보의 처짐: 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 보의 처짐 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

Q: 보의 처짐 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 캔틸레버, 끝단 하중 보통: 등분포 하중 어려움: 중첩과 설계 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 보의 처짐 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 캔틸레버, 끝단 하중, 등분포 하중, 중첩과 설계.

무료 연습 문제쉬움

캔틸레버의 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 3 kNL = 1.5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

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보의 처짐 무료로 연습하기 지금 보의 처짐 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움캔틸레버, 끝단 하중
보통등분포 하중
어려움중첩과 설계

핵심 공식

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

보의 처짐 처음부터 배우기

먼저 알아 둘 것: 전단력과 휨 모멘트, 도심과 단면 2차 모멘트

1처짐이란

모든 보는 하중을 받으면 조금씩 휩니다. 보의 한 점이 아래로 움직인 거리가 처짐 δ이며 보통 mm 단위입니다.

보는 충분히 튼튼해도 너무 많이 휠 수 있습니다. 그러면 바닥이 출렁이고 회벽에 금이 가고 문이 끼입니다. 바닥의 일반적인 한계는 경간/360입니다: 3.6 m 바닥은 최대 10 mm까지 처질 수 있습니다.

보가 얼마나 처지는지는 네 가지에 달려 있습니다:

하중: 하중이 두 배면 처짐도 두 배입니다;
경간: 처짐은 길이에 따라 매우 빠르게 커집니다(L³ 또는 L⁴);
재료의 영률 E: 더 단단한 재료는 덜 휩니다;
단면의 단면 이차 모멘트 I: 더 깊은 단면은 덜 휩니다.

E와 I는 항상 곱 EI, 즉 보의 휨 강성으로 함께 나타납니다.

자가 점검 보를 단면 이차 모멘트 I가 두 배인 보로 바꿉니다. 나머지는 모두 같습니다. 처짐은 어떻게 됩니까?

4분의 1이 된다
그대로이다
두 배가 된다
절반이 된다

답: 절반이 된다. 처짐은 EI에 반비례합니다. I를 두 배로 하면 δ는 절반이 됩니다.

2표준 공식

처짐은 굽힘 모멘트를 두 번 적분하여 구하지만, 흔한 경우의 결과는 표로 정리되어 있습니다. 네 가지 경우가 대부분의 문제를 다룹니다:

외팔보, 자유단의 집중하중 P: δ = P·L³ / (3·E·I)
외팔보, 전 길이에 걸친 등분포하중 w: δ = w·L⁴ / (8·E·I)
단순 지지보, 경간 중앙의 집중하중 P: δ_max = P·L³ / (48·E·I)
단순 지지보, 전 경간에 걸친 등분포하중 w: δ_max = 5·w·L⁴ / (384·E·I)

외팔보의 최대 처짐은 자유단에서 생기고, 하중이 대칭인 단순 지지보는 경간 중앙에서 생깁니다.

보가 여러 하중을 받을 때는 각 하중이 단독으로 일으키는 처짐을 더합니다. 이것이 중첩입니다.

자가 점검 끝 하중을 받는 외팔보의 끝단 처짐이 2 mm입니다. 이 외팔보의 길이를 두 배로 만듭니다. 새 처짐은 얼마입니까?

16 mm
32 mm
4 mm
8 mm

답: 16 mm. δ는 L³에 비례하므로 L을 두 배로 하면 δ는 2³ = 8배가 됩니다: 2·8 = 16 mm. 4 mm는 선형으로 본 것이고, 32 mm는 등분포하중의 경우인 L⁴를 쓴 것입니다.

3단위: N과 mm로 계산하세요

공식은 단위가 일관될 때만 맞습니다. 안전한 선택은 뉴턴과 밀리미터입니다:

P는 N: kN × 1000.
w는 N/mm: 1 kN/m는 정확히 1 N/mm입니다.
L은 mm: m × 1000.
E는 N/mm²: GPa × 1000. 강철: 200 GPa = 200 000 N/mm².
I는 mm⁴: “36 × 10⁶ mm⁴”는 36 000 000 mm⁴를 뜻합니다.

그러면 처짐이 mm로 나옵니다. L을 세제곱이나 네제곱하므로 숫자가 커집니다. 10의 거듭제곱을 쓸 수 있는 계산기가 있으면 다루기 쉽습니다.

자가 점검 보가 강철로 만들어졌고 E = 200 GPa입니다. N과 mm 단위로는 어떤 E 값을 씁니까?

0.2 N/mm²
200 000 000 N/mm²
200 000 N/mm²
200 N/mm²

답: 200 000 N/mm². 1 GPa = 1000 MPa = 1000 N/mm²이므로 200 GPa = 200 000 N/mm²입니다. 200을 쓰면 처짐이 1000배 크게 나옵니다.

4단계별 방법

경우를 판별하세요: 외팔보인지 단순 지지보인지, 집중하중인지 등분포하중인지.
P, w, L, E, I를 N과 mm로 변환하세요.
맞는 공식을 고르세요.
δ를 mm로 계산하세요.
하중이 여럿이면: 각각을 따로 계산해서 더하세요.
설계 문제에서는: δ를 허용값(예: L/360)과 같게 두고 I에 대해 푸세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

강철 외팔보(E = 200 GPa, I = 36 × 10⁶ mm⁴)의 길이가 3 m이고 자유단에 8 kN의 집중하중을 받습니다. 자유단의 처짐을 구하시오.

