기둥의 좌굴: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 기둥의 좌굴 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 양단 핀, 기타 단부 조건, 설계와 임계 응력.

무료 연습 문제쉬움
PL = 2.5 m40 × 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 80 mm
kN
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기둥의 좌굴 무료로 연습하기지금 기둥의 좌굴 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

  1. 쉬움양단 핀
  2. 보통기타 단부 조건
  3. 어려움설계와 임계 응력

핵심 공식

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기둥의 좌굴 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 도심과 단면 2차 모멘트

1좌굴이란

플라스틱 자의 양 끝을 눌러 보세요. 처음에는 아무 일도 일어나지 않는 것 같습니다. 그러다 꽤 갑자기 옆으로 휘어 나옵니다. 이것이 좌굴입니다.

기둥은 길이 방향으로 압축 하중을 받는 부재입니다. 건물 기둥, 지붕의 버팀대, 피스톤 로드가 그 예입니다.

PL

짧고 굵은 기둥은 압괴로 파괴됩니다. 응력 P/A가 재료의 강도에 도달하는 경우입니다. 길고 가는 기둥은 응력이 그 강도에 훨씬 못 미치는 상태에서 훨씬 낮은 하중에서 좌굴합니다.

가는 기둥이 좌굴하는 하중이 임계 하중 Pcr입니다. 이를 넘으면 기둥은 불안정해져 무너집니다.

자가 점검 단면이 같은 강철 기둥 두 개가 있습니다. 하나는 길이 2 m, 다른 하나는 4 m입니다. 어느 쪽이 더 낮은 하중에서 좌굴합니까?
  1. 2 m 기둥
  2. 4 m 기둥
  3. 둘 다 같은 하중에서
  4. 어느 쪽도 아님: 강철 기둥은 좌굴하지 않는다

답: 4 m 기둥. 더 긴 기둥은 더 가늘어서 더 쉽게 좌굴합니다. 길이는 좌굴에서 가장 중요한 요인입니다.

2오일러 공식

레온하르트 오일러가 가는 기둥의 임계 하중을 구했습니다:

Pcr = π² · E · I / (K·L)²
  • E는 재료의 영률입니다. 강철은 200 GPa입니다.
  • I는 단면의 단면 이차 모멘트입니다. 가장 작은 값을 사용하세요. 기둥은 쉬운 방향으로 휩니다.
  • L은 길이이고, K는 유효 길이 계수로 양 끝이 어떻게 지지되는지에 따라 달라집니다.
K = 1K = 2K = 0.7K = 0.5

핀 지지 끝은 회전할 수 있고, 고정 끝은 회전할 수 없습니다. 양 끝을 더 단단히 지지하면 유효 길이 KL이 짧아지고 KL이 제곱되므로 Pcr가 훨씬 높아집니다.

원형 봉에서는 I = π·d⁴/64입니다. 직사각형 b × h에서 b가 더 작은 변이면 Imin = h·b³/12입니다.

자가 점검 양단 핀 지지 기둥의 Pcr = 100 kN입니다. 같은 기둥을 아래는 고정하고 위는 자유로 만듭니다(K = 2). 이제 Pcr는 얼마입니까?
  1. 200 kN
  2. 25 kN
  3. 400 kN
  4. 50 kN

답: 25 kN. Pcr는 K² = 4로 나뉩니다: 100/4 = 25 kN입니다. 50 kN은 K를 제곱하지 않은 값이고, 200 kN과 400 kN은 나누지 않고 곱한 값입니다.

3세장비와 임계 응력

Pcr를 면적으로 나누면 임계 응력이 됩니다. 회전 반경 r과 세장비 λ(람다)로 쓰면 가장 깔끔합니다:

r = √(I / A) λ = K·L / r σcr = π² · E / λ²

속이 찬 원형 봉에서는 r = d/4입니다.

오일러 공식은 σcr가 재료의 항복 응력보다 낮을 때만 성립합니다. 구조용 강재에서는 대략 세장비 λ > 100을 뜻합니다. 더 땅딸막한 기둥은 항복이나 둘의 혼합으로 파괴되며 다른 설계 규칙이 필요합니다.

자가 점검 직사각형 기둥 단면이 20 mm × 40 mm입니다. 가장 작은 단면 이차 모멘트는 얼마입니까?
  1. 106 667 mm⁴
  2. 26 667 mm⁴
  3. 320 000 mm⁴
  4. 7854 mm⁴

답: 26 667 mm⁴. 약축에서는 작은 변을 세제곱합니다: 40·20³/12 = 26 667 mm⁴입니다. 106 667은 강축 값이고, 320 000은 /12를 빠뜨린 값이며, 7854는 원의 공식을 쓴 값입니다.

4단계별 방법

  1. 끝단 조건을 읽고 K를 고르세요: 1, 2, 0.7 또는 0.5.
  2. 단면의 가장 작은 I를 mm⁴ 단위로 구하세요.
  3. N과 mm로 변환하세요: L은 mm, E는 N/mm²(GPa × 1000).
  4. 유효 길이: KL.
  5. 임계 하중: Pcr = π²EI/(KL)², 단위 N. kN으로는 1000으로 나눕니다.
  6. 요구되면 세장비 KL/r 또는 임계 응력 Pcr/A를 확인하세요.

