สปริงและลูกตุ้ม: แบบฝึกหัดพร้อมเฉลยทีละขั้นตอน

แบบฝึกหัด สปริงและลูกตุ้ม ฟรี พร้อมแผนภาพ คำใบ้ และเฉลยละเอียด ตัวเลขใหม่ทุกครั้ง สามระดับ: มวลติดสปริง, ลูกตุ้ม, อัตราเร็ว ความเร่ง และพลังงาน

โจทย์ฝึกฟรีง่าย
4.8 kgk = ?

มวล 4.8 kg บนสปริงแกว่งด้วยคาบ 2.5 s จงหาค่าคงตัวสปริง k

m = 4.8 kgT = 2.5 s
N/m
โจทย์ถัดไป →
ฝึก สปริงและลูกตุ้ม ฟรีฝึก สปริงและลูกตุ้ม เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร

สิ่งที่คุณจะได้ฝึก

  1. ง่ายมวลติดสปริง
  2. ปานกลางลูกตุ้ม
  3. ยากอัตราเร็ว ความเร่ง และพลังงาน

สูตรสำคัญ

มวลติดสปริง
T = 2π·√(m/k)
ลูกตุ้ม
T = 2π·√(L/g)
ความถี่เชิงมุม
ω = √(k/m) = 2π/T
อัตราเร็วและความเร่งสูงสุด
vmax = A·ω, amax = A·ω²
พลังงาน
E = ½·k·A²

เรียนรู้ สปริงและลูกตุ้ม ตั้งแต่ต้น

ก่อนหน้านี้: กฎของนิวตัน

1การสั่นคืออะไร

ดึงมวลบนสปริงไปด้านหนึ่งแล้วปล่อย มันแกว่งกลับผ่านตรงกลาง ไปอีกด้านหนึ่ง และกลับมาอีก เด็กบนชิงช้าและสายกีตาร์ก็ทำเช่นเดียวกัน

การเคลื่อนที่ซ้ำนี้คือการสั่น (oscillation) จุดกลางที่มวลจะนิ่งอยู่คือตำแหน่งสมดุล

m0−A+Axk
  • แอมพลิจูด A คือระยะทางที่มากที่สุดจากสมดุล ในหน่วย m
  • คาบ T คือเวลาสำหรับการสั่นครบหนึ่งรอบ ไปและกลับ ในหน่วย s
  • ความถี่ f คือจำนวนการสั่นต่อวินาที ในหน่วยเฮิรตซ์ (Hz)
f = 1 / T
ตรวจสอบตนเอง มวลบนสปริงสั่นครบ 20 รอบใน 10 s คาบเป็นเท่าใด
  1. 0.5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

คำตอบ: 0.5 s. T = เวลา / จำนวนการสั่น = 10/20 = 0.5 s ส่วน 2 คือความถี่ในหน่วย Hz (20/10) จำนวนการสั่นต่อวินาที

2การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

สปริงดึงกลับด้วยแรงที่เป็นสัดส่วนกับการยืด: F = −k·x ความแข็งเกร็ง k มีหน่วย N/m เครื่องหมายลบหมายความว่าแรงชี้กลับไปสมดุลเสมอ

แรงดึงกลับเช่นนี้ให้การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (SHM) ตำแหน่งเป็นไปตามเส้นโค้งโคไซน์ตามเวลา:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

ความถี่เชิงมุม ω (โอเมกา) ในหน่วย rad/s กำหนดว่าการเคลื่อนที่ซ้ำเร็วเพียงใด หนึ่งคาบคือ 2π rad

ω = 2π / T = 2π · f

แอมพลิจูดไม่เปลี่ยนคาบ การแกว่งที่กว้างกว่าครอบคลุมระยะทางมากกว่าแต่ก็เคลื่อนที่เร็วกว่าด้วย

3สูตรของสปริงและลูกตุ้ม

สำหรับมวลบนสปริง มวลที่หนักกว่าสั่นช้ากว่าและสปริงที่แข็งกว่าสั่นเร็วกว่า:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

สำหรับลูกตุ้มอย่างง่ายความยาว L เมื่อแกว่งเล็กน้อย มวลไม่มีผลเลย:

T = 2π · √(L / g)