경우를 판별합니다

자유단에 집중하중을 받는 외팔보: δ = PL³/(3EI).

N과 mm로 변환합니다

P = 8000 N, L = 3000 mm, E = 200 000 N/mm², I = 36 000 000 mm⁴.

휨 강성

E·I = 200 000 · 36 × 10⁶ = 7.2 × 10¹² N·mm²

끝 처짐

L³ = 3000³ = 2.7 × 10¹⁰ mm³

δ = 8000 · 2.7 × 10¹⁰ / (3 · 7.2 × 10¹²) = 10 mm

답 검산

3 m 외팔보에서 10 mm는 L/300입니다. 하중을 받는 강철 보로서 현실적인 크기입니다: 1 mm의 몇 분의 일도 아니고 수십 cm도 아닙니다.

답

자유단의 처짐은 δ = 10 mm입니다.

6흔한 실수

단위를 섞기: L은 미터, E는 N/mm²로 쓰면 엉터리가 됩니다. 먼저 모든 것을 N과 mm로 변환하세요.
E를 GPa로 두기. 그러면 δ가 1000배 커집니다.
잘못된 경우를 쓰기. 예를 들어 외팔보에 PL³/(48EI)를 쓰는 것. 지지 조건과 하중 종류를 확인하세요.
5wL⁴/(384EI)의 5를 잊기.
중첩에서 하중마다 다른 공식을 쓰면서 하중 하나를 빠뜨리기.

자가 점검 단순 지지보가 경간 중앙의 집중하중 단독으로는 4 mm, 등분포하중 단독으로는 6 mm의 처짐을 줍니다. 경간 중앙의 처짐은 얼마입니까?

10 mm
2 mm
24 mm
6 mm

답: 10 mm. 중첩에 의해 각 하중의 처짐을 더합니다: 4 + 6 = 10 mm. 더 큰 것만 취하거나, 차나 곱을 구하는 것은 모두 틀립니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 끝 하중을 받는 외팔보. δ = PL³/(3EI)를 구합니다. 변형 문제: 중앙 하중을 받는 단순 지지보, 끝단 기울기, 또는 정해진 처짐을 주는 하중.
보통: 등분포하중. 외팔보(wL⁴/8EI) 또는 단순 지지보(5wL⁴/384EI). 변형 문제: 중심에서 벗어난 하중과 끝단 기울기.
어려움: 중첩과 설계. 집중하중과 등분포하중의 처짐을 더하거나, δ를 L/360 이하로 유지하는 가장 작은 I를 구합니다.

설계 경우에는: I_req = 5wL⁴ / (384·E·δ_allow), δ_allow = L/360.

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예제 풀이

예제 1쉬움

단순보의 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. 경간 중앙의 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 19 kNL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴

구하는 값: δ_max (mm)

힌트 보기

중앙 집중 하중을 받는 단순보의 경간 중앙 처짐은 δ = PL³/(48EI)입니다.
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
EI = 2.4 × 10¹² N·mm².

정답과 단계별 풀이 보기

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 19000 N, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

경간 중앙의 처짐

δ_max = PL³/(48EI) = 19000·4000³/(48·2.4 × 10¹²) = 10.56 mm

답

δ_max = 10.56 mm

예제 2보통

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δ_B을(를) 구하시오.

P = 26 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 84 × 10⁶ mm⁴

구하는 값: δ_B (mm)

힌트 보기

A와 하중 사이 부분은 끝에 하중을 받는 길이 a의 캔틸레버처럼 거동합니다: δ = Pa³/(3EI), θ = Pa²/(2EI).
하중 너머에는 모멘트가 없으므로 그 부분은 곧게 유지됩니다: δ_B = Pa³/(3EI) + Pa²/(2EI)·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI).
a = 2000 mm, EI = 1.68 × 10¹³ N·mm².

정답과 단계별 풀이 보기

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.127 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.003095 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16.51 mm

답

δ_B = 16.51 mm

예제 3어려움

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/360을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm

구하는 값: h_req (mm)

힌트 보기

경간 중앙 처짐 5wL⁴/(384EI)를 한계값과 같게 두고 필요한 I를 구합니다.
그런 다음 직사각형의 I = bh³/12를 써서 h를 구합니다.
I_req = 4.602 × 10⁷ mm⁴.

정답과 단계별 풀이 보기

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·4.602 × 10⁷/100)^1/3 = 176.8 mm

답

h_req = 176.8 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

질문과 답변

보의 처짐: 무엇인가요?

모든 보는 하중을 받으면 조금씩 휩니다. 보의 한 점이 아래로 움직인 거리가 처짐 δ이며 보통 mm 단위입니다.

보의 처짐 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

보의 처짐에서 자주 하는 실수는?

PL³/(3EI)는 끝에 하중을 받는 캔틸레버입니다. 중앙 하중을 받는 단순보의 처짐은 PL³/(48EI)입니다.
계수 5/384는 등분포 하중(wL⁴과 함께)의 것입니다. 중앙 집중 하중에는 1/48을 쓰세요.
그것은 하중 아래의 처짐입니다. 하중 너머의 보는 곧지만 기울어져 있으므로 θ·(L − a)를 더하세요.

보의 처짐 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 캔틸레버, 끝단 하중
보통: 등분포 하중
어려움: 중첩과 설계

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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먼저 배우기

전단력과 휨 모멘트 도심과 단면 2차 모멘트

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보 처짐 계산기

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