การเคลื่อนที่เป็นวงกลม: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: แรงสู่ศูนย์กลาง, แรงเสียดทานบนทางโค้ง, วงกลมแนวดิ่ง

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
r = 100 m29 m/sF = ?

รถยนต์มวล 1600 kg วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 100 m ด้วยอัตราเร็วคงที่ 29 m/s หาแรงที่ชี้เข้าด้านใน (แรงสู่ศูนย์กลาง) Fc ที่ต้องการ

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m
N
โจทย์ถัดไป →
ฝึก การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ฟรีฝึก การเคลื่อนที่เป็นวงกลม เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายแรงสู่ศูนย์กลาง
  2. ปานกลางแรงเสียดทานบนทางโค้ง
  3. ยากวงกลมแนวดิ่ง

สูตรสำคัญ

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง
a = v²/r = ω²·r
แรงสู่ศูนย์กลาง
F = m·v²/r
อัตราเร็วเชิงมุม
ω = v/r = 2π/T
ทางโค้งราบ แรงเสียดทาน
vmax = √(μ·g·r)

เรียนรู้ การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: กฎของนิวตัน

1การเคลื่อนที่แบบวงกลมคืออะไร

รถที่เข้าโค้ง หินที่ผูกกับเชือก และดาวเทียมที่โคจรรอบโลก ล้วนเคลื่อนที่เป็นวงกลม แม้อัตราเร็วคงที่ ทิศทางของมันก็เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ

การเปลี่ยนทิศทางคือการเปลี่ยนความเร็ว วัตถุจึงมีความเร่ง ความเร่งนี้ชี้เข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม เรียกว่าความเร่งสู่ศูนย์กลาง (centripetal acceleration) ac

rvac​v ⊥ rac​ = v²/r

ความเร็วอยู่ในแนวเส้นสัมผัสเสมอ ตั้งฉากกับรัศมี ถ้าแรงดึงเข้าด้านในหายไปกะทันหัน วัตถุจะพุ่งเป็นเส้นตรงตามแนวเส้นสัมผัส ไม่ใช่พุ่งออกไปด้านนอก

ตรวจสอบตนเอง รถขับรอบวงเวียนด้วยอัตราเร็วคงที่ มันมีความเร่งไปในทิศทางใด
  1. ออกไปด้านนอก ห่างจากศูนย์กลาง
  2. ไปข้างหน้าตามความเร็ว
  3. ไปทางศูนย์กลางของวงกลม
  4. ไม่มีความเร่ง

คำตอบ: ไปทางศูนย์กลางของวงกลม. อัตราเร็วคงที่แต่ทิศทางเปลี่ยน จึงมีความเร่ง ซึ่งชี้เข้าสู่ศูนย์กลาง ความรู้สึก “ถูกเหวี่ยงออก” คือร่างกายของคุณพยายามเคลื่อนที่ตรงต่อไป

2ความเร่งและแรงสู่ศูนย์กลาง

ความเร่งสู่ศูนย์กลางขึ้นกับอัตราเร็ว v (m/s) และรัศมี r (m):

ac = v² / r

อัตราเร็วเป็นสองเท่าให้ความเร่งเป็นสี่เท่า โค้งที่แคบกว่า (r เล็กกว่า) ให้ความเร่งมากกว่า

ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ต้องมีบางสิ่งให้แรงเข้าด้านในขนาดเท่านั้น:

Fc = m · v² / r

Fc ไม่ใช่แรงชนิดใหม่ แต่เป็นแรงลัพธ์เข้าด้านในที่เกิดจากแรงจริง เช่น แรงเสียดทานบนโค้งราบ แรงตึงในเชือก แรงโน้มถ่วงสำหรับดาวเทียม หรือแรงปฏิกิริยาตั้งฉากบนถนนที่เอียงโค้ง

วัตถุที่หมุนมักอธิบายด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ω ในหน่วย rad/s หนึ่งรอบเท่ากับ 2π rad ดังนั้น 60 rpm คือ 2π rad/s