ถ้าสปริงแขวนในแนวดิ่ง น้ำหนักยืดมันไปยังสมดุลใหม่: k·x = m·g ใช้สิ่งนี้หา k จากการยืดที่วัดได้

ความเร็วมากที่สุดที่สมดุลและเป็นศูนย์ที่ปลาย ความเร่งมากที่สุดที่ปลาย ซึ่งแรงสปริงมากที่สุด:

vmax = A · ω amax = A · ω²

พลังงานรวมคงเดิม: E = ½·k·A² ที่ตำแหน่ง x พลังงานถูกแบ่งเป็น ½·k·x² + ½·m·v²

ตรวจสอบตนเอง คุณเปลี่ยนมวลบนสปริงเป็นมวลที่หนักเป็นสองเท่า คาบเกิดอะไรขึ้น
  1. ยาวขึ้น 4 เท่า
  2. ยาวขึ้น √2 ≈ 1.41 เท่า
  3. สั้นลง 1.41 เท่า
  4. เพิ่มเป็นสองเท่า

คำตอบ: ยาวขึ้น √2 ≈ 1.41 เท่า. T = 2π·√(m/k) ดังนั้น T เพิ่มตามรากที่สองของ m การเพิ่ม m เป็นสองเท่าคูณ T ด้วย √2 การบอกว่าเพิ่มเป็นสองเท่าลืมรากที่สอง

4วิธีทำทีละขั้น

  1. แปลงทุกอย่างเป็นหน่วย SI: กรัมเป็น kg เซนติเมตรเป็น m
  2. ตัดสินว่าเป็นระบบใด: มวลบนสปริง (ใช้ k และ m) หรือลูกตุ้ม (ใช้ L และ g)
  3. ถ้ากำหนดคาบหรือจำนวนการสั่น ให้หา T ก่อน: T = เวลา / จำนวน
  4. หา ω จากระบบ: ω = √(k/m) หรือ ω = 2π/T
  5. ใช้สูตรสำหรับสิ่งที่ถาม: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² หรือพลังงาน ½·k·A²
  6. ตรวจสอบว่าคำตอบสมเหตุสมผล: คาบเศษส่วนของวินาทีสำหรับสปริงแข็ง ไม่กี่วินาทีสำหรับลูกตุ้มยาว

5ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

ทำตามทุกขั้นตอน ลองทำนายขั้นถัดไปก่อนเปิดดู

ตัวอย่างที่แก้ให้ดู

มวล 0.5 kg บนสปริงที่ k = 200 N/m ถูกดึง 5 cm จากสมดุลแล้วปล่อย จงหาคาบ T ความถี่ f ความเร็วสูงสุด vmax และความเร่งสูงสุด amax

1

หน่วย

A = 5 cm = 0.05 m m = 0.5 kg k = 200 N/m
2

ความถี่เชิงมุม

ω = √(k / m) = √(200 / 0.5) = √400 = 20 rad/s
3

คาบและความถี่

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0.314 s
f = 1 / T = 3.18 Hz
4

อัตราเร็วสูงสุด

มวลเร็วที่สุดเมื่อผ่านสมดุล

vmax = A · ω = 0.05 · 20 = 1 m/s
5

ความเร่งสูงสุด

ความเร่งมากที่สุดที่ปลาย ซึ่งมวลกลับตัว

amax = A · ω² = 0.05 · 400 = 20 m/s²
6

ตรวจสอบคำตอบ

ตรวจสอบพลังงาน: ½·k·A² = ½ · 200 · 0.05² = 0.25 J และ ½·m·vmax² = ½ · 0.5 · 1² = 0.25 J พลังงานสปริงทั้งหมดกลายเป็นพลังงานจลน์ที่สมดุล

คำตอบ

T ≈ 0.314 s, f ≈ 3.18 Hz, vmax = 1 m/s และ amax = 20 m/s²

6ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • ใช้แอมพลิจูดเป็น cm แทน m
  • กลับเศษส่วนกลับหัว: T = 2π·√(m/k) ไม่ใช่ √(k/m) สำหรับลูกตุ้มคือ √(L/g)
  • ลืม 2π หรือสับสนระหว่าง ω (rad/s) กับ f (Hz)
  • คิดว่ามวลเปลี่ยนคาบของลูกตุ้ม หรือแอมพลิจูดเปลี่ยนคาบใด ๆ
  • สับสนระหว่าง vmax = A·ω กับ amax = A·ω²
ตรวจสอบตนเอง มวลสั่นด้วยแอมพลิจูด 10 cm และ ω = 10 rad/s ความเร่งสูงสุดเป็นเท่าใด
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

