압밀 침하: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 압밀 침하 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 정규 압밀 점토, 과압밀 점토, 압밀 소요 시간.

무료 연습 문제쉬움
Δσ = 110 kPa모래점토Cc​ = 0.5e0​ = 1.15σ′0​ = 135 kPa7.5 m지하수위

두께 7.5 m인 정규 압밀 점토층(Cc = 0.5, e₀ = 1.15)의 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 135 kPa이다. 넓은 성토가 점토층의 연직 응력을 110 kPa 증가시킨다. 층을 하나의 소층으로 보고 중간 깊이의 응력을 쓴다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 7.5 mCc = 0.5e0 = 1.15σ′0 = 135 kPaΔσ = 110 kPa
mm
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연습 내용

  1. 쉬움정규 압밀 점토
  2. 보통과압밀 점토
  3. 어려움압밀 소요 시간

핵심 공식

정규 압밀
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
최종 응력
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
과압밀, σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
과압밀, σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
과압밀비
OCR = σ′p/σ′0
압밀 소요 시간
t = Tv·Hdr²/cv
배수 거리
Hdr = H/2(양면 배수), H(일면 배수)
시간 계수
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

압밀 침하 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 지반의 유효 응력

1압밀 침하란 무엇인가

점토층 위에 건물을 지으면 추가 하중이 점토를 누릅니다. 물이 공극 밖으로 밀려나고 입자들이 서로 가까워집니다. 지표면이 가라앉습니다. 이것이 압밀 침하입니다.

점토는 공극이 매우 작아서 물이 천천히 빠져나갑니다. 점토 위의 건물은 몇 년 동안 계속 침하할 수 있습니다.

공극 공간의 양은 간극비 e로 잽니다. 공극의 부피를 고체 입자의 부피로 나눈 것입니다. e = 1인 점토는 공극 부피가 입자 부피와 같습니다.

점토가 눌리면 e가 줄어듭니다. 층은 전체 부피의 같은 비율만큼 얇아집니다.

S = H · Δe / (1 + e0)

여기서 H는 층의 두께, e0은 처음 간극비, Δe는 간극비의 감소입니다. 1 + e0은 입자의 단위 부피당 전체 부피입니다.

자가 점검 점토층은 몇 년이 걸려 침하하는데 모래는 거의 즉시 침하하는 이유는 무엇인가?
  1. 물이 매우 작은 공극에서 빠져나가야 해서 시간이 걸리기 때문이다
  2. 점토 입자가 모래 입자보다 무겁기 때문이다
  3. 점토는 공극에 물이 없기 때문이다
  4. 점토에 가해지는 하중이 몇 년에 걸쳐 천천히 커지기 때문이다

답: 물이 매우 작은 공극에서 빠져나가야 해서 시간이 걸리기 때문이다. 침하하려면 물이 공극에서 빠져나가야 합니다. 점토에서는 공극이 아주 작아 물이 천천히 흘러나갑니다. 모래에서는 거의 즉시 빠져나갑니다.

2정규 압밀 점토와 과압밀 점토

시험에서는 유효응력 σ′의 로그에 대해 그리면 e가 직선으로 줄어듭니다. 그 직선의 기울기가 압축 지수 Cc입니다.

log σ′eσ′p​σ′0​Cr​Cc​

어떤 점토는 과거에 빙하나 그 뒤 침식된 흙 때문에 더 무거운 하중을 받았습니다. 점토가 지금까지 지탱한 가장 큰 유효응력이 선행 압밀 압력 σ′p입니다.

  • σ′p 아래에서 점토는 기울기가 Cr, 즉 재압축 지수인 평평한 선을 따라 재압축될 뿐입니다. Cr은 작아서 흔히 Cc/10입니다.
  • σ′p 위에서 점토는 기울기가 Cc인 가파른 선을 따릅니다.

지금 σ′0 = σ′p인 점토는 정규 압밀(NC)입니다. σ′0 < σ′p인 점토는 과압밀(OC)입니다. 과압밀비는 OCR = σ′p/σ′0입니다.

σ′f = σ′0 + Δσ를 최종 유효응력이라 할 때, 침하량은 다음과 같습니다.

