개수로 흐름(매닝): 단계별 풀이가 있는 연습 문제

Q: 개수로 흐름(매닝): 무엇인가요?

강, 수로, 배수로, 가득 차지 않은 하수관의 물은 공기에 열린 자유 수면을 가지고 흐릅니다. 이것이 개수로 흐름입니다. 물을 펌프로 보내는 것은 없습니다. 중력이 바닥의 경사를 따라 아래로 끌어당기고, 바닥과 벽의 마찰이 이를 붙잡습니다.

Q: 개수로 흐름(매닝) 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R2/3·S1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

Q: 개수로 흐름(매닝) 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 수로의 유속 보통: 유량 어려움: 필요 경사 문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

그림, 힌트, 자세한 풀이가 있는 무료 개수로 흐름(매닝) 연습 문제. 매번 새로운 값으로, 세 가지 난이도: 수로의 유속, 유량, 필요 경사.

무료 연습 문제쉬움

폭 1 m인 직사각형 마감하지 않은 콘크리트 수로(매닝 n = 0.014)에서 물이 수심 0.8 m로 등류로 흐른다. 수로 바닥 경사는 S = 0.0008이다. SI 단위의 매닝 공식으로 평균 유속 V을(를) 구하시오.

b = 1 my = 0.8 mn = 0.014S = 0.0008

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개수로 흐름(매닝) 무료로 연습하기 지금 개수로 흐름(매닝) 연습하기매일 무료 문제 5개. 카드 등록이 필요 없습니다.

연습 내용

쉬움수로의 유속
보통유량
어려움필요 경사

핵심 공식

매닝 공식: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
유량: Q = A·V
동수 반경: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
직사각형: A = b·y, P = b + 2y
사다리꼴(측면 경사 z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
원형 관, 만수 또는 반수: R = D/4
필요 경사: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

개수로 흐름(매닝) 처음부터 배우기

1개수로 흐름이란

강, 수로, 배수로, 가득 차지 않은 하수관의 물은 공기에 열린 자유 수면을 가지고 흐릅니다. 이것이 개수로 흐름입니다.

물을 펌프로 보내는 것은 없습니다. 중력이 바닥의 경사를 따라 아래로 끌어당기고, 바닥과 벽의 마찰이 이를 붙잡습니다.

이 둘이 균형을 이루면 수심과 유속이 수로를 따라 일정하게 유지됩니다. 이것이 등류이며 매닝 식이 설명하는 흐름입니다.

공학자들은 이를 이용해 세 가지 물음에 답합니다: 물이 얼마나 빠르게 흐르는가, 수로가 얼마나 많은 물을 운반할 수 있는가, 수로는 얼마나 가팔라야 하는가?

자가 점검 등류 개수로 흐름에서 어떤 두 효과가 균형을 이룹니까?

경사를 따른 중력과 바닥과 벽의 마찰
대기압과 수압
물의 무게와 부력
펌프 압력과 마찰

답: 경사를 따른 중력과 바닥과 벽의 마찰. 바닥의 경사는 중력이 물을 움직이게 하고, 거친 경계는 물을 늦춥니다. 둘이 균형을 이루면 수심과 유속이 더 이상 변하지 않습니다.

2동수 반경과 윤변

마찰은 물이 수로에 닿는 곳에서만 작용합니다. 단면을 따라 잰 그 경계가 윤변 P입니다. 자유 수면은 공기에 닿으므로 포함하지 않습니다.

그림의 굵은 선이 P입니다. 색칠한 부분은 유수 단면적 A입니다. 둘의 비가 동수 반경입니다:

R = A / P

폭 b, 수심 y인 직사각형: A = b·y, P = b + 2y.
측면 경사 z:1(수직 1에 수평 z)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²).
가득 찬 또는 절반 찬 원형 관: R = D/4.

R이 크면 경계가 적은 데 비해 물이 많다는 뜻이므로 리터당 마찰이 작고 흐름이 더 빠릅니다.

자가 점검 직사각형 수로의 폭이 4 m이고 수심이 1 m입니다. 동수 반경 R은 얼마입니까?

0.5 m
0.667 m
1 m
4 m

답: 0.667 m. A = 4 · 1 = 4 m², P = 4 + 2 · 1 = 6 m이므로 R = 4/6 = 0.667 m입니다. 자유 수면을 P에 포함하면(P = 8 m) 0.5 m가 되고, 1 m는 R이 아니라 수심입니다.

3매닝 공식

SI 단위에서 등류의 평균 유속은 다음과 같습니다:

V = (1/n) · R^2/3 · S^1/2

n은 매닝 조도 계수입니다. 매끈하게 마감한 콘크리트는 약 0.012, 벽돌 쌓기는 0.015, 깨끗한 흙은 0.022, 풀로 덮인 흙은 0.03입니다. 거칠수록 n이 크고 물이 느립니다.
R은 m 단위의 동수 반경입니다.
S는 m/m 단위의 바닥 경사로, 순수한 수입니다. 1 km당 1.5 m 하강은 S = 1.5/1000 = 0.0015입니다.