안전율 n이 주어진 설계 문제에서는 기둥이 Pcr = n·P를 가져야 합니다. 오일러 공식을 I에 대해 풀고, 그다음 지름을 구하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

지름 40 mm, 길이 2 m의 속이 찬 원형 강철 기둥(E = 200 GPa)이 양단 핀 지지되어 있습니다. 임계 좌굴 하중 Pcr를 구하시오. 그다음 같은 기둥이 아래는 고정, 위는 자유일 때를 다시 구하시오.

1

기둥을 살펴봅니다

PL = 2 m

양단이 핀 지지이므로 K = 1이고 KL = 2000 mm입니다. E = 200 000 N/mm²입니다.

2

단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다:

I = π · 40⁴ / 64 = 125 664 mm⁴
3

임계 하중

Pcr = π² · 200 000 · 125 664 / 2000² = 62 013 N ≈ 62.0 kN
4

오일러 공식이 적용되는지 확인합니다

r = d/4 = 10 mm λ = 2000 / 10 = 200
σcr = π² · 200 000 / 200² = 49.3 MPa

이는 강철의 항복 응력(약 250 MPa)보다 훨씬 낮으므로 기둥은 가늘며 오일러 공식은 유효합니다.

5

아래 고정, 위 자유

이제 K = 2이므로 유효 길이는 4000 mm로 두 배가 되고 Pcr는 2² = 4분의 1로 줄어듭니다:

Pcr = 62.0 / 4 = 15.5 kN
답

양단 핀 지지일 때 Pcr = 62.0 kN, 아래 고정·위 자유일 때 15.5 kN.

6흔한 실수

  • 잘못된 K를 고르거나 K를 제곱하는 것을 잊기.
  • 직사각형의 더 큰 I를 사용하기. 기둥은 항상 약축을 중심으로 좌굴합니다.
  • 단위를 섞기: L은 미터, E는 N/mm². 처음부터 끝까지 N과 mm로 계산하세요.
  • π·d⁴/64 대신 π·d⁴/32(비틀림의 극관성 모멘트 J)를 쓰기.
  • 임계 응력이 항복 응력보다 높게 나오는 짧고 땅딸막한 기둥에 오일러 공식을 적용하기.
자가 점검 양단 핀 지지 기둥의 Pcr = 40 kN입니다. 같은 기둥이 양단 고정이면(K = 0.5) Pcr는 얼마입니까?
  1. 10 kN
  2. 160 kN
  3. 20 kN
  4. 80 kN

답: 160 kN. Pcr는 K² = 0.25로 나뉘므로 네 배가 됩니다: 160 kN입니다. 80 kN은 K를 제곱하지 않은 값이고, 10 kN은 나누지 않고 K²를 곱한 값입니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 핀 지지 끝. 원형 또는 직사각형 강철이나 알루미늄 기둥의 Pcr를 구합니다.
  • 보통: 다른 끝단 조건. K = 2, 0.7 또는 0.5로 같은 문제를 풉니다.
  • 어려움: 설계와 임계 응력. 안전율을 두고 하중을 견디는 가장 작은 지름을 구하거나, 세장비와 σcr를 구합니다.

원형 봉의 설계 경우에는 d = (64·n·P·(KL)² / (π³·E))1/4입니다.

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예제 풀이

예제 1쉬움
PL = 5 md = 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm

구하는 값: Pcr (kN)

힌트 보기
  1. 오일러: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. 유효 길이 계수: 양단 핀인 기둥은 K = 1.
  3. I = 306796 mm⁴.
정답과 단계별 풀이 보기

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/5000² = 8478 N = 8.478 kN

답

Pcr = 8.478 kN
예제 2보통
PL = 2.5 md = 30 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

구하는 값: Pcr (kN)

힌트 보기
  1. 오일러: Pcr = π²EI/(KL)².
  2. 유효 길이 계수: 하단 고정, 상단 자유인 기둥은 K = 2.
  3. I = 39761 mm⁴.
정답과 단계별 풀이 보기

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2500 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3.139 kN

답

Pcr = 3.139 kN
예제 3어려움
PL = 2.5 md = 25 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

구하는 값: σcr (MPa)

힌트 보기
  1. σcr = Pcr/A = π²E/(KL/r)², r = √(I/A)는 회전 반경.
  2. 기둥은 가장 약한 축에 대해 좌굴하므로 가장 작은 I를 사용합니다.
  3. r = 6.25 mm.
정답과 단계별 풀이 보기

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

답

σcr = 4.318 MPa

질문과 답변

기둥의 좌굴: 무엇인가요?

플라스틱 자의 양 끝을 눌러 보세요. 처음에는 아무 일도 일어나지 않는 것 같습니다. 그러다 꽤 갑자기 옆으로 휘어 나옵니다. 이것이 좌굴입니다.

짧고 굵은 기둥은 압괴로 파괴됩니다. 응력 P/A가 재료의 강도에 도달하는 경우입니다. 길고 가는 기둥은 응력이 그 강도에 훨씬 못 미치는 상태에서 훨씬 낮은 하중에서 좌굴합니다.

기둥의 좌굴 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

기둥의 좌굴 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 양단 핀
  • 보통: 기타 단부 조건
  • 어려움: 설계와 임계 응력

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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