NC: S = Cc·H/(1 + e0) · log₁₀(σ′f/σ′0)
OC, σ′f ≤ σ′p: S = Cr·H/(1 + e0) · log₁₀(σ′f/σ′0)
OC, σ′f > σ′p: S = H/(1 + e0) · [Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]

모든 응력은 점토층의 가운데에서 취하며, 이는 층 전체의 평균을 대표합니다.

자가 점검 점토의 σ′₀ = 60 kPa, σ′p = 120 kPa이다. 하중이 응력을 σ′f = 100 kPa로 올린다. 어떤 지수를 쓰는가?
  1. 120 kPa까지는 Cr, 그 뒤에는 Cc
  2. Cc만
  3. Cr만
  4. 어느 것도 아니다. 점토는 침하하지 않는다

답: Cr만. 최종 응력 100 kPa은 σ′p = 120 kPa보다 낮으므로 점토는 평평한 Cr 선을 따라 재압축될 뿐입니다. Cc는 120 kPa보다 위에서만 필요합니다.

3걸리는 시간

최종 침하량의 일정 부분에 이르는 시간은 물이 이동해야 하는 거리에 달려 있습니다. 그 거리가 배수 거리 Hdr입니다.

  • 점토 위아래에 모래(또는 다른 배수가 잘되는 층)가 있으면 물이 양면에서 빠져나가므로 Hdr = H/2입니다. 이것이 양면 배수입니다.
  • 아래가 암반이나 다른 불투수층이면 물이 위로만 빠져나갈 수 있으므로 Hdr = H입니다. 이것이 단면 배수입니다.
HHdr​ = H/2
t = Tv · Hdr² / cv

cv는 점토의 압밀 계수로, 예를 들어 m²/년입니다. Tv는 원하는 압밀도 U에 대한 시간 계수입니다: 50%는 0.197, 70%는 0.403, 90%는 0.848.

예: 암반 위의 4 m 점토층, cv = 2 m²/년, U = 50%. t = 0.197 · 4²/2 = 1.576년. 아래에 모래가 있으면 Hdr = 2 m이고 t = 0.394년으로 네 배 빠릅니다.

자가 점검 6 m 두께의 점토층이 두 모래층 사이에 있다. 배수 거리 Hdr은 얼마인가?
  1. 1.5 m
  2. 12 m
  3. 3 m
  4. 6 m

답: 3 m. 물이 위와 아래로 빠져나가므로 가장 긴 경로는 층의 절반 6/2 = 3 m입니다. 6 m 전체를 쓰는 것은 한 면이 막혀 있을 때만 맞습니다.

4단계별 방법

  1. 점토의 가운데에서 처음 유효응력 σ′0을 구하세요(주어지거나 흙 단면에서).
  2. 추가 응력을 더하세요: σ′f = σ′0 + Δσ.
  3. 점토의 유형을 정하세요. σ′p나 OCR이 주어지면 σ′f를 σ′p = OCR·σ′0와 비교하세요.
  4. 맞는 공식을 고르고 ln이 아니라 log₁₀을 쓰세요.
  5. S는 요구된 단위로 쓰세요: 미터에 1000을 곱하면 밀리미터입니다.

시간 문제에서는 위와 아래의 배수로부터 Hdr을 구한 다음 t = Tv·Hdr²/cv를 쓰세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

두께 4 m의 정규 압밀 점토층(Cc = 0.3, e0 = 1.0)의 중간 깊이에서 σ′0 = 100 kPa이다. 넓은 성토가 Δσ = 100 kPa을 더한다. 1차 압밀 침하량 S를 mm로 구하시오.

1

층 살펴보기

H = 4 mσ′0​ = 100 kPaΔσ = 100 kPaCc​ = 0.3e0​ = 1.0

점토는 정규 압밀이므로 응력 증가 전체가 Cc 선을 따릅니다.

2

최종 유효 응력

σ′f = σ′0 + Δσ = 100 + 100 = 200 kPa
3

로그

log₁₀(σ′f/σ′0) = log₁₀(200/100) = log₁₀ 2 = 0.301
4

층 계수

Cc·H/(1 + e0) = 0.3 · 4/(1 + 1.0) = 0.6 m
5

침하량

S = 0.6 · 0.301 = 0.1806 m = 180.6 mm
6

답 검산

간극비는 Δe = Cc·0.301 = 0.0903만큼 줄어듭니다. 그러면 S = H·Δe/(1 + e0) = 4 · 0.0903/2 = 0.1806 m입니다. 층의 4.5%로 연약 점토에서 보통의 값입니다.