유량(방류량)은 유속에 유수 단면적을 곱한 값입니다:

Q = A · V

수로에 필요한 경사를 구하려면 둘을 결합하여 S에 대해 푸세요:

S = (n · Q / (A · R^2/3))²

자가 점검 수로 바닥이 1 km에 걸쳐 2 m 내려갑니다. 매닝 식에 쓸 경사 S는 얼마입니까?

0.0002
0.002
0.02
2

답: 0.002. S = 낙차/길이 = 2 m / 1000 m = 0.002입니다. 경사에는 단위가 없으므로 미터가 약분되어야 합니다.

4단계별 방법

단면을 스케치하고 b, y, z(사다리꼴이면), n, S를 적으세요.
유수 단면적 A를 구하세요.
윤변 P를 구하세요: 바닥과 물에 젖은 측면이며 자유 수면은 절대 포함하지 않습니다.
동수 반경: R = A/P.
매닝: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2.
유량을 물으면: Q = A·V. 경사를 물으면 S = (n·Q/(A·R^2/3))²를 쓰세요.

계산기에서 R^2/3은 괄호를 써서 R^(2/3)입니다. 곱하기 전에 R^2/3과 √S를 따로 계산하세요.

5풀이 예제

모든 단계를 따라가 보세요. 다음 단계를 열기 전에 미리 예측해 보세요.

풀이 예제

폭 3 m인 직사각형 벽돌 수로(매닝 n = 0.015)에 물이 수심 1 m로 등류로 흐릅니다. 바닥 경사는 S = 0.001입니다. 평균 유속 V와 유량 Q를 구하시오.

단면을 살펴봅니다

직사각형이므로 A = b·y, P = b + 2y입니다.

면적과 윤변

A = 3 · 1 = 3 m²

P = 3 + 2 · 1 = 5 m

동수 반경

R = A/P = 3/5 = 0.6 m

그러면 R^2/3 = 0.6^2/3 = 0.7114입니다.

매닝 공식

√S = √0.001 = 0.03162.

V = (1/0.015) · 0.7114 · 0.03162 = 1.50 m/s

유량

Q = A · V = 3 · 1.50 = 4.50 m³/s

답 검산

라이닝한 수로는 보통 1에서 3 m/s로 흐르므로 1.50 m/s는 타당합니다. 더 거친 흙 라이닝(n = 0.022)은 같은 경사에서 더 낮은 유속을 줄 것입니다.

답

V = 1.50 m/s, Q = 4.50 m³/s.

6흔한 실수

동수 반경 R 대신 수심 y를 쓰기.
자유 수면을 윤변에 포함하기.
사다리꼴에서 각 측면의 길이를 y로 잡기. 젖은 측면은 y·√(1 + z²)입니다.
√S 대신 S를 쓰거나, S를 구할 때 마지막에 제곱하는 것을 잊기.
m/km 단위의 경사를 m/m처럼 쓰기.
Q를 물었는데 V를 답하기: 면적을 곱하세요.

자가 점검 직사각형 수로: b = 4 m, y = 1 m, n = 0.02, S = 0.0016. 평균 유속 V는 얼마입니까?

0.061 m/s
1.26 m/s
1.53 m/s
2.00 m/s

답: 1.53 m/s. R = 4/6 = 0.667 m이므로 V = (1/0.02) · 0.667^(2/3) · 0.04 = 1.53 m/s입니다. 수심을 R로 쓰면 2.00 m/s, 자유 수면을 P에 포함하면 1.26 m/s가 됩니다.

7시험 문제의 유형

쉬움: 직사각형 수로의 유속. 때로는 경사가 1 km당 낙차로 주어집니다.
보통: 직사각형이나 사다리꼴 수로, 또는 가득 찬 혹은 절반 찬 관(R = D/4)의 유량 Q.
어려움: 주어진 Q를 운반하기 위해 수로에 필요한 바닥 경사, 또는 주어진 유속을 위한 하수관의 경사.

사다리꼴 예: b = 2 m, y = 1 m, 측면 경사 2:1, n = 0.022, S = 0.001. A = (2 + 2·1)·1 = 4 m², P = 2 + 2·1·√5 = 6.47 m이므로 R = 0.618 m입니다.

