800 000 + 1 666 667 + 1 800 000 = 5 333 333 mm⁴ ≈ 5.33 × 10⁶ mm⁴
6

굽힘 응력

M = 4 kN·m = 4 × 10⁶ N·mm. 아래쪽 모서리는 축에서 80 mm, 위쪽 모서리는 120 − 80 = 40 mm입니다.

σbottom = 4 × 10⁶ · 80 / 5 333 333 = 60 MPa
σtop = 4 × 10⁶ · 40 / 5 333 333 = 30 MPa

아래쪽 모서리는 인장, 위쪽 모서리는 압축입니다. 모든 정(+)굽힘 보가 그렇듯이.

답

ȳ = 80 mm, Ix = 5.33 × 10⁶ mm⁴, σbottom = 60 MPa, σtop = 30 MPa.

6흔한 실수

  • A·d² 항을 잊기. 그것이 없으면 각 부분의 I만 더한 것이라 훨씬 너무 작습니다.
  • 높이 yi를 서로 다른 기준선에서 재기. 아래 모서리를 택하고 끝까지 쓰세요.
  • 전체 도심이 아니라 아래 모서리로부터의 d를 쓰기.
  • bh³/12에서 b와 h를 바꾸기. 휨 축에 수직인 치수를 세제곱합니다.
  • σ = M·y/I에서 잘못된 모서리 거리를 쓰기. 축에서 가장 먼 모서리가 가장 큰 응력을 가집니다.
자가 점검 100 × 20 mm 직사각형(폭 × 높이)의 도심이 축 x에서 50 mm 떨어져 있습니다. 이것이 Ix에 기여하는 값은 얼마입니까?
  1. 0.067 × 10⁶ mm⁴
  2. 5.00 × 10⁶ mm⁴
  3. 5.07 × 10⁶ mm⁴
  4. 6.67 × 10⁶ mm⁴

답: 5.07 × 10⁶ mm⁴. I = bh³/12 + A·d² = 66 667 + 2000·50² = 5 066 667 mm⁴입니다. 0.067 × 10⁶은 A·d²를 잊은 값, 5.00 × 10⁶은 자기 항을 잊은 값이며, 6.67 × 10⁶은 1 666 667(b와 h를 바꿈)에 A·d²를 더한 값입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 도심. T형 단면의 아래 모서리 위 ȳ를 구합니다. 변형 문제: 앵글 단면, 또는 단일 직사각형, 원(πd⁴/64), 박스의 I.
  • 보통: 단면 이차 모멘트. 도심축에 대한 T형 단면의 Ix를 구합니다. 변형 문제: I형 단면, 채널, 회전 반경 r = √(I/A).
  • 어려움: 굽힘 응력. T형 단면이 모멘트 M을 받습니다. σ = M·y/I로 위쪽 또는 아래쪽 모서리의 응력을 구합니다.

주어진 치수는 플랜지의 bf와 tf, 웨브의 tw와 hw입니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
260102808ȳ = ?치수 단위: mm

T형 단면의 아래 가장자리에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm

구하는 값: ȳ (mm)

힌트 보기
  1. T를 플랜지와 웨브로 나누고 각각의 면적과 도심 높이를 구합니다.
  2. ȳ = ΣA·y / ΣA, 모든 y는 아래 가장자리에서 잰 값.
  3. Af = 2600 mm², Aw = 2240 mm².
정답과 단계별 풀이 보기

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
웨브: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·285 + 2240·140)/4840 = 217.9 mm

답

ȳ = 217.9 mm
예제 2보통
100 mm240 mm156 mmØ30xIx​ = ?

100 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 156 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 156 mm

구하는 값: Ix (× 10⁶ mm⁴)

힌트 보기
  1. 먼저 도심을 구하세요: 판에서 구멍을 뺀 것.
  2. ȳ = 118.9 mm.
  3. 그다음 ȳ에 대해 I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²).
정답과 단계별 풀이 보기

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (24000·120 − 706.9·156)/(24000 − 706.9) = 118.9 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·240³/12 + 24000·1.092² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·30⁴/64 + 706.9·37.09² = 1.012 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 114.2 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 114.2 × 10⁶ mm⁴
예제 3어려움
100 mm200 mm120 mm30 × 20xIx​ = ?

100 mm × 200 mm 판에 폭 30 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 200 mm절취부: 30 × 20 mm구멍 중심: y = 120 mm

구하는 값: Ix (× 10⁶ mm⁴)

힌트 보기
  1. 먼저 도심을 구하세요: 판에서 구멍을 뺀 것.
  2. ȳ = 99.38 mm.
  3. 그다음 ȳ에 대해 I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²).
정답과 단계별 풀이 보기

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (20000·100 − 600·120)/(20000 − 600) = 99.38 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·200³/12 + 20000·0.6186² = 66.67 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

30·20³/12 + 600·20.62² = 0.2751 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 66.4 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 66.4 × 10⁶ mm⁴

질문과 답변

도심과 단면 2차 모멘트: 무엇인가요?

보를 곧게 가로로 자르고 절단면을 보세요. 그 모양이 단면, 또는 그냥 절단면입니다.

100 × 20 mm 나무 널빤지를 생각해 보세요. 틈 위에 납작하게 걸치면 크게 처집니다. 같은 널빤지를 모서리로 세우면 면적이 똑같은데도 훨씬 뻣뻣합니다.

도심과 단면 2차 모멘트 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심과 단면 2차 모멘트 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 도심
  • 보통: 단면 2차 모멘트
  • 어려움: 휨 응력

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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