คำตอบ: 10 m/s². amax = A·ω² = 0.1 · 100 = 10 m/s² การใช้ A = 10 (cm) ให้ 1000 ส่วน 1 m/s คือ A·ω ความเร็วสูงสุด ไม่ใช่ความเร่ง

7ข้อสอบมีหน้าตาอย่างไร

  • ง่าย: มวลบนสปริง หา T, f หรือ k บางครั้งจากการนับการสั่นหรือจากระยะที่มวลยืดสปริงที่แขวนอยู่
  • ปานกลาง: ลูกตุ้ม หาคาบของมัน ความยาวสำหรับคาบที่กำหนด หรือ g บนดาวเคราะห์ดวงอื่น บางโจทย์ถามความเร็วที่ตำแหน่งหนึ่งหรือที่เวลาที่กำหนด
  • ยาก: ความเร็ว ความเร่ง และพลังงาน: vmax, amax พลังงานจลน์ที่ตำแหน่งหนึ่ง หรือแอมพลิจูดหลังกระสุนชนบล็อกบนสปริง

การตรวจสอบอย่างรวดเร็วสำหรับลูกตุ้มใด ๆ: ลูกตุ้มยาว 1 m บนโลกมีคาบประมาณ 2 s

ตรวจสอบตนเอง ลูกตุ้มยาว 2.45 m เมื่อ g = 9.81 m/s² คาบสำหรับการแกว่งเล็กน้อยเป็นเท่าใด
  1. 0.50 s
  2. 1.57 s
  3. 12.6 s
  4. 3.14 s

คำตอบ: 3.14 s. T = 2π·√(2.45/9.81) = 2π · 0.5 = 3.14 s การกลับ √(g/L) กลับหัวให้ 12.6 s การลืมรากที่สองให้ 1.57 s และการลืม 2π ให้ 0.50 s

เรียนรู้ทีละขั้นในแอปเรียนรู้ทีละขั้นในแอป

ตัวอย่างวิธีทำ

ตัวอย่างที่ 1ง่าย
3.2 kgk = 210 N/m

มวล 3.2 kg บนสปริงที่มีค่าความแข็ง 210 N/m สั่นบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทาน หาคาบ T

m = 3.2 kgk = 210 N/m

จงหา T (s)

แสดงคำใบ้
  1. คาบของระบบมวล–สปริงไม่ขึ้นกับแอมพลิจูด
  2. T = 2π·√(m/k)
  3. √(m/k) = 0.1234 s.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

คาบ

T = 2π·√(3.2/210) = 0.7756 s

คำตอบ

T = 0.7756 s
ตัวอย่างที่ 2ปานกลาง
1.1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

มวล 1.1 kg บนสปริง k = 120 N/m แกว่งบนพื้นผิวไร้แรงเสียดทานด้วยแอมพลิจูด 7 cm จงหาอัตราเร็ว v ของมันเมื่ออยู่ห่างจากตำแหน่งสมดุล 6 cm

m = 1.1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

จงหา v (m/s)

แสดงคำใบ้
  1. พลังงานอนุรักษ์: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v²
  2. ดังนั้น v = ω·√(A² − x²) โดย ω = √(k/m)
  3. ω = 10.44 rad/s.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

ความถี่เชิงมุม

ω = √(120/1.1) = 10.44 rad/s

อัตราเร็วที่ x

v = ω·√(A² − x²) = 10.44·√(0.07² − 0.06²) = 0.3766 m/s

คำตอบ

v = 0.3766 m/s
ตัวอย่างที่ 3ยาก
1.7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

มวล 1.7 kg บนสปริงที่ k = 380 N/m ถูกดึงออกจากสมดุล 11 cm แล้วปล่อย หาความเร่งสูงสุด amax

m = 1.7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

จงหา amax (m/s²)