V = (1/0.022) · 0.618^2/3 · √0.001 = 1.04 m/s, Q = 4 · 1.04 = 4.17 m³/s

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예제 풀이

예제 1쉬움

폭 2.5 m인 직사각형 깨끗한 흙 수로(매닝 n = 0.022)에서 물이 수심 1 m로 등류로 흐른다. 수로 바닥은 1킬로미터마다 4 m 낮아진다. SI 단위의 매닝 공식으로 평균 유속 V을(를) 구하시오.

b = 2.5 my = 1 mn = 0.022낙차 = 4 m/km

구하는 값: V (m/s)

힌트 보기

물에 젖은 단면에 대해 동수 반경 R = A/P를 구하세요.
경사는 낙차를 길이로 나눈 값입니다: S = 4/1000.
R = 0.5556 m.

정답과 단계별 풀이 보기

매닝 공식(SI): 개수로의 등류에서 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2, Q = A·V이며, n은 조도 계수, S는 수로 바닥 경사(m/m), R = A/P는 동수 반경, 즉 유수 단면적을 윤변으로 나눈 값입니다. P에는 수면이 아니라 물과 접하는 경계만 포함됩니다. 직사각형: A = b·y, P = b + 2y. 측면 경사가 z:1(수평:연직)인 사다리꼴: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). 만수 또는 반수로 흐르는 원형 관은 R = D/4입니다.

동수 반경

A = b·y = 2.5·1 = 2.5 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1 = 4.5 m

R = A/P = 0.5556 m

기울기

S = 4/1000 = 0.004

매닝 공식

V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 = (1/0.022)·0.5556^2/3·0.004^1/2 = 1.943 m/s

답

V = 1.943 m/s

예제 2보통

안지름 300 mm인 콘크리트 우수관이 막 만수 상태로 흐른다(압력류가 아닌 개수로 흐름). 매닝 n = 0.013, 경사는 S = 0.0005이다. 유량 Q을(를) m³/s 단위로 구하시오.

D = 300 mmn = 0.013S = 0.0005

구하는 값: Q (m³/s)

힌트 보기

만수: A = π·D²/4, P = π·D.
두 경우 모두 R = A/P = D/4 = 0.075 m.
매닝 공식으로 V를 구한 다음 Q = A·V.

정답과 단계별 풀이 보기

단면 형상

A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m

속도

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.0005^1/2 = 0.3059 m/s

유량

Q = A·V = 0.07069·0.3059 = 0.02162 m³/s

답

Q = 0.02162 m³/s

예제 3어려움

폭 2.5 m인 직사각형 풀로 덮인 흙 수로가 수심 1.8 m의 등류로 2.7 m³/s를 흘려야 한다. 매닝 n = 0.03. 필요한 수로 바닥 경사 S을(를) m/m 단위로 구하시오.

Q = 2.7 m³/sb = 2.5 my = 1.8 mn = 0.03

구하는 값: S (m/m)

힌트 보기

Q = A·V와 매닝 공식을 결합하세요: Q = (1/n)·A·R^2/3·S^1/2.
A = 4.5 m², R = 0.7377 m.
S에 대해 푸세요: S = (n·Q/(A·R^2/3))².

정답과 단계별 풀이 보기

단면 형상

A = b·y = 2.5·1.8 = 4.5 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1.8 = 6.1 m

R = A/P = 0.7377 m

매닝 공식을 S에 대해 풀기

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·2.7/(4.5·0.8164) = 0.02205

S = 0.02205² = 0.0004861

답

S = 0.0004861

1킬로미터당 0.4861 m의 낙차입니다.

질문과 답변

개수로 흐름(매닝): 무엇인가요?

강, 수로, 배수로, 가득 차지 않은 하수관의 물은 공기에 열린 자유 수면을 가지고 흐릅니다. 이것이 개수로 흐름입니다.

물을 펌프로 보내는 것은 없습니다. 중력이 바닥의 경사를 따라 아래로 끌어당기고, 바닥과 벽의 마찰이 이를 붙잡습니다.

개수로 흐름(매닝) 문제는 어떻게 단계별로 푸나요?

개수로 흐름(매닝)에서 자주 하는 실수는?

수심이 아니라 동수 반경 R = A/P를 쓰세요. 수심은 매우 넓은 수로에서만 좋은 근삿값입니다.
수면은 윤변에 포함되지 않습니다: P = b + 2y.
경사는 무차원입니다. 1000 m당 4 m이면 S = 0.004입니다.

개수로 흐름(매닝) 연습에서는 무엇을 다루나요?

쉬움: 수로의 유속
보통: 유량
어려움: 필요 경사

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다. 막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.

연습 방법

문제마다 값이 새로 바뀌므로 답이 아니라 푸는 방법을 익히게 됩니다.
막혔나요? 먼저 작은 힌트를 열고, 필요할 때만 전체 해설을 보세요.
진행 상황, 틀린 문제, 저장한 문제가 보관되므로 시험 전에 복습할 수 있습니다.

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