답

S ≈ 181 mm(0.1806 m).

6흔한 실수

  • log₁₀ 대신 ln을 쓰는 것. 그러면 답이 2.3배 커집니다.
  • 1 + e0으로 나누는 것을 잊는 것.
  • log₁₀((σ′0 + Δσ)/σ′0) 대신 log₁₀(Δσ/σ′0)를 쓰는 것.
  • σ′p 아래에 머무는 과압밀 점토에 Cc를 쓰는 것.
  • 점토가 암반 위에 있을 때 Hdr = H/2로 두거나, 양면이 배수될 때 Hdr = H로 두는 것.
  • 시간 공식에서 Hdr을 제곱하는 것을 잊는 것.
자가 점검 정규 압밀 점토: Cc = 0.25, H = 4 m, e₀ = 1.0, σ′₀ = 50 kPa, Δσ = 50 kPa. S는 얼마인가?
  1. 0 mm
  2. 150.5 mm
  3. 301.0 mm
  4. 346.6 mm

답: 150.5 mm. S = 0.25·4/2 · log₁₀(100/50) = 0.5 · 0.301 = 0.1505 m입니다. ln을 쓰면 346.6 mm, 1 + e₀을 빼면 301 mm가 되고, log₁₀(Δσ/σ′₀) = log₁₀ 1이면 0이 됩니다.

7시험 문제의 유형

  • 쉬움: 정규 압밀 점토. 예제처럼 H, Cc, e0, σ′0, Δσ가 주어집니다. 때로는 먼저 흙 단면에서 σ′0을 구합니다.
  • 보통: Cr, Cc, σ′p 또는 OCR이 주어진 과압밀 점토. 먼저 σ′f를 σ′p와 비교하고, 넘으면 로그를 σ′p에서 나누세요.
  • 어려움: 압밀에 걸리는 시간. 단면 배수인지 양면 배수인지 정한 뒤 t = Tv·Hdr²/cv를 쓰세요.

과압밀 풀이 예제: H = 2 m, e0 = 1, Cr = 0.04, Cc = 0.4, σ′0 = 50 kPa, σ′p = 100 kPa, Δσ = 100 kPa. 그러면 σ′f = 150 kPa로 σ′p를 넘습니다.

S = 2/2 · [0.04·log₁₀(100/50) + 0.4·log₁₀(150/100)] = 0.0120 + 0.0704 = 0.0825 m

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예제 풀이

예제 1쉬움
Δσ = 70 kPa모래γ = 19 kN/m³4 m점토γsat​ = 18.5 kN/m³Cc​ = 0.2, e0​ = 0.97 m지하수위X

두께 7 m인 정규 압밀 점토층(γsat = 18.5 kN/m³, Cc = 0.2, e₀ = 0.9)이 두께 4 m인 모래층(γ = 19 kN/m³) 아래에 있다. 지하수위는 점토층 윗면에 있으며 γw = 9.81 kN/m³를 쓴다. 넓은 성토가 점토층 전체의 연직 응력을 70 kPa 증가시킨다. 층을 하나의 소층으로 보고 중간 깊이의 응력을 쓴다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

모래: Hs = 4 m, γ = 19 kN/m³점토: H = 7 m, γsat = 18.5 kN/m³γw = 9.81 kN/m³Cc = 0.2e0 = 0.9Δσ = 70 kPa

구하는 값: S (mm)

힌트 보기
  1. 정규 압밀: S = Cc·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′f/σ′₀).
  2. 점토층 중간에서: σ′₀ = γ·Hs + (γsat − γw)·H/2.
  3. Cc·H/(1 + e0) = 0.7368 m.
정답과 단계별 풀이 보기

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

점토층 중간의 유효 응력

모래는 지하수위 위에 있고, 그 아래의 점토는 수중 상태이므로 γsat − γw를 쓰세요.