ω = v / r = 2π / T ac = ω² · r
ตรวจสอบตนเอง นักปั่นจักรยานปั่นด้วย 10 m/s รอบโค้งรัศมี 50 m ความเร่งสู่ศูนย์กลางเป็นเท่าใด
  1. 0.2 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 5 m/s²
  4. 5000 m/s²

คำตอบ: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s² การลืมยกกำลังสองอัตราเร็วให้ 10/50 = 0.2 m/s²

3วิธีทำทีละขั้น

  1. แปลงอัตราเร็วเป็น m/s รัศมีเป็น m และ rpm เป็น rad/s
  2. วาดวัตถุที่ตำแหน่งที่สนใจและทำเครื่องหมายทิศทางของศูนย์กลาง
  3. วาดแรงจริง: น้ำหนัก แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก แรงเสียดทาน แรงตึง
  4. ให้ “ไปทางศูนย์กลาง” เป็นบวกและรวมองค์ประกอบของแรงในทิศทางนั้น
  5. ตั้งให้แรงลัพธ์เข้าด้านในนี้เท่ากับ m·v²/r แล้วแก้สมการ

บนโค้งราบ แรงเสียดทานเพียงอย่างเดียวให้แรงเข้าด้านใน อัตราเร็วสูงสุดก่อนลื่นไถลได้จาก μ·m·g = m·v²/r มวลตัดกันได้:

vmax = √(μ · g · r)

4ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

รถเข้าโค้งราบรัศมี 40 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.5 ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาอัตราเร็วสูงสุด vmax ที่รถเข้าโค้งได้โดยไม่ลื่นไถล

1

แรงใดชี้เข้าด้านใน

บนถนนราบ แรงโน้มถ่วงและแรงปฏิกิริยาตั้งฉากอยู่ในแนวดิ่ง มีเพียงแรงเสียดทานที่กระทำด้านข้างไปทางศูนย์กลางของโค้ง

2

แรงเสียดทานที่มากที่สุด

บนถนนระดับ N = m·g ดังนั้นแรงเสียดทานมากที่สุดได้:

Ff,max = μ · m · g
3

ตั้งให้เท่ากับแรงสู่ศูนย์กลาง

μ · m · g = m · v² / r

มวล m อยู่ทั้งสองข้างและตัดกัน คำตอบจึงเหมือนกันสำหรับรถเล็กและรถบรรทุก

4

แก้สมการหาอัตราเร็ว

v² = μ · g · r = 0.5 · 9.81 · 40 = 196.2 m²/s²
vmax = √196.2 ≈ 14.0 m/s
5

ตรวจสอบคำตอบ

14.0 m/s × 3.6 ≈ 50 km/h เป็นอัตราเร็วสูงสุดที่สมเหตุสมผลสำหรับโค้งแคบรัศมี 40 m ถนนลื่น (μ น้อยกว่า) จะให้อัตราเร็วต่ำกว่า

คำตอบ

vmax ≈ 14.0 m/s ประมาณ 50 km/h

5วงกลมในแนวดิ่ง

ในวงกลมแนวดิ่ง บางครั้งน้ำหนักชี้เข้าหาศูนย์กลางและบางครั้งชี้ออกจากศูนย์กลาง ให้พิจารณาที่จุดบนสุดและจุดล่างสุดแยกกัน

Tm·gTm·gT + m·g = m·v²/rT − m·g = m·v²/r
  • ที่จุดบนสุด แรงตึง (หรือแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก) และน้ำหนักชี้ลงทั้งคู่ เข้าหาศูนย์กลาง
  • ที่จุดล่างสุด แรงตึงชี้ขึ้นเข้าหาศูนย์กลาง แต่น้ำหนักชี้ออกจากศูนย์กลาง เชือกต้องรับน้ำหนักและให้แรงสู่ศูนย์กลางด้วย

ที่จุดบนสุด เชือกเพิ่งตึงพอดีเมื่อ T = 0 เมื่อนั้นน้ำหนักเพียงอย่างเดียวให้แรงเข้าด้านใน: m·g = m·v²/r ดังนั้น vmin = √(g·r)