แสดงคำใบ้
  1. ω = √(k/m)
  2. ความเร่งมากที่สุดที่ปลายทั้งสอง: amax = A·ω²
  3. ω = 14.95 rad/s, A = 0.11 m.
แสดงคำตอบและเฉลยทีละขั้นตอน

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ความถี่เชิงมุม

ω = √(380/1.7) = 14.95 rad/s

ความเร่งสูงสุด

amax = A·ω² = 0.11·14.95² = 24.59 m/s²

คำตอบ

amax = 24.59 m/s²

คำถามและคำตอบ

สปริงและลูกตุ้ม คืออะไร

ดึงมวลบนสปริงไปด้านหนึ่งแล้วปล่อย มันแกว่งกลับผ่านตรงกลาง ไปอีกด้านหนึ่ง และกลับมาอีก เด็กบนชิงช้าและสายกีตาร์ก็ทำเช่นเดียวกัน

การเคลื่อนที่ซ้ำนี้คือการสั่น (oscillation) จุดกลางที่มวลจะนิ่งอยู่คือตำแหน่งสมดุล

จะแก้โจทย์ สปริงและลูกตุ้ม ทีละขั้นได้อย่างไร

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย: มวล m บนสปริงที่มีค่าความแข็ง k สั่นด้วยความถี่เชิงมุม ω = √(k/m) และคาบ T = 2π/ω = 2π·√(m/k) ลูกตุ้มอย่างง่ายยาว L มี T = 2π·√(L/g) เมื่อแอมพลิจูดคือ A อัตราเร็วสูงสุดคือ A·ω ความเร่งสูงสุดคือ A·ω² และพลังงานคือ ½·k·A²

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน สปริงและลูกตุ้ม มีอะไรบ้าง
  • รวม 2π: T = 2π·√(m/k) และ f = 1/T
  • ตรวจสอบเศษส่วนใต้ราก: T = 2π·√(m/k) มวลอยู่ข้างบน
  • นั่นคืออัตราเร็วสูงสุดที่ตำแหน่งสมดุล ที่ x อัตราเร็วต่ำกว่า: v = ω·√(A² − x²)
แบบฝึกหัด สปริงและลูกตุ้ม ครอบคลุมเรื่องอะไรบ้าง
  • ง่าย: มวลติดสปริง
  • ปานกลาง: ลูกตุ้ม
  • ยาก: อัตราเร็ว ความเร่ง และพลังงาน

โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น

การฝึกทำงานอย่างไร

  • โจทย์ทุกข้อใช้ค่าใหม่ คุณจึงเรียนรู้วิธีทำ ไม่ใช่จำคำตอบ
  • ติดขัดใช่ไหม เปิดคำใบ้เล็ก ๆ ก่อน และเปิดคำอธิบายฉบับเต็มเมื่อจำเป็นเท่านั้น
  • ความก้าวหน้า ข้อที่ผิด และโจทย์ที่บันทึกไว้จะถูกเก็บไว้ เพื่อให้คุณทบทวนก่อนสอบได้

หัวข้อก่อนและหลังหัวข้อนี้

ควรเรียนก่อน

กฎของนิวตัน

เรียนต่อด้วย

การสั่นสะเทือนเชิงกลคลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

เครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณคาบของลูกตุ้มและสปริงเครื่องคำนวณค่าคงตัวสปริง (กฎของฮุก)

รายวิชาที่มีหัวข้อนี้

พลศาสตร์ฟิสิกส์ 1: กลศาสตร์คลื่นและทัศนศาสตร์โจทย์ฝึก AP Physics 1

หัวข้ออื่นในฟิสิกส์

จลนศาสตร์กฎของนิวตันการเคลื่อนที่เป็นวงกลมโมเมนตัมและการชนกฎของคูลอมบ์และสนามไฟฟ้าสนามแม่เหล็กและการเหนี่ยวนำคลื่น เสียง และทัศนศาสตร์

ใบงานสำหรับพิมพ์

ใบงาน สปริงและลูกตุ้ม พร้อมเฉลย
ฝึก สปริงและลูกตุ้ม ฟรีฝึก สปริงและลูกตุ้ม เลยโจทย์ฟรีวันละ 5 ข้อ ไม่ต้องใช้บัตร