σ′0 = 19·4 + (18.5 − 9.81)·3.5 = 106.4 kPa

최종 유효 응력

σ′f = 106.4 + 70 = 176.4 kPa

침하량

S = 0.2·7/(1 + 0.9)·log₁₀(176.4/106.4) = 0.7368·0.2195 = 0.1618 m = 161.8 mm

답

S = 161.8 mm
예제 2보통
Δσ = 230 kPa모래점토Cc​ = 0.5, Cr​ = 0.02e0​ = 1.2σ′0​ = 50 kPaσ′p​ = 150 kPa2 m지하수위

두께 2 m인 과압밀 점토층의 Cc = 0.5, Cr = 0.02, e₀ = 1.2이다. 중간 깊이에서 유효 연직 응력은 50 kPa 이고, 선행 압밀 압력은 150 kPa이다. 새 건물이 중간 깊이에서 연직 응력을 230 kPa 더한다. 1차 압밀 침하량 S을(를) mm 단위로 구하시오.

H = 2 mCc = 0.5Cr = 0.02e0 = 1.2σ′0 = 50 kPaσ′p = 150 kPaΔσ = 230 kPa

구하는 값: S (mm)

힌트 보기
  1. 최종 응력 σ′₀ + Δσ를 선행 압밀 압력과 비교하세요.
  2. σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > σ′p = 150 kPa.
  3. 응력 범위를 σ′p에서 나누세요: σ′₀에서 σ′p까지는 Cr, σ′p에서 σ′f까지는 Cc.
정답과 단계별 풀이 보기

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

선행 압밀 압력과 비교

σ′f = 50 + 230 = 280 kPa > 150 kPa

침하량

σ′p까지는 재압축, 그 이후는 처녀 압축.

S = 0.02·2/(1 + 1.2)·log₁₀(150/50) + 0.5·2/(1 + 1.2)·log₁₀(280/150)
S = 8.675 + 123.2 = 131.9 mm

답

S = 131.9 mm
예제 3어려움
모래점토H = 9.5 mcv​ = 3 m²/연도9.5 m모래지하수위

두께 9.5 m인 점토층의 압밀 계수는 cv = 3 m²/year이다. 두 모래층 사이에 있으므로 물이 위아래로 빠져나간다. 평균 압밀도 60%에 대한 시간 계수는 Tv = 0.287이다. 이 층이 압밀도 60%에 도달하는 데 몇 년 t이(가) 걸리는가?

H = 9.5 mcv = 3 m²/연도U = 60%Tv = 0.287양면 배수

구하는 값: t (년)

힌트 보기
  1. t = Tv·Hdr²/cv.
  2. 배수면이 두 개: 물 입자가 이동하는 가장 긴 거리는 층 두께의 절반입니다.
  3. Hdr = 4.75 m.
정답과 단계별 풀이 보기

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

배수 거리

Hdr = H/2 = 9.5/2 = 4.75 m

시간

t = Tv·Hdr²/cv = 0.287·4.75²/3 = 2.158 년

답

t = 2.158 년

질문과 답변

압밀 침하: 무엇인가요?

점토층 위에 건물을 지으면 추가 하중이 점토를 누릅니다. 물이 공극 밖으로 밀려나고 입자들이 서로 가까워집니다. 지표면이 가라앉습니다. 이것이 압밀 침하입니다.

점토는 공극이 매우 작아서 물이 천천히 빠져나갑니다. 점토 위의 건물은 몇 년 동안 계속 침하할 수 있습니다.

압밀 침하 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

두께 H인 점토층의 1차 압밀은 층 중간의 유효 응력을 이용합니다: σ′f = σ′0 + Δσ. 정규 압밀 점토: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). 과압밀 점토는 선행 압밀 압력 σ′p까지는 Cr을 따라 재압축되고, 그 이후에만 Cc를 따릅니다. 시간: t = Tv·Hdr²/cv이며, 배수 거리 Hdr는 물이 위아래로 빠질 수 있으면 H/2, 한쪽으로만 빠지면 H입니다.

압밀 침하에서 자주 하는 실수는?
  • 자연로그 ln이 아니라 상용로그 log₁₀을 쓰세요.
  • Cc·H만 곱하지 말고 1 + e₀로도 나누세요.
  • 로그에는 Δσ/σ′₀가 아니라 최종 응력 ÷ 초기 응력, (σ′₀ + Δσ)/σ′₀를 씁니다.
압밀 침하 연습에서는 무엇을 다루나요?
  • 쉬움: 정규 압밀 점토
  • 보통: 과압밀 점토
  • 어려움: 압밀 소요 시간

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

  • 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
  • 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
  • 진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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