ถ้ารู้อัตราเร็วที่จุดหนึ่งและต้องการหาที่อีกจุด ให้ใช้พลังงาน: การขึ้นไป 2r ใช้ 2·g·r ของ v²/2 ต่อกิโลกรัม ดังนั้น vtop² = vbottom² − 4·g·r

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • วาดแรงสู่ศูนย์กลางเป็นแรงเพิ่มเติมข้างแรงเสียดทานหรือแรงตึง แรงนี้คือผลรวมของแรงจริง
  • ลืมยกกำลังสองอัตราเร็วใน v²/r
  • ใช้ km/h หรือ rpm โดยตรง ให้แปลงเป็น m/s หรือ rad/s ก่อน
  • ใส่เครื่องหมายของน้ำหนักผิดในวงกลมแนวดิ่ง: น้ำหนักช่วยที่จุดบนสุดและต้านเชือกที่จุดล่างสุด
  • คิดว่ามีแรงออกจากศูนย์กลางกระทำต่อวัตถุ ในกรอบอ้างอิงของพื้นดินไม่มีแรงนี้
ตรวจสอบตนเอง ลูกบอล 0.5 kg ผูกเชือกยาว 1 m เคลื่อนที่ด้วย 4 m/s ที่จุดต่ำสุดของวงกลมแนวดิ่ง เมื่อ g = 9.81 m/s² แรงตึงตรงนั้นเป็นเท่าใด
  1. 12.9 N
  2. 3.1 N
  3. 4.9 N
  4. 8 N

คำตอบ: 12.9 N. ที่จุดล่างสุด T − m·g = m·v²/r ดังนั้น T = 0.5 · 9.81 + 0.5 · 16/1 = 4.9 + 8 = 12.9 N ส่วน 8 N ลืมน้ำหนัก 3.1 N ลบน้ำหนักแทนที่จะบวก

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: แรงสู่ศูนย์กลาง หา ac หรือ Fc ของรถที่เข้าโค้ง หินที่ผูกเชือก หรือจุดบนจานหมุน
  • ปานกลาง: แรงเสียดทานบนโค้งและกรณีที่เกี่ยวข้อง ได้แก่ อัตราเร็วสูงสุดบนโค้งราบ โค้งเอียง ถนนนูน ลูกตุ้มกรวย หรือโรเตอร์ในสวนสนุก
  • ยาก: วงกลมในแนวดิ่ง แรงตึงที่จุดบนสุดหรือล่างสุด อัตราเร็วต่ำสุดที่จุดบนสุด หรือการเล่นลูปด้วยการอนุรักษ์พลังงาน

ทุกกรณี ให้ถามก่อนว่า แรงจริงใดหรือชุดของแรงใดที่ชี้เข้าสู่ศูนย์กลาง

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
r = 110 m14 m/sF = ?

รถยนต์มวล 1700 kg วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 110 m ด้วยอัตราเร็วคงที่ 14 m/s หาแรงที่ชี้เข้าด้านใน (แรงสู่ศูนย์กลาง) Fc ที่ต้องการ

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

จงหา Fc (N)

แสดงคำใบ้
  1. การเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ก็ยังมีความเร่ง ในทิศเข้าหาศูนย์กลาง
  2. a = v²/r และ F = m·a
  3. v² = 196 m²/s².
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

ความเร่งสู่ศูนย์กลาง

ac = v²/r = 14²/110 = 1.782 m/s²

แรงสู่ศูนย์กลาง

Fc = m·a = 1700·1.782 = 3029 N

คำตอบ

Fc = 3029 N
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
r = 50 mvmax​ = ?

รถยนต์วิ่งผ่านทางโค้งราบรัศมี 50 m สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตระหว่างยางกับถนนคือ 0.3 ใช้ g = 9.81 m/s² หาอัตราเร็วสูงสุด vmax ที่รถผ่านโค้งได้โดยไม่ไถล

r = 50 mμs = 0.3g = 9.81 m/s²

จงหา vmax (m/s)

แสดงคำใบ้
  1. แรงเสียดทานเป็นแรงเข้าด้านในเพียงแรงเดียว และมีค่าได้มากที่สุด μ·m·g
  2. ให้ m·v²/r = μ·m·g มวลหักล้างกัน
  3. v = √(μ·g·r)
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

แรงเสียดทานเป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·50) = 12.13 m/s

คำตอบ

vmax = 12.13 m/s (43.67 km/h)
ตัวอย่างที่ 3ยาก
R = 3.5 mh = 11.9 m

รถเข็นมวล 1 kg ถูกปล่อยจากหยุดนิ่งที่ความสูง 11.9 m บนรางไร้แรงเสียดทาน และวิ่งผ่านลูปแนวดิ่งรัศมี 3.5 m ใช้ g = 9.81 m/s² จงหาแรงตั้งฉาก Nbottom ของรางที่กระทำต่อรถเข็นที่จุดต่ำสุดของลูป

m = 1 kgh = 11.9 mR = 3.5 mg = 9.81 m/s²

จงหา Nbottom (N)

แสดงคำใบ้
  1. พลังงาน: ที่จุดต่ำสุด v² = 2g·h
  2. ที่จุดต่ำสุด: N − m·g = m·v²/R
  3. v² = 233.5 m²/s².
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

อัตราเร็วจากการอนุรักษ์พลังงาน

v² = 2·9.81·11.9 = 233.5 m²/s²

แรง

ทิศเข้าหาศูนย์กลางเป็นบวก

N = m·v²/R + m·g = 1·233.5/3.5 + 9.81 = 76.52 N

คำตอบ

Nbottom = 76.52 N

คำถามและคำตอบ

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม คืออะไร

รถที่เข้าโค้ง หินที่ผูกกับเชือก และดาวเทียมที่โคจรรอบโลก ล้วนเคลื่อนที่เป็นวงกลม แม้อัตราเร็วคงที่ ทิศทางของมันก็เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ

การเปลี่ยนทิศทางคือการเปลี่ยนความเร็ว วัตถุจึงมีความเร่ง ความเร่งนี้ชี้เข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลม เรียกว่าความเร่งสู่ศูนย์กลาง (centripetal acceleration) ac

จะแก้โจทย์ การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ทีละขั้นได้อย่างไร

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่ำเสมอ: วัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v บนวงกลมรัศมี r มีความเร่งเข้าหาศูนย์กลาง a = v²/r จึงต้องมีแรงลัพธ์ชี้เข้าด้านใน F = m·v²/r แรงนี้มาจากสิ่งที่มีอยู่จริง เช่น แรงเสียดทาน แรงตึง แรงโน้มถ่วง หรือแรงแนวฉาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน การเคลื่อนที่เป็นวงกลม มีอะไรบ้าง
  • ยกกำลังสองของอัตราเร็ว: a = v²/r
  • นั่นคือ v² ให้ถอดรากที่สอง: v = √(μ·g·r)
  • ตอบอัตราเร็วเป็น m/s ไม่ใช่ km/h
แบบฝึกหัด การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: แรงสู่ศูนย์กลาง
  • ปานกลาง: แรงเสียดทานบนทางโค้ง
  • ยาก: วงกลมแนวดิ่ง

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

กฎของนิวตัน

เรียนต่อด้วย

สนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำ

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณแรงสู่ศูนย์กลาง

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

พลศาสตร์ฟิสิกส์ 1: กลศาสตร์โจทย์ฝึก AP Physics 1

หัวข้ออื่นในฟิสิกส์

จลนศาสตร์กฎของนิวตันโมเมนตัมและการชนสปริงและลูกตุ้มกฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าสนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำคลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน การเคลื่อนที่เป็นวงกลม พร้อมเฉลย
ฝึก การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ฟรีฝึก การเคลื่อนที่เป็นวงกลม เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร